1.2.5 空间中的距离 知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.5 空间中的距离　知识清单

人教B版　选择性必修第一册　第一章　空间向量与立体几何

◆ 一、本节导览

1.2.3 与 1.2.4 都在算“角”：线面角靠方向向量与法向量，二面角靠两个法向量，办法是同一个——把角塞进一个直角三角形，再用数量积读出它的余弦。距离是另一类问题。它不问张开多大，只问隔得多远，最后落在一个非负的数上。

空间里的距离有六种叫法：两点间、点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面，以及两条异面直线之间。教材把它们排成一串，看着像要记六个公式，其实主线只有一条——把待求的距离，化归成“一个点到一条直线”或“一个点到一个平面”。

化归的钥匙是“垂线段最短”。两点之间线段最短；点到直线，垂线段最短；点到平面，垂线段最短；两条异面直线之间，公垂线段最短。所以每一种距离，说到底都是某条垂线段的长度。而向量恰好能把“垂直”与“投影”写在一起——垂线段，就是斜线段在法线方向上的投影。

学习目标 ①　会用坐标算两点间的距离，知道它就是向量模长公式，不必另记。 ②　会推导并运用点到直线的距离公式，看清它是勾股定理的向量写法。 ③　会求点到平面的距离，说清 里为什么要加绝对值、分母为什么只有一个 。 ④　会把线面距离、面面距离化归为点面距离，说清“为什么取哪一点都行”。 ⑤　会求两条异面直线的距离，能找出同时垂直于两个方向的向量。

 

环节	这一环要回答什么	落在这条结论上
两点间	要不要绕弯子	直接算，就是 的模长
点到直线	垂足落在哪儿	斜边的平方，减去投影的平方
点到平面	投影有多长
线面、面面	谁来替这一整条线	取线上一点，化成点到平面
异面直线	公垂线朝哪个方向	同时垂直于 、
等体积法	不建系能不能算	同一个三棱锥，换一个底面

 

这张表可以先看最后两列，把“要算什么”和“用哪个公式”对上号；第一列的六种叫法，不过是同一个动作换了个对象。

与前后两节的接口 前面：法向量来自 1.2.2，线面角与二面角里“把斜线投影到某个方向”的经验来自1.2.3、1.2.4。这一节把它们合成一把尺子。 后面：本章到此收口。距离是空间向量在立体几何里最后一次系统应用；到了选择性必修二的解析几何，同一套办法会被搬到平面上，只是把三维的坐标换成二维的。

◆ 二、两点间的距离

最省事的一类。设 A、B，则 的坐标是 ，两点间的距离就是它的模：

  (1)

式 (1) 不必另背，它就是 1.1.3 的模长公式换了个说法：把“两点”看成一个向量的两个端点。三组坐标差要一一对应；减法的方向不影响结果，因为取反之后平方不变，但同一个式子里不能一处用 、另一处用 ，那样会把方向搞混。

例1　直接算距离

例1　已知 A(1,−1,2)、B(3,1,1)，求 。

解　，所以

。

点评：这类题没有技巧可言，唯一要防的是符号。把三个差写成一行再平方，比边算边平方更稳；算完可以用“坐标差都在 2 以内，答案不该超过 ”粗估一下，量级不对就是抄错了。

◆ 三、点到直线的距离

设 A 是直线 外一点，P 是 上任意一点， 是 的方向向量， 是直线 AP 与 所成的角（不超过 90°，图上标的就是它）。作 AH ⊥ 于 H，则 AH 就是所求的距离，且 AH = 。

图1　A 到直线 l 的距离是垂线段 AH；AP 在 l 上的投影为 PH，式 (2) 就是直角三角形 APH 里的勾股定理

问题于是变成求 。由数量积的定义，θ 不超过 90°，余弦非负，分子取绝对值，，代入 ，两边同乘 再开方，得

  (2)

这一步值得停一下。被减数 是斜边的平方，减数 是 在 上的投影 PH 的平方。式 (2) 从头到尾就是勾股定理，向量只是把“投影”写成了一次点积除以模长。

两个极端情形可以当验算：若 ，投影为 0，；若 A 落在 上，两个平方相等，。公式在这两处都对，说明没有漏项。

例2　正方体中的点到直线距离

例2　正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，求点 A₁ 到直线 BD 的距离。

解　以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴建系，则 B(2,0,0)、D(0,2,0)、A₁(0,0,2)。

，。

所以 ，，。代入式 (2)：

。

点评：这题还有一条更快的路——底面中心 O(1,1,0) 是 BD 的中点， 与 的点积为 0，所以 A₁O ⊥ BD，垂足恰好是 O，。公式给出同一个数，正好互相验证。做熟了可以先用几何看一眼垂足落在哪儿，再决定要不要动笔套公式。

◆ 四、点到平面的距离

设 A 是平面 外一点，P 是 内任意一点， 是 的法向量。作 AO ⊥ 于 O，则 AO ∥ 。把 拆成 ：因为 OP 在 内、，所以 ，于是

 

两边取模：。而 AO 与 同向，余弦为 1，于是

  (3)

这个式子有三处必须记牢，考试里错得最多的就是它们。

式 (3) 的三个要点 ①　分子要加绝对值。 与 可能成钝角，点积为负，而距离不能为负。 ②　分母是 ，不是 。因为 ，只出一个 。 ③　P 取在面内哪里都行。换成面内另一点 Q， 变成 ，而 ，点积不变。

 

图2　A 到平面 α 的距离是垂线段 AO；AP 是斜线段，|AP·n| / |n| 正是 AP 在法线方向上“挡住”的长度

几何上再看一眼：式 (3) 算的是整条斜线段 在法线方向上“挡住”的长度。方向的成分被全部压掉，只剩垂直的那一截——这也解释了为什么它和点到直线的公式那么像，两个都在取投影。

还有一条换算法的路，不妨先记在这里：三棱锥的体积 ，反过来 。只要能算出某个体积和一个底面积，点面距离就能“倒”出来——第九节会专门讲。

例3　四棱锥中的点到平面距离

例3　四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥ 底面，PA = AB = 2，求点 A 到平面 PBC 的距离。

解　以 A 为原点，AB、AD、AP 为 x、y、z 轴建系，则 B(2,0,0)、C(2,2,0)、P(0,0,2)。

，。设 是平面 PBC 的法向量，由 、 得 ，。

取 ，得 、，即 。又 ，所以

。