精品解析：黑龙江哈尔滨市呼兰区2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试题

2026—2027学年度上学期八年级期中考试题 数 学 试 卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 2. 下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，沿图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 4. 点关于轴的对称点为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 6. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，角平分线，相交于点，过点作，分别交，于点，．若，，则的周长等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 8. 如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 10. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 12. 一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是___________． 13. 如图，，点在线段上，，，则________． 14. 等边三角形是轴对称图形，它有___________条对称轴． 15. 如图，在中，和的角平分线交于点，若，则的度数为________． 16. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=12cm2，那么S△ABE为____cm2． 17. 如图，在等边三角形中，，，则的长为_____． 18. 如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为______． 19. 等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 20. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 三、解答（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长比底边长短，求它的三边长； （2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由． 22. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在平面直角坐标系中作出三角形关于y轴对称的； （2）内有一点，与之对应的内点的坐标是________； （3）在x轴上找一点Q，使得最小（保留作图痕迹，找到点Q的位置）． 24. 如图，在中，，，平分交于点． （1）求的度数． （2）若于点，是上一点，且．求证：是直角三角形． 25. 如图，在中，，是角平分线，且，交于点， （1）求证：． （2）求证：． 26. 在等边中，点分别是，上的点，，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长至点，使，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，若，求的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点，，． （1）求点A的坐标； （2）点为线段上一点，连接，求的面积；（用含n的式子表示） （3）在（2）的条件下，点T为线段上一点，连接、，，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期八年级期中考试题 数 学 试 卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确； D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； 故选C． 2. 下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形， 观察可知，、、中的汉字均不是轴对称图形，中的汉字“中”沿竖直中线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形． 3. 在中，，沿图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，再根据四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4. 点关于轴的对称点为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为． 5. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 6. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 7. 如图，在中，角平分线，相交于点，过点作，分别交，于点，．若，，则的周长等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等角对等边得，，则的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故选：D． 8. 如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质等知识点，解题的关键在证明．先证明．然后利用全等三角形的性质得出，再结合三角形内角和定理计算出的具体度数． 【点睛】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠DAE=∠B=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠CAD=30°， ∴BD =AD=2DC=6 ∴BC=9 故选：B． 考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 10. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的知识，理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性，即可获得答案． 【详解】解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 12. 一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴x的值为5， 即第三边的长是5． 故答案为：5 13. 如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 14. 等边三角形是轴对称图形，它有___________条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、等边三角形，掌握轴对称图形的定义和等边三角形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的定义和等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：等边三角形三条边上的高所在直线均为对称轴， 等边三角形有3条对称轴． 故答案为：3． 15. 如图，在中，和的角平分线交于点，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=12cm2，那么S△ABE为____cm2． 【答案】3 【解析】 【详解】∵D是BC的中点， ∴S△ABD=S△ABC=×12=6cm2， ∵E是AD的中点， ∴S△ABE=S△ABD=×6=3cm2． 故答案为3． 【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 17. 如图，在等边三角形中，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，且，， ∴D为的中点，且， ∴ , 故答案为：． 18. 如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：，分别是，的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 故答案为：． 19. 等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 20. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上可知，其中正确的有①②③④． 三、解答（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长比底边长短，求它的三边长； （2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能，另外两条边长都是 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证． （1）设腰长为，则底边长为，由条件列出方程，求解即可； （2）分腰长为和底边长为两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设腰长为，则底边长为， ． 解得． ∴它的三边分别为，，． 【小问2详解】 解：能围成有一边长的长是的等腰三角形．理由如下： ①如果长的边为底边，设腰长为，则 ． 解得． ②如果长的边为腰，则另两边长为，． ∵，不符合三角形两边之和大于第三边， 故不能围成腰长为的等腰三角形， 综上所述，能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长都是 22. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】略 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在平面直角坐标系中作出三角形关于y轴对称的； （2）内有一点，与之对应的内点的坐标是________； （3）在x轴上找一点Q，使得最小（保留作图痕迹，找到点Q的位置）． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） （3）解：如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）分别确定关于y轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质可得答案； （3）确定关于轴对称的对称点，连接交轴于，则点即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：内有一点，与之对应的内点的坐标是. 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，，平分交于点． （1）求的度数． （2）若于点，是上一点，且．求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴． 在中， ． 由（1）知，即． 在中， =． ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数； （2）先由垂直的定义得到，结合的度数求出度数，再结合（1）中的度数推出的度数，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数，从而证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 平分， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义以及直角三角形的判定，解题关键是熟练运用三角形内角和定理计算角度，结合角平分线和垂直的条件推导相关角的度数，进而完成证明． 25. 如图，在中，，是角平分线，且，交于点， （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， 是角平分线． ∴ ，． ∴ ． 在中． ∴ ． 在四边形中． ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）证明：在上取一点，使，连接， ∵ 平分， ∴ ． 在和中 ∴ ． ∴ ． ∵ ，． ∴ ． 由（1）得． ∴ ． ∵ 平分， ∴ ． 在和中 ∴ ． ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和算出，结合角平分线得到，求出，再借助四边形内角和与邻补角等量代换，证明． （2）截长补短，在上截取，先证，再结合第（1）问结论证得到，最后由推出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 26. 在等边中，点分别是，上的点，，与交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长至点，使，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形． ∴ ，． 在和中 ∴ ． （2）证明：由（1），得． ∵ ． ∴ ． ∴ ∵ , ∴ 是等边三角形． ∴ ，． ∵ 是等边三角形． ∴ ， ∴ ． ∴ ． 即 ． 在和中 ∴ ． ∴ ． （3）6 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形得到一组边相等、一组角相等，结合已知，用 证明两个三角形全等． （2）先由第一问全等推出，结合得到等边，再证明与全等，证出． （3）倍长到，先证明和全等得到，再结合前面的结论证明和全等，得到，由，求出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接． ∵ 点是的中点， ∴ ． 在和中， ∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 由（2）可得，是等边三角形， ∴ ，． 由（2）， ∴ ，． ∴ ． ∴， ∵ ，， ∴ ． 在和中， ∴ ． ∴ ． ∵ ，，， ∴ ． ∴ ． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点，，． （1）求点A的坐标； （2）点为线段上一点，连接，求的面积；（用含n的式子表示） （3）在（2）的条件下，点T为线段上一点，连接、，，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的面积求解即可； （2）先表示出的面积，再根据求解即可； （3）添加辅助线，利用求出点T的纵坐标，再使用待定系数法求出直线的函数表达式，即可得到点T的坐标，再根据角度的关系得到为的角平分线，利用角平分线的性质即可得到边的关系，再使用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设点，且， ∵点，． ∴，解得， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点为线段上一点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点T作轴于点Q，轴于点N，过点P作于点M，如图： ∵， 解得，即点T的纵坐标为， 设直线的函数表达式为， 因为直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点T的纵坐标为，且在直线上， ∴，解得， ∴点T的坐标为， ∴，， ∵点，即， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即为的角平分线， ∵轴，， ∴，， ∵，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 则， 展开可得，解得， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $