精品解析：甘肃省武威市古浪县泗水初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

甘肃省古浪县泗水初级中学2025—2026学年度第一学期期中考试试卷 九年级 数 学 一、细心选一选：（每小题3分，共30分） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A. x2+3x＝0 B. 2x+y＝3 C. D. x（x2+2）＝0 3. 二次函数的图象如图所示，根据图象可得，，与的大小关系是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 8 C. D. 0或8 7. 已知函数和，且，，，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( ) A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 长春市企业退休人员王大爷2013年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2015年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 二、耐心填一填：（每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____． 12. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 13. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 14. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是_______． 15. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为__________． 16. 已知m，n是方程的两个实数根，则． 17. 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转40°到△EFC的位置(点A与点E是对应点)，若CF⊥AB，则∠F的度数为______. 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为_______． 三．认真做一做：(本大题共9小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2）． 20. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 21. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上， ①写出A、B、C的坐标． ②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标． 22. 某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元．求该单位这次共有多少人参加旅游？ 23. 如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使． （1）求证：． （2）求的度数． 24. 已知某商品的进价是每件元，现在的售价是每件元，每星期可卖出件．据市场调查反映：销售价每涨1元，每星期要少卖出件． （1）设每件涨价x元，每星期售出该商品所获利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； （2）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 26. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 27. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省古浪县泗水初级中学2025—2026学年度第一学期期中考试试卷 九年级 数 学 一、细心选一选：（每小题3分，共30分） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A 2. 下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A. x2+3x＝0 B. 2x+y＝3 C. D. x（x2+2）＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 【详解】A、符合一元二次方程定义，故A选项正确． B、含有两个未知数，故B选项错误． C、不是整式方程，故C选项错误． D、未知数的最高次数是3，故D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 二次函数的图象如图所示，根据图象可得，，与的大小关系是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与轴交点情况判断，即可解题． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴在轴右侧， ，即， 二次函数与轴交于负半轴， ， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴m=2且m﹣n=﹣3， ∴m=2，n=5， ∴点M（m，n）在第一象限， 故选A． 5. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查是旋转的性质，三角形外角的性质；熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．根据题意可得，再结合旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵，，点、、在同一条直线上， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴旋转角为． 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 8 C. D. 0或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此得出关于m的方程，求解即可得出答案． 【详解】方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故选：D． 7. 已知函数和，且，，，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象问题，由函数解析式字母系数的正负，把一次函数与二次函数的图象相比较看是否一致进行解答． 【详解】解：由解析式可知，，图象开口向上，其顶点坐标为， 又因为，，；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D； C中，由二次函数图象可知，而由一次函数的图象可知，两者相矛盾，排除C；选项B正确． 故选：B． 8. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 9. 长春市企业退休人员王大爷2013年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2015年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知2014年的工资为2100（1+x）元，而2015年的工资为2100（1+x）（1+x）元，由此可列方程为. 故选C 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质解题即可. 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∵图象与x轴由两个交点， ∴， 当x=1时，y=a+b+c>0， 所以①③正确， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质.熟练掌握相关概念是解题的关键. 二、耐心填一填：（每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____． 【答案】x1=1，x2=﹣2 【解析】 【详解】解：∵（x﹣1）（x+2）=0，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．故答案为x1=1，x2=﹣2． 12. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 13. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】19或21或23　 【解析】 【详解】试题分析：解方程x2﹣8x+15=0得x=3或x=5，分以下几种情况：①当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；②当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；③当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；④当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23， 考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 14. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得出k-1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴k-1≠0， ∴k≠1． 把x=0代入，得， 解得：k=1(舍去)，或k=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键． 15. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得的抛物线为， 整理得； 故答案为：． 16. 已知m，n是方程的两个实数根，则． 【答案】3 【解析】 【详解】根据题意得m+n=−2，mn=−5， 所以m+n−mn=2−（-5）=3. 17. 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转40°到△EFC的位置(点A与点E是对应点)，若CF⊥AB，则∠F的度数为______. 【答案】50° 【解析】 【分析】根据旋转的性质，求得∠F=∠B，∠BCF=40°，再根据CF⊥AB，求得∠B=50°，即可得到∠F的度数． 【详解】解：∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转40° 得到△EFC， ∴∠BCF=40°，∠F=∠B， ∵CF⊥AB， ∴∠B=50°， ∴∠F=∠B=50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 三．认真做一做：(本大题共9小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握因式分解法． （1）利用因式分解法求解，即可求解； （2）利用因式分解法求解，即可求解． 【小问1详解】 解： 则或， 解得； 【小问2详解】 解： 则或， 解得． 20. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 21. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上， ①写出A、B、C的坐标． ②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标． 【答案】①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）； ②如图所示： A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1）． 【解析】 【分析】关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． ①根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标； ②首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得到A、B、C的对称点坐标，再顺次连接即可． 【详解】①略 ②略 考点：关于原点对称的点的坐标；点的坐标；作图－旋转变换． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及关于原点对称的点的坐标，关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 22. 某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元．求该单位这次共有多少人参加旅游？ 【答案】该单位这次参加旅游的共有30人． 【解析】 【分析】设该单位这次参加旅游的共有x人．因为100×25=2500＜2700，所以x＞25，根据题意可列方程得，[100-2（x-25）]x=2700，解方程即可求解． 【详解】设该单位这次参加旅游的共有x人． ∵100×25＜2700，∴x＞25．[100-2（x-25）]x=2700，x2-75x+1350=0， 解得x1=30，x2=45， 当x=30时，100-2（x-25）=90＞70，符合题意； x=45时，100-2（x-25）=60＜70，不符合题意； 答：该单位这次参加旅游的共有30人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题中的等量关系列出方程是解题的关键. 23. 如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：矩形中， ， ∵在中，， ∴，， ， 由旋转可得：，， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，然后根据旋转，，， ，，接着求出和，然后即可得证； （2）由（1）得到，，，那么为等边三角形，然后证明，以及求出，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得到，，， 为等边三角形， ，， ， ∴∠FBB′=15°； ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 已知某商品的进价是每件元，现在的售价是每件元，每星期可卖出件．据市场调查反映：销售价每涨1元，每星期要少卖出件． （1）设每件涨价x元，每星期售出该商品所获利润为y元，写出y与x之间的函数关系式； （2）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据所获利润=每件利润×销售量可得函数解析式； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵销售价每涨1元，每星期要少卖出件， ∴每星期实际可卖出件， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴当时，y取得最大值， 答：每件商品涨价5元，每星期可获得利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解决本题的关键． 25. 如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 【答案】(1) y=－x2＋9x（0<x≤4） (2)20 【解析】 【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解． （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：（1）∵，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， ∴y=（18－2x）x， 即y=－x2＋9x（0<x≤4）． （2）由（1）知：y=－x2＋9x=． ∵当0<x≤时，y随x的增大而增大， 而0<x≤4， ∴当x=4时，． ∴△PBQ的最大面积是20cm2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出PB、BQ的长度是解题的关键． 26. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 27. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB的面积． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）把A（，0），C（0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可． （2）先求出M、B、C的坐标，根据即可解决问题． 【小问1详解】 解∶ 二次函数的图象经过（，0），C（0，5），（1，8）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：令y=0，则， ∴，， ∴B（5，0）， ， ∴M（2，9）， 如图中，过M作ME⊥y轴于点E， ∴，，，，， ∴ = =15． 【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $