精品解析：广西贵港市桂平市第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设，，则是的（　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. 1， C. ， D. ， 6. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作于点M，连接MF交C于点N，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 不等式恒成立 B. 存在a，使得不等式成立 C. 若a，，则成立 D. 若，则 11. 如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（ ） A. 平面； B. 与平面所成的角的余弦值为； C. 该多面体的外接球的表面积为； D. 该多面体的体积为. 三、填空题（共15分） 12. 已知向量，，且与平行，则_________. 13. 已知圆C：，若圆与圆C外切，则a的值为________． 14. 已知点为椭圆与双曲线的公共顶点，点为双曲线第一象限内一点，直线分别与椭圆交于两点，若直线过点，且，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. （1）求圆的方程； （2）判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 16. 已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. 18. 已知圆锥的轴截面为等边三角形，都是底面圆的直径，弧的长度是弧长度的，母线上有两点，平面． （1）求； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若底面圆的半径为1，求点到平面的距离． 19. 已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与轴的交点分别为，且，点关于原点对称，点关于原点对称，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的长度； （3）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设，，则是的（　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 2. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 故， 故选：D 3. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】，， 由与互相垂直，得，即， 所以. 故选：D 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由求出倾斜角. 【详解】直线可化为，设倾斜角为， 则. 故选：A 5. 已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. 1， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可． 【详解】设数据，，…，的平均数和方差分别为和， 则数据，，…，的平均数为，方差为， 得，， 故选：D． 6. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断圆心位置，再设出圆的标准方程，代入点求解圆心，最后利用点到直线的距离求解. 【详解】由于圆上的点（4，2）在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限． 设圆心的坐标为，，则圆的半径为a， 圆的标准方程为． 由题意可得，即，解得或， 所以圆心坐标为（2，2）或（10，10），且此两点的中点在直线上，故点（2，2），（10，10）到该直线的距离均为，所以圆心到直线的距离为． 故选：B 7. 已知直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求出圆心、半径，以及圆心到直线的距离，即可根据弦长公式计算，得出答案. 【详解】由已知可得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为. 所以，. 故选：A. 8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作于点M，连接MF交C于点N，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线PF的倾斜角为，则，求出，再结可求得结果. 【详解】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q， 则，轴． 因为，所以． 设直线PF的倾斜角为，则， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以，即． 故选：C 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轭复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案. 【详解】由复数对应的点为，可得，. 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：， 所以，故D错误； 故选：AC. 10. 下列说法中正确的是（ ）． A. 不等式恒成立 B. 存在a，使得不等式成立 C. 若a，，则成立 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用特例法，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】对A，若，，显然不成立，故A错误． 对B，若，有成立，故存在a，使得不等式成立，B正确， 对C，若a，，则，， ∴，当且仅当即时取等号，故C正确． 对D，，∴成立，故D正确． 故选：BCD 11. 如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（ ） A. 平面； B. 与平面所成的角的余弦值为； C. 该多面体的外接球的表面积为； D. 该多面体的体积为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题目中的十四面体放入一个正方体中，对于A结合线面平行的证明方法即可，对于B利用线面角的向量法求解即可，对于C求出其外接球半径即可求得其外接球表面积，对于D利用割补法求体积即可. 【详解】对于A，如图，连接，由正方体的性质易证，因为平面，平面，所以平面，同理平面,又因为平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，图中正方体棱长为，则,,,,所以,,,设为平面的一个法向量，则,所以，取，则，设与平面所成的角为，则，由于,所以，故B错误； 对于C，该多面体的外接球的球心和正方体外接球球心重合，如图，该多面体的外接球的半径为正方体面对角线长度的一半，即可得等于该十四面体棱长，所以该多面体的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，图中正方体棱长为，则正方体体积,对于8个体积相同的三棱锥体积为,该多面体体积为，故D正确. 故选:ACD 三、填空题（共15分） 12. 已知向量，，且与平行，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 13. 已知圆C：，若圆与圆C外切，则a的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和建立方程，解出即可. 【详解】因为C：， 可化为， 则圆心坐标为，半径， 又圆的圆心坐标为半径为, 若两圆外切时， 则，即， 解得， 故答案为：. 14. 已知点为椭圆与双曲线的公共顶点，点为双曲线第一象限内一点，直线分别与椭圆交于两点，若直线过点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率公式，结合两角和的正切公式、椭圆的离心率公式、椭圆的对称性进行求解即可. 【详解】 ，设. 则， 又点P在双曲线上，则. ， 又点M在椭圆上，则. 注意到，则. 即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形， 则M，N两点关于x轴对称，故. 因直线MN过，则，将其代入椭圆方程可得， ， 因为， 所以有 ，或，舍去， 解得， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. （1）求圆的方程； （2）判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）点在圆外，切线方程为或 【解析】 【分析】（1）由已知条件确定圆心坐标和半径，可求圆的方程； （2）由点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径求切线方程. 【小问1详解】 圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上， 又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为2， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 ，则点在圆外， 过点的直线若斜率不存在，则直线方程为，此时直线与圆相切； 过点的直线若斜率存在，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径，即，解得， 此时直线方程为. 所以经过点的圆的切线方程为或. 16. 已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简原式得到，结合即可得到答案； （2）根据正弦定理和辅助角公式化简，结合与三角函数值域相关知识求解答案即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 所以， 所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以的取值范围为. 17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. 【答案】（1），4.07 （2） 由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：， 月均用水量不超过5吨的频率为， 则的居民每月的用水量不超过的标准（吨），， ， 解得，即标准为吨. 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图频率和等于1可求，再根据平均数的定义求解； (2)确定标准所在范围为，列方程求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 则， 该市居民用水的平均数估计为： . 【小问2详解】 略 18. 已知圆锥的轴截面为等边三角形，都是底面圆的直径，弧的长度是弧长度的，母线上有两点，平面． （1）求； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若底面圆的半径为1，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由题知，进而得为中点，故； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （3）结合（2），根据向量法求解即可. 【小问1详解】 解：连接，平面，平面平面，平面， 所以，根据线面平行的性质得， 因为为的中点， 所以为中点， 因为， 所以 【小问2详解】 解：因为弧的长度是弧长度的，所以，， 由圆锥的性质可知，平面 所以，如图建立空间直角坐标系，设 因为圆锥的轴截面为等边三角形，即为等边三角形， 所以，，， 所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，，所以， 设与平面所成角为，因为， 所以 所以，与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 解：因为底面圆的半径为， 所以，，，， 所以，由（2）知，平面的一个法向量为，，与平面所成角的正弦值为 所以 所以，点到平面的距离为 所以，点到平面的距离为. 19. 已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与轴的交点分别为，且，点关于原点对称，点关于原点对称，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的长度； （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的上顶点到直线的距离为2以及椭圆过点，列方程求解即可得椭圆方程； （2）根据点在椭圆上得到，设出过点的直线方程，求出的坐标，再根据两点距离公式计算即可； （3）根据结合（2）中直线的斜率，可得直线的方程，与椭圆联立求出，利用弦长公式求出，根据点到直线的距离求点到直线的距离，再利用面积公式以及基本不等式即可求面积最大值. 【小问1详解】 由已知的上顶点为， 则到直线的距离为，解得， 又椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 点在椭圆上，故， 又由题意直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为， 令得，令得， 即， 又，得 所以，得， 所以； 【小问3详解】 由（2）得直线的斜率， 又因为，所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得，所以， 所以， 又点到直线的距离，又， 所以， 由椭圆对称性可得， 所以四边形面积 ， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即四边形面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：题中第三问，利用弦长公式及距离公式表示出面积，从结构出发进行消元，利用基本不等式求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $