精品解析：内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第三中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年上学期九年级数学学科阶段性测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 5. 随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数 的图象分布在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 7. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数 的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④对于任意的实数m，总有；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，，射线l与正六边形的边交于点P．将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （每小题3分，共18分） 11. 请写出一个过，开口向下的二次函数表达式________________． 12. 已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b=________． 13. 已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是______米． 14. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝_____． 15. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为_________． 16. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 三、解答题 （本大题共8个小题，满分72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，小明父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈．已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）求出S与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围： （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 19. 反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 20. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． （1）写出y与x之间的函数关系式： （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 21. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 22. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上 （1）将以O为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点B的对应点的坐标； （2） 画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （3） 若内部任意一点P的坐标为，经过上面两次变换后点P在中的对应点为，请直接写出的坐标（用含a，b的代数式表示）． 23. 如图，二次函数 的图象与x轴交于和两点，交y轴于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是线段上方的抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级数学学科阶段性测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 已知二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得． 故选：D． 5. 随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 6. 反比例函数 的图象分布在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的符号判断图象分布的象限． 【详解】解：反比例函数中，， ∴图象分布在第二、四象限． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 【答案】D 【解析】 【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝， ∴PQ＝PM+MQ＝． ∵点P在反比例函数y＝的图象上， ∴ab＝8． ∵S△POQ＝15， ∴PQ•OM＝15， ∴a（b﹣）＝15． ∴ab﹣k＝30． ∴8﹣k＝30， 解得：k＝﹣22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 9. 二次函数 的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④对于任意的实数m，总有；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由时，函数y取得最大值可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∵对称轴为直线，抛物线与x轴的交点在点右侧， ∴抛物线与x轴的另一个交点在左侧， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵当时，，当时，， ∵当时，函数值最大， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，，射线l与正六边形的边交于点P．将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设交y轴于点H，得到是等边三角形，得到，又由，可知射线l每旋转12秒为一周，由，可得第2025秒旋转结束时，射线l的位置如图所示，射线l与y轴负半轴重合，即点P与点重合，求出结论即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，连接，设交y轴于点H， 由题意可知，， ∴都是等边三角形， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴射线l每旋转12秒为一周， ∵， ∴， ∴第2025秒旋转结束时，射线l的位置如图所示，此时射线l与y轴负半轴重合， 即此时点P落在点位置， ∵点与点H关于原点对称， ∴点的坐标，即点的坐标． 二、填空题 （每小题3分，共18分） 11. 请写出一个过，开口向下的二次函数表达式________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，可设抛物线的解析式为，将代入即可求出c的值． 【详解】解：设， 将代入， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据题意可知，然后用待定系数法求出解析式，本题属于基础题型． 12. 已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b=________． 【答案】-1 【解析】 【详解】解：根据两点关于原点对称的点的坐标特征可得，a=2，b=-3，所以a+b=2+（-3）=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征． 13. 已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是______米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出，再求出当时的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：∵当频率赫兹时，波长米， ∴， ∴， ∴， 当时，，即当频率为34赫兹时，波长是10米， 故答案为：10． 14. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得出4﹣2m+2n＝0，由此即可求得m-n的值． 【详解】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0， 即﹣2m+2n＝﹣4， m﹣n＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．解决本题注意运用整体的数学思想. 15. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 解得：， ∴他去世时年龄为或， 又∵他去世时的年龄大于， ∴他去世时的年龄为 故答案为：． 16. 如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为______． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据对称性可得，再设点B的坐标，并代入二次函数关系式求出坐标，即可得出答案． 【详解】∵正方形和抛物线都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴， ∴． 设点B的坐标为， ∵点B在二次函数的图象上， ∴， 解得，(舍)， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次函数图像的性质，求阴影部分的面积，解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积． 三、解答题 （本大题共8个小题，满分72分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ． 18. 如图，小明父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈．已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）求出S与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围： （2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，羊圈的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）先表示出的长，再根据矩形的面积公式列出对应的函数解析式，根据房屋外墙长，且矩形的长和宽都要为正数建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵房屋外墙长，且矩形的长和宽都要为正数， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，S随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 此时， 答：当时，羊圈的面积最大，最大面积是． 19. 反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在图象上，不在图象上； 理由：， ∴在反比例函数图象上； ∵，不为6， ∴不在反比例函数图象上． 【解析】 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 略 20. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． （1）写出y与x之间的函数关系式： （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 21. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）该款文创产品每件的售价为35元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 22. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上 （1）将以O为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点B的对应点的坐标； （2） 画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （3） 若内部任意一点P的坐标为，经过上面两次变换后点P在中的对应点为，请直接写出的坐标（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点和旋转方式找到对应点的位置，再顺次连接对应点即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此得到对应的坐标，再描点，连线画图即可； （3）过点作轴于点E，过点P作轴于点F，连接，证明，，据此求出点的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴于点E，过点P作轴于点F，连接， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P的坐标为， ∴， ∴， ∵关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数， ∴． 23. 如图，二次函数 的图象与x轴交于和两点，交y轴于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是线段上方的抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点D，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出解析式，设 ，则，利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：把代入， ， 解得：， 解析式：； 【小问2详解】 解：令，得 ∴ ， 设解析式为， 将代入得： ， 得， ∴直线 解析式为， 设 ， ， ∵， ∴当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $