精品解析：甘肃定西市陇西县部分校2026-2027学年上学期数学九年级学业监测（一）

九年级学业质量监测（一）数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 3. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 由，得，解得； 由，得； ∴. 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的解题步骤解答即可． 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 5. 用公式法解时，先求出的值．则依次为（ ） A. B. 1， C. D. 1，3， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴，，. 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数是顶点式即可得出结论． 【详解】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为． 7. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：D． 8. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 9. 二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上， 菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上， ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分．共18分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 若是一元二次方程的两个根，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），若方程存在两个实数根，则根与系数的关系为，． ∵题目给出的方程为， ∴方程的对应系数为，，， 将系数代入根与系数的关系计算： ， ． 13. 二次函数的最小值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向直接判断即可．本题考查了二次函数的最值，解题关键是明确二次函数的最值为顶点纵坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，则最小值是2， 故答案为：2． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数不为0，即 ∵该方程有两个实数根 ∴判别式 整理得 解得 ∴的取值范围为且 15. 点都在抛物线上，则的大小关系是______ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各点的函数值，比较三个函数值的大小即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 16. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①； ②若，则；③不等式的解集为；④若关于x的方程无实数根，则．其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质．根据题意得出抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左侧，从而得出，，，即可判断①；求得对称轴为直线，即可得出，根据抛物线经过，从而判断②；求得直线直线，的解析式为，根据抛物线与直线的位置关系即可判断③；根据题意得出，利用根的判别式即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，则， ∴对称轴为直线， ， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②若，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线经过， ∴，即，故②正确； ③当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 设过，的直线解析式为，代入得， 解得， ∴直线，的解析式为， 如图， 当或时，抛物线在直线的下方， ∴不等式的解集为或， 即不等式的解集为或，故③错误； ④∵抛物线经过，两点， ∴， 两式相减得， 代入得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∵关于x的方程无实数根， ∴，整理得， ∴，故④正确； 综上，①②④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共6小题．共32分．解答时．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【分析】两边直接开平方即可求解. 【详解】解： ， 【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于利用直接开平方法即可. 18. 用配方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先把移到方程右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题关键． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数） （1）当时，判断该方程根的情况： （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）该方程没有实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）根据一元二次方程根的判别式并结合方程根的情况得出，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，方程为， ∵， 该方程没有实数根； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 的取值范围是． 21. 自2026年5月1日起，包括北京、山西在内的多个省市已将“骑乘电动自行车必须佩戴安全头盔”从指导性条款升级为强制性法律规定．一家商店销售防护头盔，8月卖出200个，10月卖出288个． （1）求头盔销量8月至10月的月平均增长率； （2）头盔进价32元/个，当售价为45元/个时，每月可以卖出600个；售价每上涨1元，销量减少10个，想要月总利润达到11500元，同时尽量优惠顾客，头盔定价应为多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）头盔定价应为55元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据“8月卖出200个，10月卖出288个”可知，求解后取合适的值即可； （2）设售价上涨a元，根据题意列出方程，求解后取较小的值作为的值，再计算定价即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为 （舍去） 月平均增长率为 【小问2详解】 解：设售价上涨a元 整理得 解得： 尽量优惠顾客， 取 定价（元） 头盔定价应为55元 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：该方程的判别式 ， ∵， ∴，即， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2） 的值为2，方程的另一个根为1． 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式并配方，证明其恒大于0即可得证； （2）将已知根代入方程求出，再求解方程得到另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 将代入原方程，得， 整理得，解得； 将代入原方程，得， 因式分解得， 解得，， ∴ 方程的另一个根为1． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 24. 2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米． （1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形的面积为？求的值； （3）修建的矩形的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）矩形的面积不能为，理由如下： 由题意可得， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， 矩形的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）根据木栏包括：中间隔栏个门，计算即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （3）根据题意列出关于的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，木栏包括：中间隔栏个门， 即， 米； 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得，， 当时，（超出墙长，舍去）， 当时，（符合）， ； 【小问3详解】 略． 25. 已知二次函数． （1）将解析式化为的形式； （2）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3）函数的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式； （2）根据顶点式的特点即得出函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为； ∴当时，函数的最大值为，最小值为． 26. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣5x＋6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 【答案】（1）是；（2）0或-2 【解析】 【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到x1＝m，x2＝﹣1，再根据“邻根方程”的定义得到m﹣1＝﹣1或m+1＝﹣1，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：（1）解方程x2﹣5x+6＝0得x1＝3，x2＝2， ∵3比2大1， ∴方程是“邻根方程”； （2）∵x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， ∴（x﹣m）（x+1）＝0， ∴x﹣m＝0或x+1＝0， ∴x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m﹣1＝﹣1或m+1＝﹣1， ∴m＝0或m＝﹣2． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解本题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴和顶点的坐标． （2）点是直线上方抛物线上的一个动点．当的面积最大时，求点的坐标和面积的最大值． （3）点为轴上的一动点．点为抛物线对称轴上的一动点．当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时．直接写出所有满足条件的点，的坐标． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）的面积最大为8， （3），或，或， 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）求出，，，从而可得的解析式为，设，作轴交于点，则，求出，再利用计算即可得出结果； （3）设，，分三种情况，结合平行四边形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， 当时，， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴的解析式为， ∵点是直线上方抛物线上的一个动点， ∴设， 如图，作轴交于点， 则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，的面积最大，为，此时，即， 综上所述，的面积最大为8， 【小问3详解】 解：∵点为轴上的一动点．点为抛物线对称轴上的一动点， ∴设，， ∵以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 当为平行四边形的边时，此时平行四边形为，如图所示， 由平行四边形的性质可得，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴此时，； 当为平行四边形的边时，此时平行四边形为，如图所示， ∵，，，， ∴由平行四边形的性质可得，， ∴，， 此时，； 当为平行四边形的对角线时，平行四边形为，如图所示， 由平行四边形的性质可得，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴此时，； 综上所述，，或，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业质量监测（一）数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 或1 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）． A. B. C. D. 5. 用公式法解时，先求出的值．则依次为（ ） A. B. 1， C. D. 1，3， 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分．共18分． 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 若是一元二次方程的两个根，则___________，___________． 13. 二次函数的最小值是_______． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 15. 点都在抛物线上，则的大小关系是______ 16. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①； ②若，则；③不等式的解集为；④若关于x的方程无实数根，则．其中正确的是__________（填写序号）． 三、解答题：本大题共6小题．共32分．解答时．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：. 18. 用配方法解方程： 19. 解不等式组：． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数） （1）当时，判断该方程根的情况： （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 21. 自2026年5月1日起，包括北京、山西在内的多个省市已将“骑乘电动自行车必须佩戴安全头盔”从指导性条款升级为强制性法律规定．一家商店销售防护头盔，8月卖出200个，10月卖出288个． （1）求头盔销量8月至10月的月平均增长率； （2）头盔进价32元/个，当售价为45元/个时，每月可以卖出600个；售价每上涨1元，销量减少10个，想要月总利润达到11500元，同时尽量优惠顾客，头盔定价应为多少元？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 24. 2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米． （1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形的面积为？求的值； （3）修建的矩形的面积能否为？请说明理由． 25. 已知二次函数． （1）将解析式化为的形式； （2）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 26. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣5x＋6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴和顶点的坐标． （2）点是直线上方抛物线上的一个动点．当的面积最大时，求点的坐标和面积的最大值． （3）点为轴上的一动点．点为抛物线对称轴上的一动点．当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时．直接写出所有满足条件的点，的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $