【代数式】培优题型专项训练2026-2027学年人教版七年级数学上册
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内容正文：
简一数理 培优题型专项训练
【代数式】培优题型专项练习
（新教材人教版）
备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！
【题型1 列代数式】
1．有下列关于代数式的叙述：
①“的平方与的平方的差”用代数式表示；
②某银行一年定期存款的利率是1.5%，存入元钱，一年后得到的本息和（存入的钱与利息的和）为元；
③某商品进价为元，先按进价的1.2倍标价，后又降价60元，则现在的售价为元．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据文字叙述的运算顺序，逐一验证代数式的正确性，统计正确个数．
【详解】解：①“的平方与的平方的差”为，与给出的不符，故①错误；
② 一年后利息为元，本息和为元，故②正确；
③ 商品标价为元，降价60元后售价为元，故③正确．
综上，正确的叙述有2个．
2．学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本a元，共花费300元，很快借阅一空；第二次又花费300元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（ ）本．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出两次购买的书本数量，再用第二次数量减去第一次数量，得到多出来的本数．
【详解】解：∵第一次采购单价为每本元，总花费为元，
∴第一次购进读物的数量为本．
∵第二次每本价格比第一次降低元，总花费为元，
∴第二次采购单价为每本元，购进读物的数量为本．
∴第二次购进的读物数量比第一次多本．
3．学校要装订一批作业本，总数是1200本．
(1)若每天装订本数，装订天数，用式子表示与的关系；
(2)判断和成什么比例关系？说明理由．
【答案】(1)
(2)成反比例，理由：变化，也随之变化，乘积为定值．
【详解】（1）解：由题意可知，装订作业本的总数一定，是1200本，
则．
（2）略
4．代数式综合题．
(1)下列各式中，属于代数式的有__________（填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
(2)把下列式子按代数式的规范写法改写：
①；②．
(3)列代数式：
①的平方与的倍的和；
②某商品原价元，按原价的八折出售，售价是多少元？
③一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数是多少？
【答案】(1)①③④⑥
(2)①；②
(3)①；②元；③这个两位数为
【分析】（1）根据代数式的定义逐一判断即可；
（2）根据代数式的规范写法改写即可；
（3）①先表示的平方及的倍，再表示和即可；
②用原价乘以折扣即可得到答案；
③根据两位数可表示为十位上的数字乘以，再加上个位数字，即可得出答案．
【详解】（1）解：①是代数式，
②中包含等号，不是代数式，
③是代数式，
④是代数式，
⑤中包含不等号，不是代数式，
⑥是代数式，
综上所述：属于代数式的有①③④⑥．
（2）解：①应改写为；
②应改写为．
（3）解：①的平方为，
的倍为，
∴的平方与的倍的和可列代数式为；
②某商品原价元，按原价的八折出售，售价可列代数式为元；
③∵十位上的数字是，个位上的数字是，
∴这个两位数是．
【题型2 正（反）比例关系】
1．下面各组中两种量成反比例关系的是（ ）
①圆柱的体积一定，它的底面积和高
②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件的总个数
③差一定，被减数和减数
④打同一份稿件，打字的速度和打字所用的时间
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】判断两种量是否成反比例，核心依据是二者的乘积是否为定值．
【详解】解：①圆柱体积，当一定时，（定值），底面积和高成反比例；
②设加工零件总时间为，加工一个零件的时间为，总个数为，则，当一定时，与的乘积为定值，二者成反比例；
③设被减数为，减数为，差为，则，当一定时，与的乘积不一定，二者不成反比例；
④设稿件总字数为，打字速度为，打字时间为，则，当一定时，与的乘积为定值，二者成反比例；
综上，①②④成反比例．
2．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表：
出水速度
10
8
5
4
2
…
时间
1
1.25
2
2.5
5
…
则下列说法正确的是（ ）
A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大
C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系
【答案】C
【分析】根据表格得到，根据确定两个变量成反比例，即可判断各选项．
【详解】解：由表格数据可得，，
故这个水池共有10吨水；时间t与出水速度v成反比例关系；出水速度v随着时间t的增大而减小，
故C正确，A、B、D错误．
3．下表中，当和成正比例关系时，▲是__________；当和成反比例关系时，▲是__________．
▲
【答案】
【分析】本题考查了正比例关系、反比例关系的定义，关键是根据定义进行判断；当和成正比例关系时，比值一定；当和成反比例关系时，乘积一定．
【详解】解：当和成正比例关系时，
设比例常数为，则，
∵，
∴，
当时，，
解得；
当和成反比例关系时，
设比例常数为，则，
由，
得，
当时，，解得．
故答案为：；．
4．某班级同学阅读同一本书，几位同学每天阅读的页数和阅读总天数如下表所示．
每天阅读的页数
4
8
16
阅读总天数
64
32
16
(1)填空：阅读总天数随着每天阅读的页数的增大而______（填“增大”或“减小”）．
(2)这本书的总页数是多少？
(3)如果用表示阅读总天数，表示每天阅读的页数，列式表示y与x之间的关系，并说明与成什么比例关系．
(4)如果飞飞同学计划每天读10页，那么他几天可以读完这本书？（结果向上取整）
【答案】(1)
减小
(2)
256页
(3)
（），与成反比例关系
(4)
26天
【分析】（1）对比表格中每天阅读页数增大时对应总天数的变化趋势．
（2）利用每天阅读页数与阅读总天数的乘积为总页数计算．
（3）根据总页数为定值推导与的关系式，结合反比例定义判断．
（4）将代入关系式，结合实际阅读需求对结果取整．
【详解】（1）解：∵每天阅读的页数从4增大到8、16时，对应阅读总天数从64减小到32、16，
∴阅读总天数随着每天阅读的页数的增大而减小．
（2）解：由表格中任意一组每天阅读页数与对应总天数相乘， （页），
且三组数据的乘积均为256．
答：这本书的总页数是256页．
（3）解：∵这本书总页数为定值256，
∴， 变形得（）．
∵与的乘积为定值，
∴与成反比例关系．
（4）解：当时， ，
∵25天无法读完这本书，需向上取整，
∴．
答：他26天可以读完这本书．
【题型3 用代数式表示数、图形的规律】
1．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答．
【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数，
第行从左向右的第个数为，
第行从左向右的第个数为．
2．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：50张白纸会有49个间隔，故粘合后长度会减少，则总长度为．
3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。
【详解】解：按顺序拆分观察规律：
∵第1个代数式：
第2个代数式：
第3个代数式：
第4个代数式：
……
∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是．
4．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（ ）
A．44 B．49 C．54 D．59
【答案】A
【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律．
【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍，
第2个图案用了根木棍，
第3个图案用了根木棍，
第4个图案用了根木棍，
第个图案用的木棍根数是，
当时，木棍根数为．
【题型4 代数式表示的实际意义】
1．下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）．
①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价
②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数
③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积
④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查代数式的实际意义，需要逐一分析每个描述中的数量关系是否与代数式一致．
【详解】解：①∵打七折后售价为元，再优惠50元，实际售价为元，与不符；
②∵苹果总价为元，余额50元，还差的钱数为元，符合；
③∵长方形面积为平方米，裁去50平方米，剩余面积为平方米，符合；
④∵已读页，还剩50页，总页数为页，与不符．
∴只有②和③符合，
故选C．
2．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查代数式的定义、书写规范及含义的理解，逐一判断各说法的正确性．
【详解】∵ 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，单独的数字或字母也是代数式，
∴ 说法①中“a是代数式”正确，但“1不是代数式”错误，故①错误；
∵ 带分数在代数式中应化为假分数，应写为，
∴ 表示a，b，的积的代数式应为，而非，故②错误；
∵ 代数式的运算顺序是先求差再求商，
∴ 其含义是a与4的差除以b的商，故③正确；
∵ “两数平方的差”指，“两数的积的4倍”指，
∴ 它们的和应为，而，
两者不等，故④错误．
故选：A．
3．下列代数式的意义叙述错误的是（ ）
A．的意义是与的差
B．的意义是除以的商
C．的意义是与的平方的差
D．的意义是与的和的
【答案】C
【分析】本题考查代数式的意义，解题的关键是根据代数式的特点逐项判断即可．
【详解】解：A、 表示与的差，故此选项正确，不符合题意；
B、 表示除以的商，故此选项正确，不符合题意；
C、 表示与的差的平方，而非与的平方的差（平方的差为），故此选项错误，符合题意；
D、 表示与的和的，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
4．，两地相距km，甲、乙两人驾车分别以km/h，km/h的速度从地到地，且乙用的时间较少．
(1)用代数式表示乙比甲少用的时间；
(2)当，，时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义．
【答案】(1)
(2)代数式的值为，这个值表示的实际意义是乙比甲早到
【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出代数式是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）将数值代入计算即可．
【详解】（1）解：乙用的时间为：，甲用的时间为：，
∴乙比甲少用的时间为：；
（2）解：当，，时，
，
这个值表示的实际意义是乙比甲早到．
【题型5 已知字母的值，求代数式的值】
1．已知与互为相反数，则（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】D
【分析】由相反数的意义可得，再解方程即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴；
∵且，
∴且，
∴且，
∴，，
∴．
2．已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】表达式值始终为偶数，且通过调整的取值，可以使表达式值为2，这是最小正偶数，即可作答．
【详解】解：依题意，把第k项的数记为（，且k为正整数），
∵这100个数中，每个数可以取值1或．
∴是奇数还是偶数取决于：
若为奇数，则为奇数；
若为偶数，则为偶数；
从1到100有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和为偶数，
因此始终为偶数；
∵能取到的最小正数，
∴偶数且是最小正数为2，
验证：把每连续的8个数看作一组数：
；
；
依次类推，每连续的8个数之和为0，即这样的一组数之和为0；
依题意，，
即100个数中有12组这样的数，100个数中剩下的4个数分别为，
∵这100个数中，每个数可以取值1或．
则
故能取到的最小正数为2．
3．已知整数满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据给定的递推公式和初始值，依次计算前若干项的数值．观察计算得到的前几项数值，按n为奇数、n为偶数两种情况分类，归纳出对应情况下的通项规律．判断2026属于奇数还是偶数，代入对应的通项公式，即可得到的结果．
【详解】寻找规律：
已知，
，
，
，
，
，
……，
可以总结出规律：当为正偶数时，．
代入，
得．
4．如图，点M、N对应的数是m、n，点M在，对应的两点（包括这两点）之间移动，点N在，0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下对四个代数式的值判断正确的是（ ）
A．的值一定大于3 B．的值一定大于
C．的值可能比2026大 D．的值可能比2026大
【答案】D
【分析】根据题意可得，再取特殊值分别对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意得，，
当时，，故A说法错误；
当时，，故B说法错误；
当时，，
当时，，
∴，
∴，故C说法错误；
当时，，故D说法正确．
【题型6 已知式子的值，求代数式的值】
1．已知，，，…，是个由或组成的数，且满足，则的值为（ ）
A．2026 B．4000 C．4025 D．4050
【答案】B
【分析】所求式子中当时值为，故先求出的个数，再计算对应项的和即可．
【详解】解：∵个数均为或，且和为，
∴的个数比的个数多，
∴的个数为，
∵当时，；当时，，
∴原式．
2．已知方程的两根为，．记，，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】观察所求式结构，提取公因式凑出方程左边的形式，结合根的定义求解．
【详解】解：∵ ,是方程的根．
∴ ,．
．
故选：．
3．若实数同时满足，则的值为_____．
【答案】1
【分析】根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果．
【详解】解： 实数，同时满足 ， ，
， ，
解得，
，，即，整理得，
将代入 ，得
，
整理得 ，
当时， ，舍去该情况，
当时， ，解得，
将代入，得 ，
．
4．已知，则__________．
【答案】27
【分析】本题可利用已知条件将所求代数式中的高次项逐步降次，通过代入、化简，最终转化为含的形式，再代入计算求解．
【详解】解：已知，则，，，
对所求代数式进行变形化简：
．
【题型7 流程图与代数式求值】
1．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10，
第2次输出的结果为，
第3次输出的结果为，
第4次输出的结果为，
第5次输出的结果为，
第6次输出的结果为，
第7次输出的结果为
第8次输出的结果为，
第9次输出的结果为，
……
这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，
，
∴第2026次计算输出的结果是.
2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案．
【详解】解：第一次：，为偶数，则；
第二次：，为偶数，则；
第三次：，为奇数，则；
第四次：，为偶数，则；
第五次：，为偶数，则；
第六次：，为奇数，则；
第七次：，为偶数，则；
第八次：，为奇数，则；
第九次：，为偶数，则；
第十次：，为偶数，则；
第十一次：，为偶数，则；
第十二次：，为奇数，则；
第十三次：，为偶数，则；
第十四次：，为奇数，则；
综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环，
，
则第2025次输出的结果是，
故选：B．
3．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去，第2024次输出的结果是___________．
【答案】6
【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的运算，根据计算程序找出变化规律是解题的关键．
根据计算程序求出前9次的计算结果，发现除了第1次外，每6次为一个循环，据此即可求解．
【详解】解答：由题意得，
第1次输出的结果是12，
第2次输出的结果是6，
第3次输出的结果是3，
第4次输出的结果是8，
第5次输出的结果是4，
第6次输出的结果是2，
第7次输出的结果是1，
第8次输出的结果是6，
第9次输出的结果是3，
，
∴除了第1次外，每6次为一个循环，
，
∴第2024次输出的结果是6，
故答案为：6．
4．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是______；第次输出的结果是______．
【答案】
【分析】本题考查规律探索，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．本题需要根据给定的运算程序，按照输入值的奇偶性进行计算，找出输出结果的规律，进而求出指定次数的输出结果．
【详解】解：第一次输入计算，已知开始输入，
∵2是偶数，根据运算程序，当为偶数时，输出，
∴第一次输出的结果为；
第二次输入计算，将第一次输出的结果1再次输入，
∵1是奇数，根据运算程序，当为奇数时，输出，
∴第二次输出的结果为；
第三次输入计算，将第二次输出的结果输入，
∵是偶数，
∴第三次输出的结果为；
第四次输入计算，将第三次输出的结果输入，
∵是奇数，
∴第四次输出的结果为；
第五次输入计算，将第四次输出的结果输入，
∵是偶数，
∴第五次输出的结果为，
发现规律，从第二次输出开始，结果按照，，循环出现；
∴第6次输出结果为；
计算第次输出结果，
∵，
∴第次输出的结果是循环节，，的最后一个，即．
故答案为：，．
【题型8 数字类规律探索】
1．定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，取，则若，则第2026次“F”运算的结果是（ ）
A． B．2026 C．4 D．1
【答案】D
【分析】计算前几次运算结果，找到循环周期后求解．
【详解】解：当时，
第1次运算结果为，
第2次运算结果为，
第3次运算结果为，
第4次运算结果为，
第5次运算结果为，
第6次运算结果为，
第7次运算结果为，
第8次运算结果为，
第9次运算结果为，
第10次运算结果为，
……，
∴从第8次运算开始，每2次运算为一个循环，结果依次为、．
，
第2026次运算的结果是．
2．将全体正整数按如图所示的方式排成一个三角形数阵，根据排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察数阵规律，第行有个数，先求出前行共有多少个数，即可确定第行第个数的值.
【详解】解：由图可知，第行有个数，
第行有个数，
，
第行有个数，
∴前行共有数字的个数为，
即第行最后一个数是，
则第行从左至右的第个数是.
3．将1，2，3，4，5，…按一定规律排列如：
第1行：1
第2行：2 3
第3行：4 5 6
第4行：7 8 9
第5行：
…
第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第n行有n个数，前n行的数的总个数等于第n行最后一个数，先计算前行的最后一个数，再计算第行第一个数字，第个数是在第一个数的基础上加9．
【详解】解：观察规律可知：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，第4行有4个数，第5行有5个数，
所以，第n行有n个数，
每一行的第一个数字都是上一行的数字加1，且该行数字为连续的正整数，
所以，前行共有数的个数为 ，
所以，第行第一个数字为，从左至右第个数是．
4．对于负数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过计算可得 （其中且为负数 ），将求和式中的项配对，利用该性质简化计算即可．
【详解】解：∵ ，且对于负数，
∴ ，
∴
，
∵，
∴原式．
【题型9 图形类规律探索】
1．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（ ）
A．512 B．1023 C．2047 D．2048
【答案】B
【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项．
【详解】解：第①个图形正方形个数：，
第②个图形正方形个数：，
第③个图形正方形个数：．
归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去．
∴第⑨个图形正方形的个数．
2．按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（）
A．148个 B．125个 C．126个 D．128个
【答案】B
【分析】观察图形可知，每个图案由中间的正方形点阵和四周固定的4个☆组成，找出中间☆个数与图案序号的关系即可得出规律，进而求解．
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案中☆的个数为；
第2个图案中☆的个数为；
第3个图案中☆的个数为；
第4个图案中☆的个数为；
∴第n个图案中☆的个数为，
当时，☆的个数为．
3．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为___．
【答案】
【分析】先找出图形中的规律用代数式表示，再计算．
【详解】解：由图可以发现：
，，，，……
∴，
∴
．
4．用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是__________平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是__________平方厘米．
【答案】
【分析】先列举前3幅图的阴影的面积，以此类推可得第4幅图的阴影面积，然后再归纳规律即可解答．
【详解】解：第1幅图的阴影面积是：；
第2幅图的阴影面积是： ；
第3幅图的阴影面积是：；
由此可知，第4幅图的阴影面积是：（平方厘米）；
规律：第n幅图的阴影面积是（平方厘米）；
填空如下：第4幅图的阴影面积是平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是平方厘米．
5．2026年国庆假期，某公园摆放盆栽美化公共区域，盆栽按如图所示的方式摆放，被折线分成若干层．
(1)①小明观察图中盆栽的摆放方式发现：
第1层有2个盆栽；
第2层有4个盆栽，前2层盆栽的数量可用算式表示；
第3层有6个盆栽，前3层盆栽的数量可用算式表示；
第4层有8个盆栽，前4层盆栽的数量可用算式表示；
按此规律，第100层有________个盆栽，前100层盆栽的数量可用算式________________表示．
②小明继续观察图中盆栽的摆放方式又发现：
前2层盆栽正好排成3行，每行2个；
前3层盆栽正好排成4行，每行3个；
前4层盆栽正好排成5行，每行4个；
按此规律，前100层盆栽正好排成________行，每行________个．
③根据①和②中的规律，可知：________．
④根据上面的探索，一般地，能得到什么结论？用含的等式表示，其中为正整数．
(2)类比（1）中的探索方法，求的值，其中为正整数．
【答案】(1)①200，；②101，100；③；④总和为
(2)
【分析】（1）①根据图形总结规律解答即可；②根据前层排成行、每行个求解即可；③根据前100层总盆栽数=行数×每行个数求解即可；④根据前层对应排成行、每行个求解即可；
（2）类比（1）画出相应的图形总结规律求解即可．
【详解】（1）解：①观察每层盆栽数：第1层，
第2层，
第3层，
……，
因此第层盆栽数为，第100层就是；
前100层的和就是从2开始连续100个偶数相加，即．
②观察排列规律：
前2层排成行、每行2个；
前3层排成行、每行3个；
前4层排成行、每行4个，
……，
因此前层排成行、每行个，前100层对应101行，每行100个．
③前100层总盆栽数=行数×每行个数=，
∴．
④把规律推广到正整数：前层的和是，对应排成行、每行个，
因此总和为．
（2）解：如图，
∵，，，，
∴．
∵
∴．
6．项目式学习：围棋棋子图案中的规律探究．
【项目任务】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形的黑、白两色棋
子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，观察围棋棋子的排列规律．
【项目探究】三位同学采用了不同方法进行探究．
(1)小军将这些棋子分为两类，一类是黑子构成的正方形点阵，一类是白子构成的正方形点阵，这样图1中棋子总数可表示为，图2中棋子总数可表示为，，按照这样的规律，摆放第个图案，需要 个棋子；
(2)小明用虚线将这些棋子连接成“回”字图形，他结合小军的探究，由图1得等式，由图2得等式，，由图得等式 ；
(3)小红用虚线将这些棋子斜着连接，这样图1中棋子总数可以表示为，图2中棋子总数可表示为，，图中最长虚线上共有 个棋子，她结合小军的探究，由此得到从1开始，连续个奇数的和，即 ．（按照要求列出式子，不需要化简）
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据给出的表示方法，作答即可；
（2）根据已有等式，得到相应的规律即可；
（3）观察可知，图1中最长虚线上共有个棋子，图2中最长虚线上共有个棋子，图3中最长虚线上共有个棋子，进而得到图中最长虚线上共有 个棋子，结合（1）中的规律，得到图建立的等式，再根据等式求出的值即可．
【详解】（1）解：由图可知，图中棋子总数可表示为，
∴摆放第个图案，需要个棋子；
（2）解：由图1得等式，
由图2得等式，
由图3得等式，
，
∴由图得等式；
（3）解：由图可知，图1中最长虚线上共有个棋子，
图2中最长虚线上共有个棋子，
图3中最长虚线上共有个棋子，
，
∴图中最长虚线上共有个棋子；
由（1）知，，
∴．
7．综合与实践
【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和．
【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去；
【问题解决】
(1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________；
(2)根据图形规律求的值；
(3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形；
(4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值．
（参考：，）
【答案】(1)①②
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据新的拆分的一个正方形面积是上一个正方形面积的即可求出①和②的面积．
（2）按照裂项法，将看成，看成，看成，，依次进行相加即可求出答案．
（3）观察图形，将其正方形拆分成的长方形形状换成三角形的形状即可．
（4）按照（2）问的方法计算即可．
【详解】（1）解：①的面积是，
②的面积是．
（2）解：
．
（3）略
（4）解： 时，
，
，
原式
．
8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的答案；
①；②；③；
④__________；⑤；…
(2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________；
第个等式：__________；
(3)根据上述的规律，计算：．
【答案】(1)
(2)；；
(3)2100
【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可；
（2）根据前五个等式及图形规律求解即可；
（3）根据，再结合（2）中的规律求解即可．
【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：；
（2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知：
第7个等式为；
∵，
，
；
，
，
…
依此类推，第个等式：；
（3）解：
．
9．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题．
(1)探究一：点阵等式规律
观察下面的点阵（图）和相应的等式：
①；
②；
③；
④；…
①填空：（ ）2；
②猜想：（ ）2（是正整数）．
(2)探究二：平面密铺规律
如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推．
①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形；
②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）．
(3)【应用拓展】
某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程．
【答案】(1)①5；②
(2)①6，30；②
(3)还需要600块正三角形地砖
【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果；
（2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可；
（3）根据（2）中规律进行作答即可.
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④；
…，
∴；；
（2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，
∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形；
②第层中分别含有6块正方形和块正三角形；
（3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下：
（层），
块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层；
∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，
∴当时，．
故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．
10．综合与实践．
【问题情境】
在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②．
【问题呈现】
(1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个；
(2) ______；
(3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型：
第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______；
(4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______；
(5)求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)
(5)
【分析】根据图形解答即可求解；
根据的结果即可求解；
根据图形解答即可求解；
根据的结果即可求解；
把原式转化为，再利用的结果解答即可求解．
【详解】（1）解：图②中，每层有小圆圈个；
∵每层有小圆圈个，共有层,
∴共有小圆圈个；
（2）解：∵图②中共有小圆圈个，
∴图①中共有小圆圈个，
即；
（3）解：由图可得，同一位置上三个圆圈里面的数的和均为；
（4）解：∵每个位置上三个圆圈中数的和均为，
∴图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：；
（5）解：∵，
∴，
．
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简一数理 培优题型专项训练
【代数式】培优题型专项练习
（新教材人教版）
备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！
【题型1 列代数式】
1．有下列关于代数式的叙述：
①“的平方与的平方的差”用代数式表示；
②某银行一年定期存款的利率是1.5%，存入元钱，一年后得到的本息和（存入的钱与利息的和）为元；
③某商品进价为元，先按进价的1.2倍标价，后又降价60元，则现在的售价为元．
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本a元，共花费300元，很快借阅一空；第二次又花费300元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（ ）本．
A． B．
C． D．
3．学校要装订一批作业本，总数是1200本．
(1)若每天装订本数，装订天数，用式子表示与的关系；
(2)判断和成什么比例关系？说明理由．
4．代数式综合题．
(1)下列各式中，属于代数式的有__________（填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
(2)把下列式子按代数式的规范写法改写：
①；②．
(3)列代数式：
①的平方与的倍的和；
②某商品原价元，按原价的八折出售，售价是多少元？
③一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数是多少？
【题型2 正（反）比例关系】
1．下面各组中两种量成反比例关系的是（ ）
①圆柱的体积一定，它的底面积和高
②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件的总个数
③差一定，被减数和减数
④打同一份稿件，打字的速度和打字所用的时间
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
2．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表：
出水速度
10
8
5
4
2
…
时间
1
1.25
2
2.5
5
…
则下列说法正确的是（ ）
A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大
C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系
3．下表中，当和成正比例关系时，▲是__________；当和成反比例关系时，▲是__________．
▲
4．某班级同学阅读同一本书，几位同学每天阅读的页数和阅读总天数如下表所示．
每天阅读的页数
4
8
16
阅读总天数
64
32
16
(1)填空：阅读总天数随着每天阅读的页数的增大而______（填“增大”或“减小”）．
(2)这本书的总页数是多少？
(3)如果用表示阅读总天数，表示每天阅读的页数，列式表示y与x之间的关系，并说明与成什么比例关系．
(4)如果飞飞同学计划每天读10页，那么他几天可以读完这本书？（结果向上取整）
【题型3 用代数式表示数、图形的规律】
1．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（ ）
A． B． C． D．
2．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为
A． B． C． D．
3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（）
A． B． C． D．
4．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（ ）
A．44 B．49 C．54 D．59
【题型4 代数式表示的实际意义】
1．下列问题中的数量或数量关系，可以用代数式表示的是（ ）．
①一件衣服标价元，打七折后再优惠50元的实际售价
②苹果售价为每千克7元，小天买了千克，微信里全部余额为50元（未绑定银行卡），扫码时提示余额不足，他还差的钱数
③从长米，宽7米的长方形木板上裁去面积为50平方米的一块，剩余的面积
④小天如果以每天7页的速度读一本书，读了天后还剩50页，这本书的总页数
A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④
2．下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的意义是a与4的差除以b的商；④a，b两数平方的差与两数的积的4倍的和用代数式表示是，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列代数式的意义叙述错误的是（ ）
A．的意义是与的差
B．的意义是除以的商
C．的意义是与的平方的差
D．的意义是与的和的
4．，两地相距km，甲、乙两人驾车分别以km/h，km/h的速度从地到地，且乙用的时间较少．
(1)用代数式表示乙比甲少用的时间；
(2)当，，时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义．
【题型5 已知字母的值，求代数式的值】
1．已知与互为相反数，则（ ）
A． B．2 C． D．8
2．已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知整数满足下列条件：，，，，…以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点M、N对应的数是m、n，点M在，对应的两点（包括这两点）之间移动，点N在，0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下对四个代数式的值判断正确的是（ ）
A．的值一定大于3 B．的值一定大于
C．的值可能比2026大 D．的值可能比2026大
【题型6 已知式子的值，求代数式的值】
1．已知，，，…，是个由或组成的数，且满足，则的值为（ ）
A．2026 B．4000 C．4025 D．4050
2．已知方程的两根为，．记，，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．若实数同时满足，则的值为_____．
4．已知，则__________．
【题型7 流程图与代数式求值】
1．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可以得出第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去，第2024次输出的结果是___________．
4．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是______；第次输出的结果是______．
【题型8 数字类规律探索】
1．定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，取，则若，则第2026次“F”运算的结果是（ ）
A． B．2026 C．4 D．1
2．将全体正整数按如图所示的方式排成一个三角形数阵，根据排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（ ）
A． B． C． D．
3．将1，2，3，4，5，…按一定规律排列如：
第1行：1
第2行：2 3
第3行：4 5 6
第4行：7 8 9
第5行：
…
第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
4．对于负数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 图形类规律探索】
1．“勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（ ）
A．512 B．1023 C．2047 D．2048
2．按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（）
A．148个 B．125个 C．126个 D．128个
3．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为___．
4．用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是__________平方厘米．根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是__________平方厘米．
5．2026年国庆假期，某公园摆放盆栽美化公共区域，盆栽按如图所示的方式摆放，被折线分成若干层．
(1)①小明观察图中盆栽的摆放方式发现：
第1层有2个盆栽；
第2层有4个盆栽，前2层盆栽的数量可用算式表示；
第3层有6个盆栽，前3层盆栽的数量可用算式表示；
第4层有8个盆栽，前4层盆栽的数量可用算式表示；
按此规律，第100层有________个盆栽，前100层盆栽的数量可用算式________________表示．
②小明继续观察图中盆栽的摆放方式又发现：
前2层盆栽正好排成3行，每行2个；
前3层盆栽正好排成4行，每行3个；
前4层盆栽正好排成5行，每行4个；
按此规律，前100层盆栽正好排成________行，每行________个．
③根据①和②中的规律，可知：________．
④根据上面的探索，一般地，能得到什么结论？用含的等式表示，其中为正整数．
(2)类比（1）中的探索方法，求的值，其中为正整数．
6．项目式学习：围棋棋子图案中的规律探究．
【项目任务】围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用扁圆形的黑、白两色棋
子在方形格的棋盘上对弈．现用黑、白两色棋子拼成下列图案，观察围棋棋子的排列规律．
【项目探究】三位同学采用了不同方法进行探究．
(1)小军将这些棋子分为两类，一类是黑子构成的正方形点阵，一类是白子构成的正方形点阵，这样图1中棋子总数可表示为，图2中棋子总数可表示为，，按照这样的规律，摆放第个图案，需要 个棋子；
(2)小明用虚线将这些棋子连接成“回”字图形，他结合小军的探究，由图1得等式，由图2得等式，，由图得等式 ；
(3)小红用虚线将这些棋子斜着连接，这样图1中棋子总数可以表示为，图2中棋子总数可表示为，，图中最长虚线上共有 个棋子，她结合小军的探究，由此得到从1开始，连续个奇数的和，即 ．（按照要求列出式子，不需要化简）
7．综合与实践
【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和．
【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去；
【问题解决】
(1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________；
(2)根据图形规律求的值；
(3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形；
(4)【拓展延伸】参考上述方法，当n=6时，求出值．
（参考：，）
8．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的答案；
①；②；③；
④__________；⑤；…
(2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________；
第个等式：__________；
(3)根据上述的规律，计算：．
9．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题．
(1)探究一：点阵等式规律
观察下面的点阵（图）和相应的等式：
①；
②；
③；
④；…
①填空：（ ）2；
②猜想：（ ）2（是正整数）．
(2)探究二：平面密铺规律
如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推．
①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形；
②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）．
(3)【应用拓展】
某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程．
10．综合与实践．
【问题情境】
在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②．
【问题呈现】
(1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个；
(2) ______；
(3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型：
第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______；
(4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______；
(5)求的值．
【复盘笔记】
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