2.2.4 点到直线的距离 知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.2.4 点到直线的距离　知识清单

人教B版　选择性必修第一册　第二章　平面解析几何

◆ 一、本节定位：给「最短」配一把能直接算的尺

前面三节已经把直线彻底坐标化：2.2.1 用倾斜角和斜率刻画方向，2.2.2 写出五种形式的直线方程，2.2.3 用方程判定平行与垂直。本节补上最后一块：一个点到一条直线究竟有多远，并把它化成一个只含坐标的四则运算式。

学习目标（对照教材与课标） ① 理解点到直线的距离是「垂线段的长」，知道垂足唯一、垂线段最短； ② 会用直线的一般式写出法向量与单位法向量，理解数量积投影的几何意义； ③ 掌握人教B版的向量法推导（设而不求），能独立复述两条推导路线； ④ 熟记距离公式，会先把直线化为一般式再代入，会处理水平线、竖直线； ⑤ 会求两平行线间的距离，会用距离求三角形的高、面积以及动直线距离的最值。

 

重难点与内容边界 重点：点到直线的距离公式的推导与使用；两条平行直线间的距离。 难点：把「垂线段的长」翻译成「向量在单位法向量上的投影的绝对值」；理解为什么直线上任取一点 M 都不影响结果。 边界：本节只用直线方程、法向量、数量积与两点距离。圆与曲线的方程属于 2.3 及以后，本节不提前使用；也不讨论点到曲线、点到线段的距离，不使用超出本章的代数工具。

 

一句话抓住主线：先找到「垂直于直线」的方向，再把垂线段投影到这个方向上。人教B版正是用向量把这句几何话写成了代数式，所以本节的推导和 1.2 空间向量、2.2.3 法向量一脉相承。

◆ 二、距离的几何定义：垂线段最短

1　定义

给定直线 l 和 l 外一点 P。过 P 作 l 的垂线，垂足记为 Q，称线段 PQ 的长为点 P 到直线 l 的距离，记作 d。若 P 在 l 上，规定距离为零。用式子写就是

  (1)

定义中「垂足」二字不能省。取 l 上任意另一点 R，在直角三角形 PQR 中，PQ 是直角边、PR 是斜边，所以 PR 恒大于 PQ；也就是说，P 与 l 上各点连成的线段里，垂线段最短，而且这样的垂足只有一个。这个「最短性」正是距离概念的根。

2　由定义直接得到的三条性质

先把定义读厚 ① 非负性：距离不小于零，且距离为零当且仅当点在直线上； ② 唯一性：垂足唯一，所以距离是被点与直线唯一确定的一个实数； ③ 最短性：距离是点与直线上任意点连成的线段长度里的最小值。 性质 ③ 是「距离」二字的几何本质；性质 ① 在反求参数、判定点与直线的位置关系时反复用到。

 

三条性质里最难用的是「最短性」：它只说明答案在哪里，却没说怎样把这个最短长度算出来。教材先安排一次不用公式的硬算，再用向量法给出可以直接代入的通式，两条路线合起来正好把「几何定义」和「代数公式」接上。

图1　Q 是垂足，PQ 是垂线段；R、S 是直线上任意其他点，对应线段都比垂线段长；点落在直线上时距离为零

3　四种「距离」不要混

名称	几何含义	本节是否要求	所用工具
两点间距离	连接两点的线段长	已学（2.1）	两点距离公式
点到直线的距离	点到直线的垂线段长	本节核心	一般式 ＋ 法向量
两平行线间距离	一条线上任一点到另一条线的距离	本节后半	化为点到直线距离
点到线段的距离	垂足落不到线段上时要改取端点	不作要求	需分段讨论

 

特别提醒：点到直线的距离与点到线段的距离不是一回事。本节所有题目里的对象都是可以向两端无限延伸的直线，因此垂足一定存在，不需要讨论垂足是否落在线段内。

◆ 三、教材「尝试与发现」：先求垂足，再算长度

教材在给出公式之前，先安排了一次「硬算」：不给公式，只用已学的直线方程、垂直关系和两点距离，把距离求出来。把这次硬算走通，才会明白公式到底省掉了什么。

例1　教材「尝试与发现」

求点 P(−1, 2) 到直线 l : 2x + y − 5 = 0 的距离。

第 1 步　设垂足。设垂足为 P₁(x₁, y₁)。由 2.2.3 知道，一般式 Ax + By + C = 0 的一个法向量是 (A, B)，故 l 的法向量是 (2, 1)；又 PP₁ 与 l 垂直，所以 PP₁ 与 (2, 1) 共线：

  (2)

两个二维向量共线的坐标条件是「交叉相乘之差为零」，即 (x₁ + 1) 乘 1 减去 (y₁ − 2) 乘 2 等于零，整理得

  (3)

第 2 步　垂足在直线上。把 P₁ 代入直线方程，得 2x₁ + y₁ − 5 = 0。把它与式 (3) 联立：由式 (3) 得 x₁ 等于 2y₁ − 5，代入后得 2(2y₁ − 5) + y₁ − 5 = 0，即 5y₁ = 15，所以 y₁ = 3，x₁ = 1，垂足为

  (4)

第 3 步　两点距离。PP₁ 的长就是所求距离：

  (5)

图2　教材案例：由「PP₁ 与法向量共线」和「P₁ 在直线上」联立解出垂足，再用两点距离公式算出距离（结果见式 (5)）

为什么还需要公式 这次硬算用了三个条件：垂直（共线）一个方程、点在直线上一个方程、两点距离一次开方。数据凑得好时很顺，但一般情形下解二元方程组会出现繁琐的分式，且每一步都为「求出垂足」服务——而题目根本不要求垂足。 改进的方向：能不能不解出垂足，直接得到距离？这正是下一节要做的事。

 

◆ 四、关键工具：法向量、单位法向量与投影

1　法向量从哪来

设直线 l 的一般式为 ，其中 A、B 不全为零。在 l 上任取两点 M₁、M₂，把它们的坐标分别代入方程再相减，可得 A(x₂ − x₁) + B(y₂ − y₁) = 0。这说明向量 M₁M₂ 与 (A, B) 的数量积为零，即 (A, B) 垂直于 l 的方向，称为 l 的一个法向量。

  (6)

法向量不唯一：只要倍数不为零，把两个分量同乘该倍数仍是法向量。为了把「投影」直接读成长度，需要长度为 1 的法向量。因为法向量的长度是系数平方和的算术平方根，所以取

  (7)

这里分母正是法向量 (A, B) 的长度；A、B 不全为零保证分母不为零。分子写成坐标 (A, B) 是一个二维向量，负号只能属于它后面那一个分量，不能把负号单独拆成一个分量；那样二维向量就会被写成三个分量，已经不是平面向量了。

2　把垂线段翻译成投影

设 P 是 l 外一点，Q 是垂足，M 是 l 上任意一点。把向量 PM 拆成两段：

  (8)

其中 PQ 与单位法向量 n 共线，QM 在直线 l 上因而与 n 垂直，所以 QM 与 n 的数量积为零。两边同时与 n 作数量积：

  (9)

而 PQ 与 n 共线、n 的长度为 1，故 PQ 与 n 的数量积的绝对值恰好等于垂线段的长 d。于是得到一个与 M 的选择无关的表达式：

  (10)