精品解析：内蒙古自治区通辽市第三中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年秋学期九年级期中考试 数学试题 本试卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的次数为，不是反比例函数； B、符合反比例函数的特征，是反比例函数； C、不符合反比例函数的特征，不是反比例函数； D、的分母不是单个自变量，不是反比例函数． 3. 已知关于的方程有两个不相等实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，列不等式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得， ∴的值可能为． 4. 已知点，在抛物线上，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键在于判断抛物线的开口方向以及点、与对称轴的位置关系，进而比较与的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，在抛物线上，且， ∴． 故选：A． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 6. 如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设花坛较短边的长度为x，则较长边的长度为， 又围成的花坛的面积为， ． 7. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ． 故选：A． 8. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于原点对称的点的坐标规律，即对称点的横纵坐标分别是原坐标横纵坐标的相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵点是点关于原点的对称点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 10. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流是关于电阻的反比例函数，其图象如图所示，点是图象上一点．当用电器电阻为时，电流是________A． 【答案】4 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：点是图象上一点．即当时，， 将其代入中，可得，解得， 那么反比例函数表达式为． 当时，将代入， 可得． 11. 设，是方程的两实数根，__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴根据根与系数的关系可得： ，． 对通分变形得：． 将，代入得： ． 12. 定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝−x2＋1与正比例函数y＝−x的图象，如图所示．设它们交于点A、B． 令−x2＋1＝−x，即x2−x−1＝0，解得：或， ∴A（），B（）． 观察图象可知： ①当x≤时，min{−x2＋1，−x}＝−x2＋1，函数值随x的增大而增大，其最大值为； ②当时，min{−x2＋1，−x}＝−x，函数值随x的增大而减小，其最大值为； ③当x≥时，min{−x2＋1，−x}＝−x2＋1，函数值随x的增大而减小，最大值为． 综上所示，min{−x2＋1，−x}的最大值是. 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键． 三、解答题（64分） 13. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得． 14. 已知函数，在平面直角坐标系中的图象如下，请回答下列问题： （1）该抛物线的对称轴是直线 ； （2）该抛物线的顶点坐标是 ； （3）当 时，随的增大而减小； （4）当时， ； （5）当时，的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3） （4）3 （5） 【解析】 【分析】（1）根据顶点式即可求解； （2）根据顶点式即可求解； （3）根据二次函数的图象求解即可； （4）把代入函数解析式求解即可； （5）根据二次函数的图象求解即可． 【小问1详解】 解：根据顶点式可得对称轴为直线； 【小问2详解】 解：根据顶点式可得顶点坐标为； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，随的增大而减小； 【小问4详解】 解：当时，； 【小问5详解】 解：由图象可得，抛物线与轴的两个交点为和， 当时，的取值范围是． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）当时，根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练利用数形结合的思想解题是关键． （1）将 A 点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解 B 的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）计算直线  与 x 轴的交点，与轴交点．将分割为三个小三角形，再计算即可； （3）函数图像位于上方则函数值大，直接观察函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得， 反比例函数解析式为∶， 点在反比例函数上， ， 将、代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为∶． 【小问2详解】 由（1）得，直线的解析式为∶， 令，则， 令，则， 此函数图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， ． 【小问3详解】 一次函数和反比例函数交于，两点， 横坐标分别为， 一次函数图像要位于反比例函数图像上方，即在点A的右侧，点B的左侧， 或． 16. 某商家销售一种产品，已知该产品进价为元/件，规定销售期间销售单价不低于进价．调查发现：当销售单价定为元时，每天可以销售件；销售单价每提高元，日销量将会减少件．设该商品的销售单价为（单位：元）（），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元）． （1）当定价为元时，每天可以销售_______件； （2）直接写出与的函数关系式； （3）求销售单价为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2） （3）售价单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据数量关系得出正确的二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据当销售“当销售单价为时，每天可以销售件，销售单价每提高两元，日销量减少件”，找出关于的函数关系式即可； （3）根据总利润单件利润销售数量，即可得到关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元． 17. 为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． （1）请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． （2）求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示： 点的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到，，根据二次函数的对称性可知B、C关于对称，进而求出，根据，求出，即可求出点的坐标； （2）设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （3）分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据对称性求出，求出当时y的值，即可得到灯笼最底端离地面的高度． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵P是抛物线最高点， ∴B、C关于对称， ∴， 即， ∵，， ∴， 即点的坐标为； 【小问2详解】 解：设抛物线的函数表达式为． 由题意，得， 将代入表达式，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，． ， ∴ ∵点，关于对称， ． 当时，． ， 灯笼最底端离地面的高度为． 18. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证≌　　，故、、之间的数量关系为_________； （2）类比引申 如图2，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且，若，，求DE的长． 【答案】（1），； （2），理由见解答过程； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明≌，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明≌，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明≌，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【小问1详解】 解：思路梳理： 如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：类比引申： 如图2，，理由是： 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； 【小问3详解】 解：联想拓展： 如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接， 由旋转得：，，， ，， ， ， ， ，， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，解题的关键是通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期九年级期中考试 数学试题 本试卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的方程有两个不相等实数根，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，在抛物线上，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A. B. C. D. 6. 如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 8. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 10. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流是关于电阻的反比例函数，其图象如图所示，点是图象上一点．当用电器电阻为时，电流是________A． 11. 设，是方程的两实数根，__________． 12. 定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是_____________． 三、解答题（64分） 13. 用适当的方法解方程． （1） （2） 14. 已知函数，在平面直角坐标系中的图象如下，请回答下列问题： （1）该抛物线的对称轴是直线 ； （2）该抛物线的顶点坐标是 ； （3）当 时，随的增大而减小； （4）当时， ； （5）当时，的取值范围是 ． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）当时，根据图象直接写出的取值范围． 16. 某商家销售一种产品，已知该产品进价为元/件，规定销售期间销售单价不低于进价．调查发现：当销售单价定为元时，每天可以销售件；销售单价每提高元，日销量将会减少件．设该商品的销售单价为（单位：元）（），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元）． （1）当定价为元时，每天可以销售_______件； （2）直接写出与的函数关系式； （3）求销售单价为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 17. 为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． （1）请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． （2）求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 18. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点、、共线，易证≌　　，故、、之间的数量关系为_________； （2）类比引申 如图2，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点、均在边上，且，若，，求DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $