精品解析：黑龙江省/哈尔滨市呼兰区哈尔滨新区第二学校2026-2027年度上学期八年级数学学科期中质量监测试卷

哈尔滨新区第二学校2026-2027年度上学期 八年级数学学科期中质量监测 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列计算中正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列长度的线段中，不能组成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，4，5 C. 3，3，5 D. 3，4，5 3. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的内角和等于180° B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 5. 如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 8. 如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：________． 12. 已知点P，关于y轴对称的点的坐标为_______． 13. 如图，与关于直线对称，且，，则的度数为______． 14. 如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为______． 15. 如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为______ ． 16. 如图，在中，D，E分别是的中点，则______． 17. 规定一种新的运算，那_____． 18. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________度． 19. 如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______． 20. 如图，在中，，，D为的中点，于N，交的延长线于点M，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______（填写序号即可） 三、解答题（共60分） 21. 计算 （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． （1）若与关于y轴对称．请在图中画出； （2）依次写出，，坐标，______，______，______； （3）______． 24. 如图，在中，，垂足分别为D、E，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 新区二校美术社团实践课上，程老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． （1）如图，从花折伞中抽象出“伞形图”，，．求证：． （2）同学们准备用伞拼成优美的艺术品在我区艺术节进行展览，现已知有橙色与蓝色两种颜色的伞，若一共需要50把花折伞，同学们制作的蓝色折伞数量不超过橙色折伞数量的，那么同学们至少要制作多少把橙色雨伞？ 26. ，D为边中点． （1）如图1，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接．求证：． （2）如图1，在（1）问条件下若，求证：． （3）如图2，，求证：． 27. 综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）当时，求t值． （3）在（2）的条件下，连接，若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形的面积是的面积2倍？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨新区第二学校2026-2027年度上学期 八年级数学学科期中质量监测 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列计算中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方的运算法则，同底数幂相乘的运算法则，积的乘方的运算法则，合并同类项的运算法则，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：选项：与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； 选项：，故选项正确，符合题意； 选项：，故选项错误，不符合题意； 选项：，故选项错误，不符合题意． 2. 下列长度的线段中，不能组成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 2，4，5 C. 3，3，5 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，正确把握定义是解题关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项验证求解即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中的三条线段不能组成三角形，该选项符合题意； B、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； C、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； D、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的内角和等于180° B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，窗户打开后，用窗钩将其固定，这样就形成了一个三角形；由题意可知，形成的三角形可使打开后的窗户固定，至此，结合三角形的特征即可解答，掌握三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：用窗钩将打开的窗户固定，这样就形成了一个三角形，所以所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 5. 如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法、、、和是解题的关键，注意和不能判定两个三角形全等． 由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可． 【详解】解：A、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； B、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角形内角和为，根据各选项给出的角的数量关系判断是否存在直角． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴，为直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，为直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴，为直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得， ∴，为锐角三角形，符合题意； 7. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意； B．等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故B符合题意； C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，故C不符合题意题意； D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 8. 如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定和性质，根据作图得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于D选项，∵根据作图，可知， ∴， ∴．故D选项正确． 对于A选项，得不出，故A选项错误； 对于B选项，只有当F为中点时，才成立，故B选项错误； 对于C选项，点不与点重合，没有条件证明，故C选项错误． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法的逆运算将原式变形后进行计算即可． 【详解】解： ． 10. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到图示两个三角形全等，然后根据全等三角形的性质得到对应角相等，即可解答． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点P，关于y轴对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的对称规律：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】因为点P，所以点P关于y轴对称的点坐标为∶． 故答案为∶． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 13. 如图，与关于直线对称，且，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，根据轴对称的性质先求出等于，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵与关于直线对称， ， ， 故答案为：． 14. 如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为______． 【答案】##44度 【解析】 【分析】利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，，，；先求出，再在中求，最后利用平角求． 【详解】解：由折叠性质可知：，． ， ， ． 在中， ， ． ． 15. 如图，内有一点P，P点关于的对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于点A、B．若的长为14，则的周长为______ ． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，，然后可得答案． 【详解】解：∵P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H， ∴，， ∵的长为14， ∴的周长为：， 故答案为：14． 16. 如图，在中，D，E分别是的中点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质求面积即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴，， ∴． 17. 规定一种新的运算，那_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新运算的定义，解题关键在于理解新运算的规则，将行列式中的元素代入公式 进行计算即可求解. 【详解】解：由运算定义，， 故答案为：. 18. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________度． 【答案】50或80##80或50 【解析】 【分析】已知等腰三角形的一个内角为50°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当50°是顶角或者50°是底角两种情况． 【详解】解：此题要分情况考虑： ①50°是它的顶角； ②50°是它的底角，则顶角是． 故答案为：50或80． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 19. 如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接, ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴， ∴点P在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键． 20. 如图，在中，，，D为的中点，于N，交的延长线于点M，连接．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______（填写序号即可） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据各角之间的等量代换即可判断①；利用全等三角形的判定和性质即可判断②；过点C作，交的延长线于点P，利用全等三角形的判定和性质即可判断③；结合全等三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ，结论①正确； 在和中， ∵， ， ， ∵， ，结论②正确； 过点C作，交的延长线于点P， ∵， ， ， 在和中， ∵， ， ， ∵D为的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ， ， 又， ，结论③正确； ∵， ， ∵， ∴，结论④错误， 因此正确的有①②③． 三、解答题（共60分） 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 当时， 原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． （1）若与关于y轴对称．请在图中画出； （2）依次写出，，坐标，______，______，______； （3）______． 【答案】（1）如图，即为所求； （2），， （3）4 【解析】 【分析】（1）确定关于y轴对称的对称点即可； （2）根据图形可得，，的坐标； （3）利用割补法求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图形可得：，，. 【小问3详解】 解：的面积． 24. 如图，在中，，垂足分别为D、E，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ． ∴ ． 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】（1） 由垂直得到直角，利用同角的余角相等得到，结合，用 证明； （2） 由及得为等腰直角三角形，得到；在中求出，再由全等得，计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． 由，得， ，， ， ． 25. 新区二校美术社团实践课上，程老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． （1）如图，从花折伞中抽象出“伞形图”，，．求证：． （2）同学们准备用伞拼成优美的艺术品在我区艺术节进行展览，现已知有橙色与蓝色两种颜色的伞，若一共需要50把花折伞，同学们制作的蓝色折伞数量不超过橙色折伞数量的，那么同学们至少要制作多少把橙色雨伞？ 【答案】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）同学们至少要制作30把橙色雨伞 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）橙色伞x个，则制作蓝色伞个，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设橙色伞x把，则制作蓝色伞把 ，解得：． 答：同学们至少要制作30把橙色雨伞． 26. ，D为边中点． （1）如图1，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接．求证：． （2）如图1，在（1）问条件下若，求证：． （3）如图2，，求证：． 【答案】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴． （3）如图，延长交于点H，过点B作交的延长线于点F，过点C作于点K． ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． ∴ 过点A作于点M， ∵为等腰三角形的高， ∴ ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （2）利用全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可证明； （3）延长交于点H，过点B作交的延长线于点F，过点C作于点K．设，则，根据各角之间的关系得出，确定，过点A作于点M，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）当时，求t值． （3）在（2）的条件下，连接，若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形的面积是的面积2倍？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）4或8 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）分两种情况：点在上和点P在上，画出示意图讨论求解即可； （3）根据（2）求出的面积，进而得到的面积，再求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）知， ，， ， ， ， 当点在上，即时， 如图，由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ； ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，即时 同理可证明， ； ∵， ∴， ∴； 综上所述，t的值为4或8； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为或； 如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积2倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $