精品解析：广东茂名市信宜市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期期中练习 九年级 数学 本试卷共6页，共23小题，满分120分．考试用时120分钟．内容：P1-89． 注意事项： 1．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一验证选项即可． 【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确； B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误； C、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误； D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，仅一组对边相等无法判定，故此选项错误． 2. 如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. BA＝BC B. AC、BD互相平分 C. AC＝BD D. AB∥CD 【答案】B 【解析】 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直， 则需添加条件：AC、BD互相平分 故选：B 3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 根据两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：B． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质将乘积式转化为比例式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7. 如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据三角形相似的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 当， 而与不一定相等， 所以不能判定和相似． 故选：D． 8. 岭南传统建筑窗花纹样常以菱形与矩形镶嵌装饰，若一个菱形纹样的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的边长及面积分别为（ ） A. 5，48 B. 5，24 C. 10，48 D. 10，24 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴两条对角线的一半长分别为和； 由勾股定理得菱形边长为； 菱形的面积为． 9. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ，是方程的两根， ∴ 由根与系数的关系得，，； ∵ 该方程中，，， ∴ ，． 10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据矩形与折叠的性质可得出，，利用证明，设，则，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵翻折， ∴，，， 在与中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故选A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：移项得：， 因式分解得：， 两个因式的乘积为时，至少其中一个因式的值为， 或 ， 解得：，． 12. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 13. 岭南古建测绘常借助相似原理．如图，在中，点、分别在、上，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为已知，所以可判定，这是解题的核心突破口．由，可推导出与的长度比，这是计算相似比的关键步骤．根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入相似比即可得到面积比． 【详解】 已知，， 可得． 因为， 可得． 因此， 即比值为． 14. 如图，广东沿海某滨海景观平台设计的矩形构件．在矩形中，，，点是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形性质和同角的余角相等，证明，代入求出，再用减去得到． 【详解】解： 四边形是矩形 ，， 是的中点 把代入，得 15. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求折痕__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得，根据折叠的性质可得，设，则，根据勾股定理可得，列出方程求出，同理可得：，推出四边形是菱形，根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， 设， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 则， 同理可得：， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程在，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 解得：，． 17. 茂名某中学研学小组赴广州塔（“小蛮腰”）周边开展“测量古塔高度”实践活动．如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若测得，，利用相似关系求线段的长． 【答案】（1）证明：， （两直线平行，内错角相等）． 又， （两角分别相等的两个三角形相似）． （2）． 【解析】 【分析】第问由平行线得到一组内错角相等，再结合题干给出的等角，用“两角分别相等”判定相似； 第问由相似得到对应边成比例，把比例式交叉相乘转化为关于的等积式，代入数值求出，注意线段长度取正值． 【小问1详解】 证明见答案． 【小问2详解】 解：， 对应边成比例， 即： ． ，， ． ， ． 答：线段的长为． 18. 如图：菱形的对角线、相交于点，且，，过点作，垂足为． （1）求菱形的面积； （2）求点到边的距离． 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半来求解. （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长度，再利用一个直角三角形面积的不同计算方法来求解． 【小问1详解】 解：菱形的对角线、相交于点，且，， 菱形的面积==； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得，. ， ， 即， ， 即点到边的距离为． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，从而得出关于m的不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系列出关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以，， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ， 因为10，即 所以． 20. 在广东乡村振兴战略下，低空经济为现代农业赋能．某县推广农业无人机播种，月份无人机播种面积为万亩，随着技术普及，播种面积逐月递增，月份的播种面积达到万亩． （1）求从月份到月份该县农业无人机播种面积的月平均增长率； （2）岭南某制造业企业生产的智能农机设备，进价为万元/台．经销一段时间后发现：当该设备售价定为万元/台时，平均每周售出台；售价每降低万元，平均每周多售出台．若该企业计划下调售价使平均每周的销售利润为万元，为让利农户，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每台设备的售价． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】第问是平均增长率模型：增长次数为次，基数为万，末数为万，等量关系为“基数增长率 末数”，开平方后舍去负根． 第问是销售利润模型：核心关系为“总利润单台利润销量”，设降价份数可把售价、单台利润、销量都用表示，列方程后整理为一元二次方程，求得两根后再依据“尽量让利顾客”这一附加条件取舍． 【小问1详解】 解：设从月份到月份播种面积的月平均增长率为． 根据题意，月到月共增长两次，可列方程： 整理得： 开平方得： 增长率，，解得． 答：从月份到月份该县农业无人机播种面积的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价下调万元（为正整数），则每台实际售价为万元． 单台利润为万元， 每周销售量为台． 根据“总利润单台利润销量”列方程： 展开整理得： 两边同乘得： 因式分解得： 解得，． 要求尽量让利于顾客，即售价应尽量低， 取． 此时每台售价为（万元）． 答：下调后每台设备的售价为万元． 21. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图， （2）结论：四边形是矩形． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线垂线的基本尺规作图方法，以点为直线外的定点，作的垂线交于，保留对应作图痕迹即可完成的作图． （2）先结合平行四边形的性质推导出与平行且相等，证得是平行四边形，再根据得到为直角，从而判定该四边形是矩形． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）经过或后、两点之间的距离是 （2）经过秒或秒的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； 【小问2详解】 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 23. 已知矩形纸片，按要求解决下列问题． （1）如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处； ①若为等腰直角三角形，则的度数为 ； ②若，，则的长度为 ． （2）如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状，并说明理由． （3）如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕．还原后又将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，连交于点．求证：． 【答案】（1）①；② （2）四边形的形状是菱形，理由如下： 根据折叠的性质得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）证明：如图，连接，， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质可得，由为等腰直角三角形得，由平角的知识即可求出的度数； ②由矩形的性质和折叠的性质可得：和，在中，由勾股定理解出，即，再在中，由勾股定理建立方程解方程即可． （2）根据折叠的性质得，，，由四边形是矩形，得对边平行，由两直线平行得内错角相等，再由等角对等边得，再由对边平行且相等得四边形是平行四边形，由邻边相等的平行四边形为菱形即可求证四边形的形状是菱形． （3）由第一次将矩形纸片沿过点的直线折叠，可得四边形是正方形， 即；由第二次将矩形纸片沿过点的直线折叠，可得；由可证得，由全等三角形对应角相等得，进而得出，由等角对等边即可得出． 【小问1详解】 ①∵把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处， ∴由折叠的性质可得， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ， 即的度数为； ②把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处， 由矩形的性质和折叠的性质可得： ，, ， 在中，有， ∴ ， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中练习 九年级 数学 本试卷共6页，共23小题，满分120分．考试用时120分钟．内容：P1-89． 注意事项： 1．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等的四边形是平行四边形 2. 如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. BA＝BC B. AC、BD互相平分 C. AC＝BD D. AB∥CD 3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点为边上一点．添加下列一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 岭南传统建筑窗花纹样常以菱形与矩形镶嵌装饰，若一个菱形纹样的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的边长及面积分别为（ ） A. 5，48 B. 5，24 C. 10，48 D. 10，24 9. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 13. 岭南古建测绘常借助相似原理．如图，在中，点、分别在、上，，若，则__________． 14. 如图，广东沿海某滨海景观平台设计的矩形构件．在矩形中，，，点是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的长为__________． 15. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求折痕__________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 茂名某中学研学小组赴广州塔（“小蛮腰”）周边开展“测量古塔高度”实践活动．如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若测得，，利用相似关系求线段的长． 18. 如图：菱形的对角线、相交于点，且，，过点作，垂足为． （1）求菱形的面积； （2）求点到边的距离． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 在广东乡村振兴战略下，低空经济为现代农业赋能．某县推广农业无人机播种，月份无人机播种面积为万亩，随着技术普及，播种面积逐月递增，月份的播种面积达到万亩． （1）求从月份到月份该县农业无人机播种面积的月平均增长率； （2）岭南某制造业企业生产的智能农机设备，进价为万元/台．经销一段时间后发现：当该设备售价定为万元/台时，平均每周售出台；售价每降低万元，平均每周多售出台．若该企业计划下调售价使平均每周的销售利润为万元，为让利农户，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每台设备的售价． 21. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 23. 已知矩形纸片，按要求解决下列问题． （1）如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处； ①若为等腰直角三角形，则的度数为 ； ②若，，则的长度为 ． （2）如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状，并说明理由． （3）如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕．还原后又将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，连交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $