精品解析：广东 信宜市水口中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

水口中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1、3、6 B. 1、3、-6 C. 1、-3、6 D. 1、-3、-6 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 4. 将方程的左边配成完全平方后，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（　　） A. y＝（x﹣1）2 B. y＝（x﹣1）2﹣8 C. y＝（x+3）2 D. y＝（x+3）2﹣8 7. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 生物兴趣小组的学生，每个人都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件．如果全组有x名同学，则根据题意列的方程（ ） A. B. C. D. 10. 用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 12. 二次函数（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表； x －1 0 1 3 y －1 3 5 3 以下结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③当x＝2时，y＝5；④3是方程的一个根．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 13. 因式分解：___________． 14. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是________． 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 21. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．将得到的数据分成A：、B：、C：、D：四组，并根据分析结果绘制如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角度数为______； （4）已知“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿在45个及以上(含45个)的植株数． 22. 如图，小李家在学校O的北偏东60°方向，距离学校8km的A处，小华家在学校O的东南45°方向的B处，小华家在小李家的正南方向，求小华家到学校的距离OB． 23. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式；并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据二次函数的图象，直接写出不等式的解集． 24. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 25. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 水口中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D ． 2. 一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1、3、6 B. 1、3、-6 C. 1、-3、6 D. 1、-3、-6 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：方程可化为：x2-3x+6=0， 二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为6． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4. 将方程的左边配成完全平方后，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数的一半的平方，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解本题的关键. 5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解答本题的关键． 根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 6. 将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（　　） A. y＝（x﹣1）2 B. y＝（x﹣1）2﹣8 C. y＝（x+3）2 D. y＝（x+3）2﹣8 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知， 函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度 所得的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知， 将图像向上平移4个单位长度 所得的函数解析式为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答本题的关键． 7. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点是截图的关键．根据二次函数的顶点式，其中对称轴为直线，由此即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为直线， 故选：C． 8. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 9. 生物兴趣小组的学生，每个人都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件．如果全组有x名同学，则根据题意列的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，如果全组有x名同学，则每名同学需要送出件标本，再根据“共互赠了132件”列方程即可． 【详解】解：如果全组有x名同学，则每名同学需要送出件标本，共互赠了件， 可列方程：， 故选A． 10. 用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•3=3π，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得•2π•r•3=3π， 解得r=1． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11. 如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可； 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键． 12. 二次函数（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表； x －1 0 1 3 y －1 3 5 3 以下结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③当x＝2时，y＝5；④3是方程的一个根．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据待定系数法求出二次函数解析式，再根据解析式与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，x=0时，y=3，x=1时，y=5， ∴， 解得， ∴， ∴＜0，故①正确； 对称轴为直线x=， 所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； 当x=2时，；故③正确． 方程为， 整理得，， 解得， 所以，3是方程的一个根，正确，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键． 二、填空题 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法与公式法综合运用分解因式是解题的关键． 先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可得出，解之即可得出的取值范围，根据一元二次方程根与系数的关系，得到 根据 列出关于的方程，求解即可. 【详解】∵关于x的一元二次方程的x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根， ∴△=(2m+3)2−4m2=12m+9>0， 解得： ∵α、β是关于方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个实数根， ∴α+β=−(2m+3),αβ=m2. ∵α+β+αβ=0， ∴m2−2m−3=0， 解得： ∵ ∴m=3. 故答案为3. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________． 【答案】 【解析】 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点， ∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°， ∴BD===. 故答案为:. 16. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到，利用垂线段最短，当最小时，最小，然后求出的最小值，从而得到的最小值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 【详解】解：连接、，如图， 直线切于点， ， 在中，， 当最小时，最小， 当直线时，有最小值2， 的最小值为． 故答案为． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先算乘方，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再将值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了公式法解一元二次方程． （1）先利用配方法得到，然后根据直接开平方法求解； （2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以； 【小问2详解】 （2）方程化为， ， ， 所以． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴. 又∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质得，再利用得出，得出，根据平行线的判定即可得到结论. 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键. 21. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．将得到的数据分成A：、B：、C：、D：四组，并根据分析结果绘制如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角度数为______； （4）已知“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿在45个及以上(含45个)的植株数． 【答案】（1）20 （2） 补全频数分布直方图如下   （3） （4）225 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数，中位数以及加权平均数等知识点， （1）用总数减去其它三组的频数可得组的棵数，继而求出， （2）根据组的棵数，补全频数分布直方图即可； （3）用C组对应的百分比乘以计算即可； （4）用300乘样本中小西红柿在45个及以上(含45个)所占的百分比可得答案； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 由题意得，组的棵数为：（棵）， ，即， 故答案为：20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 扇形统计图中C组所在扇形的圆心角度数为：． 故答案为：； 【小问4详解】 (棵)． ∴这300棵西红柿植株上小西红柿在45个及以上(含45个)的植株数为225棵． 22. 如图，小李家在学校O的北偏东60°方向，距离学校8km的A处，小华家在学校O的东南45°方向的B处，小华家在小李家的正南方向，求小华家到学校的距离OB． 【答案】小华家到学校的距离OB为4km 【解析】 【分析】过点O作AB的垂线，构造两个直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ∠BOC＝90°﹣45°＝45°， 在Rt△AOC中， OC＝OA•cos30°＝8× ＝4 （km）， 在Rt△BOC中， ， 答：小华家到学校的距离OB为4 km． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式；并写出对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据二次函数的图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），对称轴为：直线，顶点坐标为； （2） 如图， （3）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，求抛物线与坐标轴的交点，画二次函数图象，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （）利用配方法把函数解析式化为顶点式，即可求解； （）列表、描点、连线画出函数图象即可； （）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：， 对称轴为：直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： 描点， 连线 【小问3详解】 解：根据图象可知不等式的解集为或． 24. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 25. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），面积最大为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $