专题05 椭圆（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）方程的化简结果是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的短轴长为4，则（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 5．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（       ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 9．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若△的面积为，则点的横坐标为 11．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（   ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C. 6 D.  15．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知点为坐标原点，直线与椭圆交于点，点在上，，若，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）（多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（       ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 18．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）（多选）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的方程为 20．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（       ）． A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）（多选）已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A. 椭圆的离心率为 B. 弦长的取值范围为 C. 面积的最大值为12 D. 存在点使得 25．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 27．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 29．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2）经过点，两点． 32．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 33．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为　　　　　． 35．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，求. 36．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在y轴上； （2）焦距为4，且经过点； （3）经过点，的椭圆标准方程. 37．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 38．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）若直线与椭圆交于、两点，且线段的中点在圆上，则　　　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 40．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知椭圆方程，离心率为. （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程. 41．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上的动点，且点与点不重合，直线与直线分别交于点，求证：以线段为直径的圆过定点． 42．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为　　　　　　． 43．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为 （为坐标原点），求椭圆的标准方程． 44．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）某曲线的方程为，若直线与该曲线有公共点，则实数的取值范围是　　　　　. 45．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为　　　　　　. 46．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 47．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）设，向量分别为平面直角坐标内轴正方向上的单位向量，若向量，，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）设椭圆，曲线的切线交椭圆于两点，求的面积. 48．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 49．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 50．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求： ①已知直线过定点，求定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 51．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为； 步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点． 现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由． （3）直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围． 52．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　. 53．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，点为上的动点，的周长为6. （1）求的标准方程. （2）若，求的面积； （3）已知直线与椭圆交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出定点的坐标.若不是，请说明理由. 54．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 55．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，记动点M的轨迹为 （1）求C的方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交C于P，Q和S，T，满足（i）证明：直线，的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值. 56．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．A 10．BD 11．D 12．B 13．A 14．D 15．C 16．C 17．ACD 18．B 19．BCD 20．A 21．B 22．A 23．B 24．CD 25．C 26．ACD 27．B 28．C 29．B 30．【答案】 【分析】 根据椭圆的几何性质直接可得. 【详解】 椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得 ，解得， 所以的标准方程为 故答案为：. 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆的标准方程． （2）根据与两条坐标轴的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． (1) 小问详解： 因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； (2) 小问详解： 由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. (1) 小问详解： 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. (2) 小问详解： 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由 可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 33．【答案】9 【分析】 建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】 如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由 ，得 ， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 34．【答案】 【分析】 根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】 由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件得到 ，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设C的半焦距为. 由题意得 得 C的方程为. (2) 小问详解： 设，. 联立，得 化简得， ，. . 36．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解. （2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解. （3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解. (1) 小问详解： 不妨设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以, 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意，所以，分以下两种情形来讨论， 情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 综上所述，椭圆的标准方程为或. (3) 小问详解： 由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点， 所以，所以，且长轴端点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 37．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【分析】 （Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】 （Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】 本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 38．【答案】 【分析】 将直线的方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，代入圆的方程并结合可求得实数的值. 【详解】 设点、，联立 ，可得， ，解得， 由韦达定理可得，则， 所以，线段的中点为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由距离之比化简可得曲线方程； （2）利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，表示面积用基本不等式求解最值. (1) 小问详解： 由题意得点到直线的距离为， 由得，化简整理得， 所以曲线的标准方程为． (2) 小问详解： 由题意得设直线的方程为， 由 ，得， 由得或， ， ， 又点到直线的距离为， 的面积， 令（或），则， 当且仅当，即当时，面积取最大值． 40．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据椭圆的几何性质可得椭圆的方程； （2）设直线的方程，再代入椭圆方程，计算弦长，再由面积可得直线的方程 (1) 小问详解： 题意可知，椭圆，且，. 又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零（否则不能构成），设的方程为， 联立方程组 ，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到直线的距离， 故的面积， 得，，， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或. 41．【答案】（1）     （2） 由题知，， 因为点是椭圆上的动点，所以，得， 设直线的斜率分别为，则， 所以，故， 所以直线，直线， 所以点， 由， 故以线段为直径的圆过定点．      【分析】 （1）将代入椭圆方程结合离心率得到，再由离心率和关系，即可求解； （2）求出直线的斜率，，由点的椭圆上，得到为定值，求出坐标，证明即可. (1) 小问详解： 由得，代入椭圆方程得， 又椭圆离心率为，所以，解得，得， 又，得，所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 略 42．【答案】2 【分析】 利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】 设椭圆的左焦点为，由题知， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立， ， ， 则的最小值为2． 故答案为：． 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得出、的等量关系，由此可求得椭圆的离心率的值； （2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出以及原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出椭圆的方程. (1) 小问详解： 解：由题知椭圆上顶点的坐标为，左、右顶点的坐标分别为、， 所以，即， 又，所以，所以椭圆的离心率. (2) 小问详解： 解：设、，联立 得， 所以，可得，，， 所以， 又原点到直线的距离，所以， 解得，因此，椭圆的方程为． 44．【答案】 【分析】由题意得知曲线为线段（其中、），注意到直线是过定点且斜率为的直线，利用数形结合思想观察当直线与线段有公共点时，直线的倾斜角的变化，即可求出实数的取值范围. 【详解】，可知该曲线上的点到点、的距离之和为，该曲线即为线段， 又直线是过定点P且斜率为的直线， 如下图所示： 直线的斜率为，直线的斜率为. 故当直线与线段有交点时，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用直线与线段由公共点求斜率的取值范围，同时也考查了轨迹方程的求解，利用数形结合思想得出直线斜率的取值范围是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 45．【答案】 【分析】 根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】 设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得，即， 解得，所以椭圆的离心率为.    故答案为：. 46．【答案】（1）     （2）     （3）存在点      【分析】 （1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 . 所以的方程为. (2) 小问详解： 设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. (3) 小问详解： 存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由 得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值. 47．【答案】（1）;     （2）.      【分析】 （1）利用平面向量的模的坐标运算，转化为到两定点的距离之和为定值，再判断轨迹是椭圆，从而即可得椭圆的标准方程. （2）利用直线与椭圆的相切可得参数的关系，再利用弦长公式计算,用点到直线的距离公式计算高来求三角形面积，最后消可得面积为定值. (1) 小问详解： 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由 可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于两点， ∴由 可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由 知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 48．【答案】（1）     （2） 设，，因为直线过点且斜率不为， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而．     （3） 由（1）知，设，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 可得 ， 所以直线与直线的交点的坐标为， 所以点在定直线上. 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值； （3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． (1) 小问详解： 依题可得 ，解得 ，所以， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 49．【答案】（1）；     （2）证明如下： [方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④ 式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点．      【分析】 （1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. (1) 小问详解： 依据题意作出如下图象：        由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 50．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到 ，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）① 设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；. ② 利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解. (1) 小问详解： 解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1， 由椭圆的几何性质，可得 ，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 解：① 由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且， 设直线的方程为，且， 联立方程组 ，整理得， 所以，可得， 又由，所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ② 由① 知：， 可得， 所以， 令，则，所以， 因为函数在上为单调递增函数， 所以在上为单调递减函数， 故当时，面积取得最大值，最大值为. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 51．【答案】（1）     （2）存在定点，定值为     （3）      【分析】 （1）根据长度关系和椭圆定义可知曲线为椭圆，结合长轴长和焦距可求得椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；假设存在定点，利用斜率公式表示出，代入韦达定理的结论进行整理化简可求得定点和定值； （3）当直线斜率存在时，假设方程，将转化为；根据直线与椭圆相切、直线与圆相切的位置关系，可利用表示出，进而得到，根据分式型函数值域求法可求得取值范围；当直线斜率不存在时，可求得；综合两种情况可得取值范围. (1) 小问详解： 由题意知：在线段的垂直平分线上，， ， 点的轨迹是长轴长，焦距的椭圆， 椭圆短半轴长， 则曲线的方程为：. (2) 小问详解： 直线不与轴垂直，且过点， 则可设，，， 由 得：， ，； 设在轴的正半轴上存在定点，使得直线斜率之积为定值， ， 若为定值，则，即，又，，此时； 存在定点，使得直线斜率之积为定值，该定值为. (3) 小问详解： ① 当直线斜率存在时，假设，， 由题意知： 设点到直线的距离为，则， ，，； 由 得：， ，即； 与圆相切，，即， ，， ， ，，，即； ② 当直线斜率不存在时，不妨令，则，； 综上所述：的取值范围为. 52．【答案】 【分析】 根据题意，令，得到，求得，结合椭圆的定义及勾股定理，得到和，联立方程组，进而求得椭圆的离心率. 【详解】 如图所示，令，因为，可得， 所以，可得， 因为，令，则， 由椭圆的定义，可得， 又由，则， 所以，整理得， 又因为，可得， 所以，整理得， 所以，整理得， 联立方程组 ，解得，故， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 53．【答案】（1）     （2）     （3）是，定点（0，2）      【分析】 （1）根据椭圆的定义和离心率的定义即可求解； （2）根据余弦定理，椭圆的定义，面积公式即可求解； （3）直线与椭圆联立，写出的直线方程并令，得，利用韦达定理证明其为定值. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距，， 所以的周长为，即. 又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，，所以， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 由题可知，，设，，. ， ，， 中，由余弦定理得， ， 又因为，， . (3) 小问详解： 联立方程组 ，整理得， 设，，则，， 得. 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点. 54．【答案】（1）     （2） ①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. ②      【分析】 （1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）① 当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；② 设，的中点为， 直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. (1) 小问详解： 设点的坐标为，则 化简得，即曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由 ， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 55．【答案】（1）     （2）（i）设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立 ，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. （ii）      【分析】 （1）根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）（i）设P，Q的坐标分别为，，的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得，同理有，结合，即可求证； （ii）由弦长公式结合，得到，令，结合基本不等式求得，再构造函数，求导确定单调性即可求解；或， 令设，构造函数，结合其单调性即可求解． (1) 小问详解： 因为动点与定点的距离和点M到定直线l：的距离的比是常数， 可得， 化简整理得， 即曲线C的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）不妨设的斜率，其倾斜角为， 则四边形PSQT的面积为， ， 同理得， 由， 得， 又， 所以 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设， 所以在区间上单调递减， 当时，取得最大值， 所以四边形的面积最大值为， 或 ， 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设， 可知在区间上单调递增， 当时，取得最大值， 所以四边形PSQT的面积最大值为 56．【答案】（1）；     （2）或或或；     （3）      【分析】 （1）根据给定条件，利用离心率的定义及圆的切线性质列式求出即可. （2）设直线的方程并求出点的坐标，进而求出直线方程及点的坐标，由三角形面积建立方程求解. （3）设直线的方程为，，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，求出，再就点的位置分两种情况讨论得解. (1) 小问详解： 由离心率为，得椭圆半焦距， 由以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切，得， 由，得，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设直线方程为，，则点，， 由 消去并整理得， 解得，，则，， 直线的斜率， 则直线方程，令，解得，即， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或或或. (3) 小问详解： 设直线的方程为，， 由 ，得， ，，， 则， 当点在椭圆上或外部，即时，，， 于是； 当点在椭圆上或内部，即时，，， ， 令，则，， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 题目条件符合椭圆的定义，求出即可写出轨迹方程 【详解】 结合椭圆定义可知，动点的轨迹为以，为焦点且长轴长为6的椭圆，，，所以，动点的轨迹方程为. 故选：B 2．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【详解】利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果． 【详解】解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以， 所以椭圆的焦点坐标． 故选：D． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 3．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）方程的化简结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果. 【详解】 根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 4．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的短轴长为4，则（       ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】B 【分析】 根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解. 【详解】 由的短轴长为4，得，即，则． 若，则，显然矛盾； 若，则． 故选：B. 5．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用椭圆的定义建立关于的不等式，求解即得. 【详解】 依题意,可得时，解得. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（       ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【分析】 由椭圆的定义即可求解. 【详解】 由椭圆方程可得， 由椭圆的定义得到另一个焦点的距离为. 故选：B 7．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由轴可得：，不妨设点，设，，由，解得、，代入椭圆方程化简即可求解． 【详解】 解：由轴可得：，不妨设点， 设，，由， 得，，代入椭圆方程得：， 结合，化简上式可得：， 所以椭圆的离心率为， 故选：． 8．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 分椭圆的焦点在轴、轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程. 【详解】 当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意可得，解得即可. 【详解】 因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 10．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】BD 【分析】 根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可. 【详解】 对选项A，，故A错误； 对选项B，设，则，， ，， 则，故B正确. 对选项C，因为椭圆，，，， 所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：BD 11．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分焦点在轴上与轴上讨论，求的取值范围. 【详解】 当 时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当 时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 综上，实数的取值范围. 故选：D 12．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】 因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 13．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】 根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 14．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C. 6 D.  【答案】D 【分析】 由椭圆方程确定，即可求解. 【详解】 由椭圆方程得，则，所以， 所以该椭圆焦距为. 故选：D 15．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过P作垂直于x轴，垂足为Q，根据坐标判定，由特殊直角三角形计算即可. 【详解】 易知，过P作垂直于x轴，垂足为Q， 显然，得， 则. 在中，由，得， 得． 故选：C 16．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知点为坐标原点，直线与椭圆交于点，点在上，，若，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，联立直线与椭圆的方程求出，，由椭圆的弦长公式表示出，，代入，即可得出答案. 【详解】 设， 由 得， 由，设， 可得：， 所以， 所以， 所以，所以的离心率为， 故选：C. 17．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）（多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（       ） A. 存在点使 B. 的周长为16 C. 的最大面积为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】 对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】 由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 18．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意结合椭圆的定义，求出，，然后勾股定理得出a、c的关系即可. 【详解】 A为线段的中垂线与的交点，所以，， 三角形的周长为， 所以，又， 所以，又， 所以， 故选：B. 19．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）（多选）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的方程为 【答案】BCD 【分析】 利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得判断A，利用切线长性质结合双曲线的定义可判断B，利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式可判断C，利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程判断D. 【详解】 对于A：由可得，所以，故A错误； 对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K， 可得，，，又因为， 所以，又， 解得，， 可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确； 对于C：在椭圆中，，，则， 由，得 ，解得a＝3， 则的离心率，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 若，则， 又c＝2，，解得，， 则椭圆的方程为，故D正确． 故选：BCD. 20．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设出点，再表示出，，，结合椭圆方程与离心率定义代入计算即可得. 【详解】 如图，设，则，有，即， 则，，， 则有， 则. 故选：A. 21．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】 由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过三点的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 22．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用重心坐标公式结合韦达定理计算即可. 【详解】 设点，椭圆右焦点为, ∴ ， 设的方程为，代入椭圆方程， 得：， ① ，② ， 联立① ② 得 ，即的方程为，满足. 故选：A． 23．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解. 【详解】 因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点满足，则此时，则， 则，解得； 若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点M满足，则此时，则， 则，解得， 综上，m的取值范围是 故选：B. 24．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）（多选）已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A. 椭圆的离心率为 B. 弦长的取值范围为 C. 面积的最大值为12 D. 存在点使得 【答案】CD 【分析】 根据离心率的公式即可判断A；根据椭圆性质可判断B，由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断C, 根据向量的数量积即可判断D； 【详解】 由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，当时，，当直线与轴重合时，，所以弦长的取值范围为,故B错误； 对于C，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即.故C正确； 对于D, 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故D正确；   故选：CD 25．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围. 【详解】 由题可得圆半径为，因恒成立， 则.由椭圆定义，可得， 如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P， 当三点共线时最大，又，则， 即，取最值时，四点共线. 则，即，所以，即. 故选：C 26．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【分析】 由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】 由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 27．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】 由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 28．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案即可. 【详解】 如图，作出符合题意的图形，    对于A，由题意得椭圆， 可得，， 设,，，则， 则， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值如下， 为，故A错误， 对于B，由题意得椭圆的离心率，故B错误， 对于C，由于为定值，所以当位于椭圆的上下顶点时， 三角形的面积取得最大值为，故C正确， 对于D，设，由余弦定理得 ， 当且仅当时等号成立，而，则， 可得的最大值不为，故D错误. 故选：C 29．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】 设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，    所以点，所以直线的斜率为， 所以 由 ，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 30．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆的几何性质直接可得. 【详解】 椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得 ，解得， 所以的标准方程为 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在y轴上； （2）经过点，两点． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆的标准方程． （2）根据与两条坐标轴的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． (1) 小问详解： 因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； (2) 小问详解： 由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 32．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. (1) 小问详解： 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. (2) 小问详解： 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由 可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 33．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】 如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由 ，得 ， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 34．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】 由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：. 35．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件得到 ，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设C的半焦距为. 由题意得 得 C的方程为. (2) 小问详解： 设，. 联立，得 化简得， ，. . 36．（25-26学年高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在y轴上； （2）焦距为4，且经过点； （3）经过点，的椭圆标准方程. 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解. （2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解. （3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解. (1) 小问详解： 不妨设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以, 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意，所以，分以下两种情形来讨论， 情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 综上所述，椭圆的标准方程为或. (3) 小问详解： 由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点， 所以，所以，且长轴端点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 37．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【分析】 （Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】 （Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】 本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 38．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）若直线与椭圆交于、两点，且线段的中点在圆上，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 将直线的方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，代入圆的方程并结合可求得实数的值. 【详解】 设点、，联立 ，可得， ，解得， 由韦达定理可得，则， 所以，线段的中点为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 39．（25-26学年高二上·山西期中学·期中）已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由距离之比化简可得曲线方程； （2）利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，表示面积用基本不等式求解最值. (1) 小问详解： 由题意得点到直线的距离为， 由得，化简整理得， 所以曲线的标准方程为． (2) 小问详解： 由题意得设直线的方程为， 由 ，得， 由得或， ， ， 又点到直线的距离为， 的面积， 令（或），则， 当且仅当，即当时，面积取最大值． 40．（25-26学年高二上·山西大学附属中学·期中）已知椭圆方程，离心率为. （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）根据椭圆的几何性质可得椭圆的方程； （2）设直线的方程，再代入椭圆方程，计算弦长，再由面积可得直线的方程 (1) 小问详解： 题意可知，椭圆，且，. 又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零（否则不能构成），设的方程为， 联立方程组 ，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到直线的距离， 故的面积， 得，，， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或. 41．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上的动点，且点与点不重合，直线与直线分别交于点，求证：以线段为直径的圆过定点． 【答案】（1）     （2） 由题知，， 因为点是椭圆上的动点，所以，得， 设直线的斜率分别为，则， 所以，故， 所以直线，直线， 所以点， 由， 故以线段为直径的圆过定点．      【分析】 （1）将代入椭圆方程结合离心率得到，再由离心率和关系，即可求解； （2）求出直线的斜率，，由点的椭圆上，得到为定值，求出坐标，证明即可. (1) 小问详解： 由得，代入椭圆方程得， 又椭圆离心率为，所以，解得，得， 又，得，所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】 设椭圆的左焦点为，由题知， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立， ， ， 则的最小值为2． 故答案为：． 43．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为 （为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得出、的等量关系，由此可求得椭圆的离心率的值； （2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出以及原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出椭圆的方程. (1) 小问详解： 解：由题知椭圆上顶点的坐标为，左、右顶点的坐标分别为、， 所以，即， 又，所以，所以椭圆的离心率. (2) 小问详解： 解：设、，联立 得， 所以，可得，，， 所以， 又原点到直线的距离，所以， 解得，因此，椭圆的方程为． 44．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）某曲线的方程为，若直线与该曲线有公共点，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】由题意得知曲线为线段（其中、），注意到直线是过定点且斜率为的直线，利用数形结合思想观察当直线与线段有公共点时，直线的倾斜角的变化，即可求出实数的取值范围. 【详解】，可知该曲线上的点到点、的距离之和为，该曲线即为线段， 又直线是过定点P且斜率为的直线， 如下图所示： 直线的斜率为，直线的斜率为. 故当直线与线段有交点时，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用直线与线段由公共点求斜率的取值范围，同时也考查了轨迹方程的求解，利用数形结合思想得出直线斜率的取值范围是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 45．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】 设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得，即， 解得，所以椭圆的离心率为.    故答案为：. 46．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在点      【分析】 （1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 . 所以的方程为. (2) 小问详解： 设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. (3) 小问详解： 存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由 得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值. 47．（25-26学年高二上·宁夏银川灵武第一中学·期中）设，向量分别为平面直角坐标内轴正方向上的单位向量，若向量，，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）设椭圆，曲线的切线交椭圆于两点，求的面积. 【答案】（1）;     （2）.      【分析】 （1）利用平面向量的模的坐标运算，转化为到两定点的距离之和为定值，再判断轨迹是椭圆，从而即可得椭圆的标准方程. （2）利用直线与椭圆的相切可得参数的关系，再利用弦长公式计算,用点到直线的距离公式计算高来求三角形面积，最后消可得面积为定值. (1) 小问详解： 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由 可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于两点， ∴由 可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由 知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 48．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 【答案】（1）     （2） 设，，因为直线过点且斜率不为， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而．     （3） 由（1）知，设，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立 可得 ， 所以直线与直线的交点的坐标为， 所以点在定直线上. 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值； （3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． (1) 小问详解： 依题可得 ，解得 ，所以， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 49．