山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（八）

绝密女启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（八） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1 1.若sin0+cos0=2,则sin20= A.-3 1 C.2 1 3 B.- 4 2 D. 2.函数y=Vc2-1+n(3-x)的定义域为 A.(-∞，-1U[1,3) B.[-1,3) C.(-∞，-1U(1,3] D.[1,3) 3.有5个不同的礼盒放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子至少放入一个礼盒，则 不同的放法共有 A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若S5=20,S10=70,则a6+a10= A.16 B.18 C.20 D.22 5.若函数f(x)=x2-2ax+1在区间[1,3]上单调递增，则实数a的取值范围是 A.a≤1 B.a<1 C.a≥3 D.a>3 6.在△ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=60°，则AB.BC= A.-6 B.-3 C.3 D.6 7.连续掷一枚均匀骰子两次，记两次点数的较大值为X。则P(X=4)= A. 5 36 B. 36 C.4 D.3 8.已知圆(x-1)2+(y+2)2=5与直线kx-y+1=0相切，且k>0,则k= A.2 B.1 C.2 D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 【2027届高三导向卷（八)·数学第1页（共4页)】 忻州一中 一模拟专用 9,设函数f)=心+，心>0。下列结论正确的是 A.f(x)≥2 B.f'()=1-2 1 C.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 D.函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=2x 10.设函数g(x)=sinx+cosx。下列结论正确的是 A. g(x)的最大值为√2 B.g(x)的最小正周期为2m C. 9(④)=1 D. 方程g@)=0的解可写为x=k红-无kEZ 11.一组数据为1,1,2,4。下列结论正确的是 A.这组数据的众数为2 B.这组数据的平均数为2 C.这组数据的中位数为2 D.这组数据的方差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数f(x)=x-1+lx+2。对任意实数t,定义M(t)=,min,f(x)。则M(0)= t<x<t+1 M(-3)= 13.已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2。点E为BB1的中点，点F为DD1的中 点。则EF= ,点A到直线EF的距离为 14.设正整数n的“三角层号”T(n)为满足 -1k<n≤kk+ 2 2 的唯一正整数k。例如T(1)=1,T(2)=2,T(3)=2。则(2027)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设函数f(x)=x-1+x+2。对任意实数t,定义 M()). (1)求M(t)的表达式； (2)讨论方程M(t)=4的解的个数； (3)对正整数n,记 N=#{&ea-n≤k≤n(食)s4} 【2027届高三导向卷（八)·数学第2页（共4页)】 忻州一中 并记这些整数k的和为Sn。求Nn,Sn。 16.（本小题满分15分) 某类算法模块分为强稳定型S和弱稳定型W。每次测试时，若模块为S型，则输出正确结 果的概率为。；若模块为W型，则输出正确结果的概率为？。各次测试相互独立。 现采用如下评定规则：先连续测试两次；若两次均正确，则评定该模块“通过”；若恰有一次 正确，则再测试一次，第三次正确时也评定为“通过”；若前两次均错误，则评定为“不通过”。 某批模块中S型所占比例为p。现随机抽取2700个模块按上述规则测试，其中1400个被评 定为“通过”。用频率估计概率。 (1)求p的估计值； (2)若某模块被评定为“通过”，求该模块实际为S型的概率； (3)从被评定为“通过”的模块中有放回地随机抽取8个，记其中实际为S型的个数为X。 求E(X),D(X)。 17.（本小题满分15分) 已知椭圆E:号+=1.点T(0,),其中t>2。过点T作椭圆E的两条切线，切点分别 为第一象限内的点A和第二象限内的点B。 (1)求椭圆E的离心率； (2)证明：直线AB平行于x轴，并用t表示AB; (3)若S△TAB=3,求t的值。 18.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC 满足 AB⊥AC, AB=3,AC=4, B1 且侧棱AA1=3。点E,F分别为BB1,CC1的中点。 (1)证明：EF‖平面ABC; (2)求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值； ⊙ (3)求点B1到平面AEF的距离。 19.（本小题满分17分) 对任意正整数n,定义其“三角层号”(n)为满足 Trm-1<n≤Tr) 的唯一正整数，其中T.=mm+少，=0。再定义n=T,-n。例如r山=1,1=0 2 T(4)=3,r4=2。 (1)求T(2027),T2027 (2)证明：对任意正整数m,有 Tm in= m(m+1)(m-1) 6 【2027届高三导向卷（八)·数学第3页（共4页)】 忻州一中 用 (3)记 Am={n∈N*|1≤n≤Tm,T(n)+rn=m. 求集合Am中元素的个数，并求集合Am中所有元素之和。 【2027届高三导向卷（八)·数学第4页（共4页)】 忻州一中 专用 参考答案与详解 2027届高三导向卷（八)·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案AA B CA BB C 1.由 (sin 0+cos0)2=1+sin 20 得 1+sin 20 所以 sin 20=- 4 故选A。 2.函数y=√x2-1+ln(3-x)有意义，需要同时满足 x2-1≥0， 3-x>0. 由 x2-1≥0 得 x≤-1或x≥1. 由 3-x>0 得 x<3. 取交集，得定义域为 (-00,-1]U[1,3) 故选A。 3.每个礼盒都有3种放法，所以不加限制时共有 35=243 种放法。 减去至少有一个箱子为空的情况。若指定一个箱子为空，则5个礼盒只能放入另外两个箱子， 共有 25=32 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 专用 种放法。这样的空箱选择有3种。 但这样会把“只有一个箱子有礼盒”的情况重复减去。若只有一个箱子有礼盒，则共有3种 情况。 所以每个箱子至少有一个礼盒的放法共有 35-3.25+3=243-96+3=150. 故选B。 4.设等差数列首项为a1,公差为d。由 8-80a+场=0 得 2a1+4d=8. 由 S10=5(2a1+9d)=70 得 2a1+9d=14. 两式相减，得 5d=6, 所以 d-6 又 2a1+4d=8, 所以 8 a1= 因此 a6+a10=(a1+5d)+(a1+9d=2a1+14d. 代入得 06+0=2+14号-+4-20 8 5=5+5 故选C。 5.函数 f(x)=x2-2ax+1 的对称轴为 =a. 二次函数开口向上，要使f(x)在区间[卫，3]上单调递增，只需对称轴在区间左端点的左侧或 与左端点重合，即 a≤1. 故选A。 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 6. 由向量关系 BC=AC-AB】 得 AB.B元=AB.(AC-A): 所以 AB.BC=AB.AC-ABI2. 又 AB=3,AC=4,∠BAC=60°， 因此 4B.AC=3·4cos60°=6. 于是 AB.BC=6-9=-3. 故选B。 7. 两次掷骰子的点数共有 6×6=36 种等可能情况。 两次点数的较大值为4，等价于“两次点数都不超过4，且不是都不超过3”。 所以 P(X=4)=P(X≤4)-P(X≤3). 其中 P(x≤4) 16 36 2 P(X≤3)= 9 36 因此 p(X=4=36-36-36 1697 故选B。 8.圆 (x-1)2+(y+2)2=5 的圆心为 (1,-2), 半径为 5. 直线为 kx-y+1=0 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 1k1-(-2)+1=V5. V2+1 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 化简得 k+3 k2+1 由于k>0,所以+3>0。两边平方，得 (k+3)2=5(k2+1): 整理得 k2+6k+9=5k2+5, 即 2k2-3k-2=0. 分解得 (2k+1)k-2)=0. 又k>0,所以 k=2. 故选C。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案ABC ABD BCD 9.函数 f=x+ x>0. 由基本不等式可知 1 x+≥2， x 当且仅当x=1时取等号。A正确。 求导得 f()=1-1 B正确。 当0<x<1时， f'(c)<0: 当x>1时， f'(x)>0. 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。C正确。 因为 f(1)=2,f'(1)=0, 所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为 y=2, 不是y=2c。D错误。 综上，选ABC。 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 专用 10.因为 g四=s血t+os=V2m(c+置)， 所以g(x)的最大值为 v2. A正确。 函数sinx+cosx的最小正周期为 2π. B正确。 = 4=21 不是1。C错误。 由 g(x)=0 得 V2sin (+)=0. 所以 x+4=标， k∈Z. 即 =炳-于 k∈Z. D正确。 综上，选ABD。 11.这组数据为 1,1,2,4. 出现次数最多的是1，所以众数为1，不是2。A错误。 平均数为 元=1+1+2+4=2 4 B正确。 中位数为中间两个数1,2的平均数，即 1+23 2=2 C正确。 方差为 92=1-22+(1-2)2+(2-2)2+(4-2)2 所以 s2=1+1+0+4_3 4 D正确。 综上，选BCD。 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 专用 三、填空题 题号12 13 14 答案3,32V2,√564 12. 因为 f(x)=x-1+x+2, 所以当 -2≤x≤1 时， f(x)=3. 当t=0时，区间为0,1]，完全位于[-2,1]内，所以 M(0)=3. 当t=-3时，区间为[-3，-2]。在x<-2时， f(x)=1-x-(x+2)=-2x-1, 它在该区间上单调递减，故最小值在x=一2处取得，所以 M(-3)=f(-2)=3. 13.建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0), B1(2,0,2),D1(0,2,2). 点E为BB1的中点，所以 E(2,0,1). 点F为DD1的中点，所以 F(0,2,1) 于是 E=(-2,2,0), 故 EF 2V2. 点A到直线EF的距离为 A正xE E列 其中 A市=(2,0,1)， E7=(-2,2,0): 计算得 1A立×E=26. 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第6页】 所州一中 专用 所以 d=2 2V2 =. 14.由 Tk= k(k+1) 2 可知 763= 63.64 2 =2016, T6= 64.65 =2080. 因为 2016<2027≤2080， 所以 T(2027)=64. 四、解答题 15.答案： -2t-3,t<-3, M(t)= 3, -3≤t≤1， 2t+1, t>1; 方程M(t)=4有2个解； Nn= 5n+1,n为偶数， Sn=-nNn. 5m, n为奇数， 由 f(x)=x-1+x+2 可得 -2x-1,x<-2, f(= 3, -2≤x≤1， 2x+1,x>1. (1)若t+1<-2,即t<-3,则区间[t,t+1]在-2的左侧，此时f(x)单调递减，所以 M(t)=f(t+1)=-2(t+1)-1=-2t-3. 若t,t+1]与区间[「-2,1]有公共点，即 -3≤t≤1， 则 M(t)=3. 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 专用 若t>1,则区间[t,t+1在1的右侧，此时f(x)单调递增，所以 M(t)=f(t)=2t+1. 综上， -2t-3,t<-3, M(t)= 3, -3≤t≤1， 2t+1, t>1. (2)由第(1)问，若t<-3,则 -2t-3=4 得 =员 若-3≤t≤1，则M(t)=3,不可能等于4。若t>1,则 2t+1=4, 得 3 所以方程M(t)=4有2个解。 (3)由 M(t)≤4 可得 3 因此 ≤4 等价于 ss 即 2 又该范围包含于[-4n,4n],所以只需统计整数区间 [「 当n为偶数时， --() 7n +1=5n+1, 且这些整数的首末项和为 7m3m=-2n. -2+2 【2027届高三导向卷（八）·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 用 所以 5n =5n21(-2n)==n(5n+1) 当n为奇数时， Nn =5n, 且首末项和仍为-2n,所以 6 2 .(-2n)=-5m2. 因此 Nn= 5m+1,n为偶数， Sn=-nNn. 5n, n为奇数， 答案：p= s 10 16. 3 E(X)= 80 240 13 D(X)= 169 设模块被评定为“通过”为事件U 若模块为S型，单次输出正确结果的概率为 23 根据评定规则，模块通过的情况有两类： 第一类，前两次均正确；第二类，前两次恰有一次正确，且第三次正确。 所以 2 2 212 P(US)= +2333 即 P(UIS)= 4.8 20 9+27= 27 若模块为W型，单次输出正确结果的概率为 3 同理可得 P(UW) +2 121 3 333 即 P(UIW)= y 4 7 +27= 27 (1)由频率估计概率， 140014 P(U=2700= 27 又因为该批模块中S型所占比例为p,所以 P(U)=pP(U|S)+(1-p)P(U|W). 因此 1420 亏=2·+(1卫)·>>、 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 专用 两边同乘27，得 14=20p+7(1-p). 整理得 14=13p+7, 所以 7 p=13 (2)由条件概率公式， P(SIU)= P(S)P(U S) P(U) 所以 P(SU)= ·翌 10 ” =13 (3)从被评定为“通过”的模块中有放回地随机抽取8个，每个模块实际为S型的概率为 10 13 所以 X~B 10 13 因此 E(X)=8 1080 13- 13 D(X)=8· 10 240 ,=169 17. 案：e=9:14n-=6V1-是：t=2v5. (1)椭圆 E: =1 中， a=3, b=2 所以 c=Va2-2=9-4=V5. 故椭圆的离心率为 _c v5 e a 3 (2)设第一象限内切点为 A(xo,0): 椭圆 2=1 9T4 在点A(xo,o)处的切线方程为 x0+y=1. 9 4 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 专用 因为该切线过点T(0,t),所以 ty01. 因此 4 由于t>2,所以 4 02t <2, 切点确实位于椭圆的上半部分。 由椭圆关于y轴对称可知，另一切点为 B(-0,0): 所以A,B的纵坐标相同，故 AB‖c轴 又因为 +9-1 91 代入 4 0= 得 于是 =1-哥 所以 8=2=6y1-是 (3)由(2)知 AB‖x轴， l4-1- 点T(0,t)到直线AB的距离为 -i 所以 san-a-(-) 代入AB,得 5aagi-(-） 即 SATAB 31-(-) 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第11页】 忻州一中 专用 因为 S△TAB=3, 所以 V-是(-)-1 由于t>2,可化为 Ve-4.-4=1 即 (t2-4) t2 令 0)=-4)星 t2 (t>2): 则 阳=v-+8》>0 3 所以p(t)在(2，+∞)上单调递增。 又 t=22 时， e-88-81 t2 8 因此方程只有一个解， t=22. 18. 答泰5平面ABC:s平面EE平面A8C-高：B,平面AA)= V891 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B3,0,0),C(0,4,0), 因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，且AA1=3,所以 A1(0,0,3),B1(3,0,3), C1(0,4,3) 点E,F分别为BB1,CC1的中点，所以 (30》F(04) (1)有 E=(-3,4,0) 该向量的之坐标为0，说明EF的方向与底面ABC平行。 又因为EF4平面ABC,所以 EF‖平面ABC. (2)平面ABC的一个法向量为 0=(0,0,1) 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 用 平面AEF中， -()市-(04) 取平面AEF的一个法向量 n=A正×A 计算得 =(6号2 为了计算方便，可取同向法向量 n=(-4,-3,8) 所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为 n.nol 8 Innol V仁42+(-32+8=V89 (3)因为平面AEF过点A(0,0,0),且其一个法向量为 n=(-4,-3,8), 所以平面AEF的方程为 -4x-3y+8z=0. 又 B1(3,0,3). 因此点B1到平面AEF的距离为 d=1-4.3-3.0+8.3_12 V(-4)2+(-3)2+82V89 19.答案：7(2027)=64，T2027=53;n =mm+1m-1 n=1 6 aa=[1, 若m=2r,则 n=72+r+) 6 nEAm 若m=2r+1,则 ∑n= (+1)(7m2+11r+6) 6 n∈Am (1)因为 T6= 63.64 2 =2016, T 64·65 2 =2080, 且 2016<2027≤2080， 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 用 所以 T(2027）=64. 于是 r2027=T64-2027=2080-2027=53. (2)当 T-1<n≤T 时， T(n)=i, Tn Ti-n. 这一层中Tn的取值依次为 j-1,j-2,,1,0. 所以第j层所有rn的和为 0+1++6-1)=0- 2 因此 即 云（区- 所以 1 「m(m+1)(2m+1)m(m+1) 6 整理得 m= m(m+1)(m-1) n=l 6 (3)若 T(n)=j, 则 T)-1<n≤T,Tn=T)-n. 条件 T(n)+rn =m 等价于 j+rn=m, 即 rn =m-j. 由于第j层中rn的取值为 0,1,.,j-1, 所以必须有 0≤m-j≤j-1. 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第14页】 所州一中 这等价于 m+1 2 ≤j≤m 对每一个满足条件的j,恰有一个n属于Am,即 n=T-(m-)=T+j-m. 所以 A1=m-生+1=1 下面求元素之和。记 则 三"=+5-网 nEAm 若m=2r,则L=r+1,所以 + 整理得 ∑n=72+6m+) 6 nEA 若m=2r+1,则L=?+1,所以 ∑-芝（他+i-e+ 整理得 n=女+72+11r+60 EA. 6 【2027届高三导向卷（八)·数学参考答案与详解第15页】 忻州一中