山西省太原市2026-2027学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷

2026~2027学年第一学期高二年级阶段学业诊断 数学试卷 (考试时间：下午2：30一4：30) 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 题号 二 三 四 总分 得分 如 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 的 符合题目要求 翠 1.直线x-V3y+5=0的倾斜角为 A.30 B.60° C.120° D.150° 2.椭圆16x2+25y2=400的焦点坐标为 A.(0,-5)和(0,5) B.(0,-3)和(0,3)】 C.(-5,0)和(5,0) D.(-3.0)和(3,0) 3.在空间直角坐标系Oxz中，点(-3,2,5)关于坐标平面Oyz对称的点的坐标为 A.(3,2,5) B.(-3,2,-5) C.(3,-2,5) D.（-3.-2,-5) 4.直线3x-4y+2=0与直线3x-4y-8=0之间的距离是 A.1 B.2 6 5 8 0 数 高二数学第1页（共8页） 5.圆(x-1)+(y+4)=9关于直线x轴对称的圆的方程为 A.(x+1)2+(y-4)=9 B.(x-1)2+(0y-4)=9 C.(x-1)2+(y+4)=9 D.(x+1)2+(y+4)=9 6.已知直线1过点P(-1,2),且与以M(2,-1),N(3,3)为端点的线段有公共点，则直线1的斜率 的取值范围是 A.[-4.-1] x 7.已知椭圆：) =1的左右焦点分别为F,F,点P在C上，则下列结论正确的是 A.椭圆C的长轴长为5 B.椭圆C的焦距为2 C.椭圆C上存在点P,使得PF,PF,取得最大值9 D.椭圆C上存在点P,使得∠F,PF,=90 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N分别是棱A,D,CC,的中点，点P是 正方形ABCD(含边界)内的动点，则数量积PM·PT的取值范围是 B.[1,4] B D1----. D: D.[1.5] 高二数学第2页（共8页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线1：(m+3)x-(m+4)y-m=0(meR),圆C:(x-1)+(y-2)=4,则下列结论 正确的是 A.直线1恒过定点(4,3) B.不存在m∈R,使得直线I与圆C相切 C.若直线1与圆C交于A,B两点，则AB的最大值为4 D.圆C上到直线的距离为1的点最多有3个 10.已知圆C:x2+y2-2x+2y-2=0,点P在直线k:x+y-4=0上运动，过点P作圆C的两 条切线，切点分别为A,B,则下列结论正确的是 A.直线1与圆C相离，且切线长PA的最小值为2 B.当PC取得最小值时，切点弦AB的方程为x+y-2=O C.切点弦AB的长度的最大值为2V② D.过A,B,P三点的圆的面积的最小值为2m 1.对于空间向量a,b(6≠0)，定义一种新的运算0：4⊙6=a-a:b6.则下列结论正确的是 b A.对任意a,b(b≠0)，都有(a⊙b)⊥b B.对任意a,b(a≠0，b≠0)，都有a⊙b=b⊙a C.对任意a,b,c(b≠0)，都有(a+c)⊙b=(a⊙b)+(c⊙b) D.若a⊥b,则a⊙b=a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知空问向量a,b满足a=2,b=3,且(2a+b)(a-2b)=-19,则a与b的夹角 为 13.已知圆C:(x-1)2+(6-2)=4,过点P(2.3)的直线1与圆C交于A,B两点，则当AB取 得最小值时，直线的方程为 14.已知椭圆C+二=1的左，右焦点分别为F,F,点P在椭圆C上，且PF,=2PF, 9 5 则△PF,F,的面积为 高二数学第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 得分 评卷人 15.(本小题13分)】 已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,2),B(3,4),C(1,-2). (1)求边AC的垂直平分线的一般式方程； (2)求△ABC的外接圆的方程： 高二数学第4页（共8页） 得分 评卷人 16.(本小题15分) 如图，在斜三棱柱ABC-AB,C,中，底面△ABC满足AB=2,AC=BC=V2,侧棱 AA,=2,且∠A,AB=60°，∠A,AC=45.记AB=a,AC=b,AA=c.M为棱BC的中点，N为棱 BB,的中点 (1)用a,b,c表示向量M,并求M: (2)用向量法证明：A,B⊥平面AB,C. 到 B M ☒ 高二数学第5页（共8页） 得分 评卷人 17.(本小题15分) 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=V5,CB=CD=2V2,AC=3.将△ACD沿对角线 AC翻折至△ACD'的位置，使平面ABC⊥平面ACD',如图2 (1)设E为棱AD上一点.且AE=3AD,F为△BCD的重心，证明：EF∥平面ABC: (2)设点P为线段BC上的动点（包括端点），是否存在这样的点P,使得直线D'P与平面 ABD'所成角为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由. D D -C A B 图1 图2 高二数学第6页（共8页） 得分 评卷人 18.(本小题17分)》 之知都随圆C2+ =1(a>6>0)的离心率为Y2,且经过点(2，V2), (1)求椭圆C的标准方程； (2)设F,F,分别为椭圆C的左、右焦点，过点F,的直线1与椭圆C交于A,B两点 ①若AB=3V2,求直线l的方程； ②求△F,AB面积的最大值 高二数学第7页（共8页） 得分 评卷人 19.(本小题17分) 我国古代数学名著《九章算术》中蕴含着丰富的与圆的相关知识.如书中的“圆田术”给 出了圆的面积的计算方法.圆作为一类重要的平面几何图形，其相关性质是解析几何的重要 研究内容.已知圆C:(x-4)+y2=7,圆D:(x-a)+y2=r2(r>0) (1)若圆D与圆C相交，且两圆公共弦所在的直线方程为x=2,试求实数a与r所满足的 关系式： (2)根据(1)所得的a与r的关系式，若取a=3,并设圆D与x轴交于E,F两点，其中E在F 的左侧.过点Q(6,0)的一条直线与圆D交于A,B两点，试判断直线AE与直线BF的交点是否 落在一条定直线上，并证明你的结论 高二数学第8页（共8页）2026-2027学年第一学期阶段学业诊断高二数学参考答案与解析 一、单项选择题：1-4ADAB 5-8BDCA 二、多项选择题：9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：12.60° 13.x+y-5=0 14.15 四、解答题 15.(13分) (1)由A(-1,2),C(1,-2)得AC的中点为O(0,0),且k4c=-2.因为垂直平分线与 AC垂直，所以垂直平分线的斜率k=】 …4分 又它经过点O(0,0),由点斜式得边AC的垂直平分线所在直线的方程为y=2,化 为一般式得X一2y=0.…6分 (2)由(1)知边AC的垂直平分线为x-2y=0.设AB的中点为N,由 AL2),B民4)得NL3),且e号所以，边AB的重直平分线的斜率为-2，英方 程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0 …9分 联立x-2y=0与2x+y-5=0,解得x=2,y=1.所以，△ABC得外接圆的圆心为 (2,1）.… ………11分 又2=(2+1)+(1-2)=10，所以，△ABC的外接圆的方程为 (x-2)2+(y-12=10… …13分 16.(15分) a)d-a+列.w-a+a）a+5.放--d-a- 4分 -点-6+-0++月-2a6-26.c+2ad-4+2+4-4-4+4 -- …7分 (2)AB=a-c,AB=a+c,AC=B.... …9分 4B-AB=(a-ca+c)=-=4-4=0.故4B1AB…1分 ABAC=(a-Ci=a-6-万-c=2-2=0,故4B1AC.…13分 又ACOAB,=A,AB,ACC平面AB,C,，所以，AB⊥平面AB,C…15分 17.(15分) (1)证明：取BC的中点H,连接D'H,AH.因为F为△BCD'的重心，所以，F在 DH上，且DF=2H.又因为E在棱AD'上，且AE=AD',所以，DE=2AE.从 而有EF∥AH.… …2分 又AHC平面ABC,EF丈平面ABC,所以，EF∥平面ABC …5分 (2)取AC上靠近点A的三等分点O,连接OB,OD',则AO=1,计算可得 OD'=OB=2,从而有OB⊥AC,OD'⊥AC.又由平面ABC⊥平面ACD',平面 ABCO平面ACD'=AC,OD'C平面ACD',所以，OD'⊥平面ABC.又由OBC平 面ABC,可知OD⊥OB.…7分 以O为原点，以OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴建立如图所示空间直角坐标系. D' B 由题意可得A(0,-1,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D'(0,0,2).平面ABD'内有两个向量 AB=(2,1,0）,AD=(0,l,2）…9分 2x+y=0 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则 y+2z=0 取y=-2,得n=(1,-2,1), 且以=√6……1l分 设P在棱BC上，且BP=BC,0≤元<1.因为BC=(-2,2,0),BC=2V2,所 以，P(2-2元，22,0）.所以，DP=(2-22,2元，-2)…12分 设直线D'P与平面ABD'所成角为O,则 DP.n 6 √5元 sinθ …13分 D网6V8(2-+1）2元-元+1 若9=30，则n8=片所以， 3元-1 2顶+12化简得22+月-1-0.解程 或1因为0≤2≤L,所以，2正 此时，BP=1BC=√2.所以，存在点P,且BP的长为√2…15分 2 18.(17分) （1)由离心率为3 空又指版C经过点，所以合+后-1又 由a2=D+c2,得a=25,b=2.所以，椭圆C的标准方程为+上-1…5分 84 (2)①由(1)知F,(2,0).当直线1与x轴重合时，A,B为长轴的两个端点， AB到=4W2≠3V2,不合题意。 …7分 x=y+2 当直线1与x轴不重合时，设1：x=my+2,A(,4),B(,)联立兰+上-1 84 并消去x,得(m2+2)y2+4y-4=0，其判别式△=16m2+16m2+2)>0,且 片+=_4m 4 m2+2=- …9分 m2+2 所以，0--房+为-4g-（ 4m2,1632(m2+1 m2+2 m+2(m2+2 即l-⅓=4Wm m2+2 -2 . ，…11分 m2+2 由h83N5得m+-3,解得m=士.所以，直线I的方程为 m2+2 x-√2y-2=0或x+√2y-2=0.…13分 ②因为F(-2,0),F(2,0)，所以，耳F引=4，故 SaeF内-小上2x45mH85m …15分 m2+2 m2+2 令t=Vm2+1≥1，则m2+2=P+1,所以，SRA 82E82s85=4W2, -2+1 t+1s2 当且仅当t=1,即1=0，直线1：x=2垂直于x轴时取等号.所以，△FAB面积的最大值 为4W2.… …17分 19.(17分) (1)圆C的方程可化为x2+y2-8x+9=0,圆D的方程可化为 x2+y2-2x+a2-r2=0.两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 (2a-8)x+(9-2+r2）=0.…2分 由题意，该直线为x=2,故2a-8≠0，即a≠4，且2(2a-8)+9-a2+r2=0, 即4a-16+9-a2+r2=0,整理得r2=a-4a+7.故a与r满足r2=-4a+7 (a≠4，且r-V<h-4<r+万)… …5分 (2)由(1)，取a=3,则r2=9-12+7=4,即圆D:(x-3)}+y2=4,圆心D(3,0), 半径2.… …7分 因为CD=1,且V厅-2<1<V7+2,所以圆C与圆D相交，符合题意.圆 D:(x-3)}+y2=4与x轴的交点为E(1,0),F(5,0).由圆D的方程，知Q(6,0)在圆D 外 …… …9分 设过0的直线48的方程为)=m)《m为斜率，时k)。代入 (x-3)+y2=4,得m2+1x2-(12m2+6)x+362+5）=0.设A(x,y）,B(x,为)， *6 m+1,且y=-6)(i=12)1分 直线AE过A(x,片)与E(1,0),直线BF过B(x,y)与F(5,0).设它们的交点为 (,）,则在AE上，满足(：-1)=y(x-1)，2在BF上满足 (x,-5)=y(-5).两式联立消去%，得4(-1)(x-5)=(-5):-1) …14分 将y,=m(x-6)(i=1,2)代入上式，消去y,(i=1,2)并整理，得 x-1_(x-1(x-6)_xx-(:+x）-5x+6 ，…15分 -5(:-6)(x-5)xx-6(+x+x+30 将5+x=12n+6、 30m2+5-5x 2，=之代入，化简可得五1 =_+1 =5, m2+1 -5 -6m2-1 m2+1 +x 月，与m的取值无关，因此直线AE与直线BP的交点在定 3 上…17分