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；     （2）证明如下： [方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④ 式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点．      【分析】 （1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. (1) 小问详解： 依据题意作出如下图象：        由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 50．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求： ①已知直线过定点，求定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到 ，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）① 设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；. ② 利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解. (1) 小问详解： 解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1， 由椭圆的几何性质，可得 ，解得，则， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 解：① 由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且， 设直线的方程为，且， 联立方程组 ，整理得， 所以，可得， 又由，所以直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点. ② 由① 知：， 可得， 所以， 令，则，所以， 因为函数在上为单调递增函数， 所以在上为单调递减函数， 故当时，面积取得最大值，最大值为. 【点睛】 方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 51．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为； 步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点． 现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由． （3）直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）存在定点，定值为     （3）      【分析】 （1）根据长度关系和椭圆定义可知曲线为椭圆，结合长轴长和焦距可求得椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；假设存在定点，利用斜率公式表示出，代入韦达定理的结论进行整理化简可求得定点和定值； （3）当直线斜率存在时，假设方程，将转化为；根据直线与椭圆相切、直线与圆相切的位置关系，可利用表示出，进而得到，根据分式型函数值域求法可求得取值范围；当直线斜率不存在时，可求得；综合两种情况可得取值范围. (1) 小问详解： 由题意知：在线段的垂直平分线上，， ， 点的轨迹是长轴长，焦距的椭圆， 椭圆短半轴长， 则曲线的方程为：. (2) 小问详解： 直线不与轴垂直，且过点， 则可设，，， 由 得：， ，； 设在轴的正半轴上存在定点，使得直线斜率之积为定值， ， 若为定值，则，即，又，，此时； 存在定点，使得直线斜率之积为定值，该定值为. (3) 小问详解： ① 当直线斜率存在时，假设，， 由题意知： 设点到直线的距离为，则， ，，； 由 得：， ，即； 与圆相切，，即， ，， ， ，，，即； ② 当直线斜率不存在时，不妨令，则，； 综上所述：的取值范围为. 52．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，令，得到，求得，结合椭圆的定义及勾股定理，得到和，联立方程组，进而求得椭圆的离心率. 【详解】 如图所示，令，因为，可得， 所以，可得， 因为，令，则， 由椭圆的定义，可得， 又由，则， 所以，整理得， 又因为，可得， 所以，整理得， 所以，整理得， 联立方程组 ，解得，故， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 53．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，点为上的动点，的周长为6. （1）求的标准方程. （2）若，求的面积； （3）已知直线与椭圆交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出定点的坐标.若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）是，定点（0，2）      【分析】 （1）根据椭圆的定义和离心率的定义即可求解； （2）根据余弦定理，椭圆的定义，面积公式即可求解； （3）直线与椭圆联立，写出的直线方程并令，得，利用韦达定理证明其为定值. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距，， 所以的周长为，即. 又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，，所以， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： 由题可知，，设，，. ， ，， 中，由余弦定理得， ， 又因为，， . (3) 小问详解： 联立方程组 ，整理得， 设，，则，， 得. 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点. 54．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） ①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. ②      【分析】 （1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）① 当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；② 设，的中点为， 直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. (1) 小问详解： 设点的坐标为，则 化简得，即曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由 ， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 55．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，记动点M的轨迹为 （1）求C的方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交C于P，Q和S，T，满足（i）证明：直线，的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值. 【答案】（1）     （2）（i）设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立 ，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. （ii）      【分析】 （1）根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）（i）设P，Q的坐标分别为，，的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得，同理有，结合，即可求证； （ii）由弦长公式结合，得到，令，结合基本不等式求得，再构造函数，求导确定单调性即可求解；或， 令设，构造函数，结合其单调性即可求解． (1) 小问详解： 因为动点与定点的距离和点M到定直线l：的距离的比是常数， 可得， 化简整理得， 即曲线C的方程为； (2) 小问详解： （i）略 （ii）不妨设的斜率，其倾斜角为， 则四边形PSQT的面积为， ， 同理得， 由， 得， 又， 所以 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设， 所以在区间上单调递减， 当时，取得最大值， 所以四边形的面积最大值为， 或 ， 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设， 可知在区间上单调递增， 当时，取得最大值， 所以四边形PSQT的面积最大值为 56．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）或或或；     （3）      【分析】 （1）根据给定条件，利用离心率的定义及圆的切线性质列式求出即可. （2）设直线的方程并求出点的坐标，进而求出直线方程及点的坐标，由三角形面积建立方程求解. （3）设直线的方程为，，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，求出，再就点的位置分两种情况讨论得解. (1) 小问详解： 由离心率为，得椭圆半焦距， 由以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切，得， 由，得，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设直线方程为，，则点，， 由 消去并整理得， 解得，，则，， 直线的斜率， 则直线方程，令，解得，即， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或或或. (3) 小问详解： 设直线的方程为，， 由 ，得， ，，， 则， 当点在椭圆上或外部，即时，，， 于是； 当点在椭圆上或内部，即时，，， ， 令，则，， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $