1.2.2 空间中的平面与空间向量 知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.2 空间中的平面与空间向量　知识清单

人教B版　选择性必修第一册　第一章　空间向量与立体几何

◆ 一、本节导览

1.2.1 用“一个点 + 一个方向向量”把直线钉死了：点管它经过哪里，方向向量管它朝哪边走。轮到平面，这一招就不够用了——平面既没有“起点”，也没有唯一的“走向”，它只有“朝向”。

最直觉的答案是两条不共线的方向向量。1.1.2 的共面定理已经给出：若 、 是平面 内两个不共线的向量，则 上任意一点 P 都满足 。可这个写法有个麻烦：、 的取法无穷多，换一组就换一套参数，判定两条直线是否平行于同一平面时，还得逐组去比。

教材于是换了个问法：不问“平面朝哪几个方向躺着”，而问“平面朝着哪儿立着”。垂直于一个平面的方向只有一个（长短、正负不同而已），抓住这一个方向，平面就定住了——这就是法向量。本节全部内容，都是围绕它展开的两件事：把法向量求出来，用它去换平行与垂直。

学习目标 ①　理解平面法向量的定义，知道它不唯一、彼此平行，会判断一个向量是不是某个平面的法向量； ②　会用待定系数法求平面的一个法向量，会取最简的一组整数解； ③　会用向量语言表达线面、面面的平行与垂直，说清“平行要补一点”的道理； ④　理解三垂线定理及其逆定理，会用向量证明它们； ⑤　会按“建系—写点—求向量—算点积”四步处理一道完整的证明题。

 

环节	这一环要回答什么	落在这条结论上
描述平面	一个平面要几个条件才定得下来	一点 + 一个法向量
法向量	什么叫垂直于一个平面	，且垂直于面内每一条直线
求法向量	怎么把 算出来	两个点积都为 0，取一组非零解
线面关系	方向向量与法向量什么关系	点积为 0 是平行（补一点），共线是垂直
面面关系	两个法向量什么关系	共线是平行（补一点），点积为 0 是垂直
三垂线定理	面内直线何时垂直于斜线	垂直于射影即可
坐标落地	怎样算得又快又准	建系、写点、求法向量、算点积

 

与前后两节的接口 前面：本节直接接 1.2.1。“方向向量”是给直线用的，“法向量”是给平面用的，两个概念各管一头。1.1.3 的坐标运算、1.1.1 的数量积，是求法向量的全部家当。 后面：1.2.3 用方向向量与法向量求线面角，1.2.4 用两个法向量求二面角，1.2.5 再往距离问题走。三处用到的动作只有两个——求法向量、算点积，都在本节练成。

 

◆ 二、用向量表示平面

平面可以用向量描述的根据，1.1.2 已经埋好了：平面内任取两个不共线的向量 、，平面上的每一个点都能写成 的样子；反过来，凡是能这样写出来的点，都落在同一个平面内。

  (1)

这是“一点 + 两个方向”的写法，管用，但不好用：、 本身就不唯一，判定“两条直线是否平行于同一个平面”时，得设法证明它们的方向都能由同一组 、 表示，绕得很。

换个角度。不管平面朝哪几个方向躺着，垂直于它的方向只有一个——正着指、反着指、长一点、短一点，说到底还是一条直线上的向量。抓住这个方向，平面就定住了，而且判定平行、垂直时只需要比“一个向量”，不必比“一组向量”。

两个方向与一个法向量，各管一头 要“生成”平面上的点，用两个不共线方向向量：。 要“判定”平行与垂直，用一个法向量：线面、面面的关系全化为 与 、 与 的关系。 两种说法等价：法向量就是同时垂直于 、 的那个向量，差一个倍数而已。

 

图1　平面 α 由“一点 + 一个法向量”确定；面内两个不共线向量 a、b 都与 n 垂直

◆ 三、平面的法向量

如果 是空间中的一个平面， 是一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与 垂直，就称 为平面 的一个法向量，此时也称 与平面 垂直，记作 。

法向量的三条性质 ①　不唯一。一个平面的法向量有无数个，它们两两平行，方向可以正着指，也可以反着指。 ②　成倍仍是。若 是 的法向量，，则 也是。所以求出法向量后，习惯把它化成最简的整数。 ③　垂直于面内每一条直线。若 ，且 ，则 ；反过来，若 与面内两条不共线直线都垂直，则 。

 

第 ③ 条的后半句，是求法向量的全部依据：只要 垂直于面内两条相交直线，就垂直于整个平面。这也解释了为什么求法向量只要解两个方程——两条不共线向量就够了，第三条是多余的。

“垂直于面内每一条直线”这句话还能换个说法。设 A 是平面 上的一个定点，则点 P 在 内当且仅当下面这个等式成立：

  (2)

把（2）拆开就是 ——一个等式管住整张平面。判断一个点在不在平面内，看这个点积是不是 0 就行；判断一条直线在不在平面内，看它的方向向量点积是否为 0、且直线上有一个点在平面内。

再展开一层。设 ，A ，则（2）就是 ，也就是

 

右边是一个常数，记作 d，就是 。这与直线的一般式 同理： 垂直于那条直线， 垂直于这张平面。给一点、再给一个法向量，方程就定了——平面不过是把这一招从二维搬到了三维。

例1　判断是不是法向量

例1　已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，判断 是不是平面 ABC 的法向量。

解　，。

，。

又 、 都在平面 ABC 内，且不共线，所以 平面 ABC，即 是平面 ABC 的一个法向量。

点评：判断“是不是法向量”，不必把平面方程写出来，只要在面内找两条不共线向量，各算一次点积。反过来，若两次点积有一次不为 0，就不是法向量——只验一条不够。

◆ 四、求法向量：待定系数法

已知平面内三个点的坐标，怎么把法向量算出来？教材给的是三步。

步骤	做什么	注意
第一步　设	设	三个未知数，后面只列两个方程
第二步　找	在平面内找两个不共线向量 、	优先选坐标里 0 多的，算点积省力
第三步　解	令 ，	取一组非零解，化成最简整数

 

  (3)

三个未知数、两个方程，解不唯一——这正对上一个平面有无数个法向量。取哪一组都行，取最简的那一组。

取解的三个习惯 ①　先看能不能直接看出。若某个未知数在方程里没出现，就让它取 0，能省一半计算。 ②　出分数就整体乘分母的最小公倍数，把 化成整数，回代验算也方便。 ③　解出 (0,0,0) 一定是错的。零向量不是法向量，出现这种情况说明 、 取共线了，回去换一组。

 

例2　求平面的一个法向量

例2　已知 A(1,2,3)、B(2,0,−1)、C(3,−2,1)，求平面 ABC 的一个法向量。

解　，。

设 ，由 、 得

 

第一式乘 2 再与第二式相减，得 ，即 。代回第一式得 。取 ，则 。

验算：，，两次都为 0， 是平面 ABC 的一个法向量。

点评：把两个方程相减消元，比硬套公式快得多。另外注意 与 并不共线——若共线，两个方程其实是一个，解不出确定的方向。

另有一个速算式，能把这个方程组的解直接写出来。设 ，，可得：

  (4)

它同时垂直于 和 。这个式子教材不作要求，但用来验算、或在选择题里省时间，很划算。算完把两个点积各代一遍，很快就能确认。

例3　用速算式重做例2

例3　用（4）式重算例2 中的法向量。