精品解析：甘肃酒泉市肃州区酒泉第六中学2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考试试卷

酒泉第六中学2026-2027学年度第一学期 九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 4. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( ) A. B. 1 C. D. 2 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 3 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___． 12. 冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼．他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处．会场冰墩墩玩偶为运动员加油喝彩，舞动身体，博得世界人民的喜爱，玩偶身高两米，则玩偶嘴巴离地高度约等于______．（精确到0.01） 13. 某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是______米． 14. 如图，已知点D，E分别在的边，上，，且，若，则______________． 15. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 16. 如图，在中，，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______________． 三、解答题：本大题共11小题，共72分． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 19. 如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过几秒，与相似？ 20. 如图，在矩形中，点、在边上，点、分别在边、上，且，垂足为，交于点，，，，求此矩形的面积． 21. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； （2）求的面积． 22. 如图，在菱形中，过点C作对角线的垂线，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求菱形的面积． 23. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点． （1）试判断重叠部分的形状，并证明你的结论； （2）若平分，，求的面积． 24. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示； （1）求y（千克）与销售价x的函数关系式； （2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． （1）试求A点和B点的坐标； （2）若点E为x轴上的点，且．求此时点E的坐标． 26. 阅读理解： （1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）如图2，任等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，写出图中线段、、之间的数量关系并证明. 27. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉第六中学2026-2027学年度第一学期 九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：B． 2. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 3. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 求出已知方程的解，确定出的长，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，设菱形对角线相交 于O，如图， ∵菱形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴ ∴菱形面积为； 故选：B． 4. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 5. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．∵，∴四条线段不成比例． B．同理，，四条线段不成比例． C．同理，，四条线段不成比例． D．∵，∴四条线段成比例． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作平行横线的垂线，利用平行线分线段成比例定理，将线段与的比转化为平行线间的距离比求解． 【详解】解：设相邻两条平行横线间的距离为， 过点作平行横线的垂线，分别交过点、的平行横线于点、 由图可知点到点跨越个间隔，点到点跨越个间隔 ，   五条平行横线互相平行    7. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 8. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是 即可进行解答 【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根 得， 解得 则且 故答案为且 【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根． 12. 冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼．他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处．会场冰墩墩玩偶为运动员加油喝彩，舞动身体，博得世界人民的喜爱，玩偶身高两米，则玩偶嘴巴离地高度约等于______．（精确到0.01） 【答案】米## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：设玩偶嘴巴离地高度为x米， 由题意得：， 解得：， ∴玩偶嘴巴离地高度约等于米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 13. 某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，设这棵树高度为，根据同一时刻物高与影长成正比列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：设这棵树高度为米， 同一时刻物高与影长成正比， ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，已知点D，E分别在的边，上，，且，若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，由  的值求出面积比，进而求出  的面积，最后利用面积差求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 【答案】##1.2## 【解析】 【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】∵ABGH， ∴△CGH∽△CAB， ∴=，即=①， 同理=，即=②， ①+②，得+=+==1， ∴+=1， 解得GH=． 故答案为． 16. 如图，在中，，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接  ，，     四边形是矩形    当时，的值最小，即的值最小 在中，，        的最小值为  故答案为： 三、解答题：本大题共11小题，共72分． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 则，即， 则， ，； 【小问2详解】 解：， ， 则， 解得：，． 18. 已知关于x的方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，结合有实数根的条件求解的取值范围． （2）利用根与系数的关系，将已知等式变形后代入求解，检验结果是否符合条件． 【小问1详解】 解：分两种情况讨论：当时，方程为，解得，有实数根，符合题意． 当时，方程为一元二次方程． ∵方程有实数根，∴． 解得．又， ∴此时且． 综上所述，的取值范围是． 【小问2详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，且由根与系数的关系得： ，． ∵， ∴． 代入得， 整理得， 解得． 检验：当时，，符合题意． ∴的值为． 19. 如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过几秒，与相似？ 【答案】经过或秒后，以、、三点为顶点的三角形与相似． 【解析】 【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，又由是公共角，分别从与进行分析，代入条件，转化为解方程即可． 【详解】解：设经过秒后，以、、三点为顶点的三角形与相似： 则，， ， ①若，则有，即， 解得：；经检验符合题意， ②若，则有，即， 解得：，经检验符合题意． 答：经过或秒后，以、、三点为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查动点中三角形相似条件问题，掌握分类讨论思想，以及三角形相似时用参数列出的比例式，用方程来解决是关键． 20. 如图，在矩形中，点、在边上，点、分别在边、上，且，垂足为，交于点，，，，求此矩形的面积． 【答案】46.08cm2 【解析】 【分析】由矩形FGHN可以得到NHBC，根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比，借助于方程即可求得矩形的长与宽，从而求得面积． 【详解】解：设NF＝x，由NF：NH＝1：2，得到NH＝2x， ∵矩形FGHN， ∴NHBC． ∴△ANH∽△ABC． ∵AD⊥BC， ∴AE⊥NH． ∴AE：AD＝NH：BC． ∵AE＝AD−DE＝8−x，AD＝8，BC＝24， ∴． ∴x＝4.8． ∴NH＝9.6cm，NF＝4.8cm． ∴此矩形的面积为46.08cm2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等． 21. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形： （1）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （2）直接求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 22. 如图，在菱形中，过点C作对角线的垂线，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 23. 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，与交于点． （1）试判断重叠部分的形状，并证明你的结论； （2）若平分，，求的面积． 【答案】（1） 解：是等腰三角形． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）由角平分线和折叠的性质可得，即得，得到，在中，根据勾股定理可得，求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 设，则, ∴ ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，， ∴， 解得， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 24. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示； （1）求y（千克）与销售价x的函数关系式； （2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元． 【解析】 【分析】（1）设函数关系式=y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可； （2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到W和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可，把y=150代入函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值． 【详解】解：(1)设y =kx+b．将x=10，y=40 和x=18，y=24代入得： 解之得：， ∴y= -2x+60（10≤x≤18）． (2)由题意得：(x-10)( -2 x+60) =150， 整理得：x2 -40x+375 =0， 解之得：x1 =15，x2=25， ∵10≤x≤18， ∴x2=25舍去， 答：销售价应定为15元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题． 25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且． （1）试求A点和B点的坐标； （2）若点E为x轴上的点，且．求此时点E的坐标． 【答案】（1）A点的坐标为；B点的坐标为； （2）点E的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解出一元二次方程，求出的长，即可求解； （2）设点E的坐标为，根据相似三角形的性质得到，即可求出|m|的值，进而得到点E的坐标． 【小问1详解】 解：方程， ∴， 解得：，， ∵， ∴，； ∴A点的坐标为；B点的坐标为； 【小问2详解】 解：设点E的坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． 26. 阅读理解： （1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）如图2，任等腰直角三角形中，，，点、在边上，且，写出图中线段、、之间的数量关系并证明. 【答案】 （1）.理由如下： 由旋转知，，，. ， . . 又， ， . . . （2）.证明如下： ， . 如图，将绕点逆时针旋转得到. 由旋转知，，，， . ， ， . 又， . ， ， . 【解析】 【分析】（1）结论：．证明即可解决问题． （2）结论：．将绕点B逆时针旋转得到．证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型． 27. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $