培优04 代数式求值（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“基础代入-整体思想-应用拓展-规律探究”为逻辑主线，通过7类分层题型培养符号意识、运算能力和模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常规类型|8题|含直接代入（重）和整体代入（难），涉及相反数、倒数等概念|从具体字母代入到式子整体代换，构建代数运算基础逻辑| |应用|8题|涵盖实际问题（工程、销售等）、自定义运算、流程图求值|体现数学建模过程，培养用数学语言表达现实问题的能力| |规律探究|8题|包含数字循环、图形变化规律，结合古代算筹等文化背景|从特殊到一般，发展抽象能力与推理意识，衔接中考创新题型|

专题04代数式求值 常考题型·精准突破 考点一 代数式求值的常规类型 题型1已知字母的值，求代数式的值（重） 题型2 已知式子的值，求代数式到值（难） 考点二 代数式求值的应用 题型3 代数式求值的实际应用 题型4 自定义背景下的代数式求值 题型5 流程图与代数式求值 考点三 规律探究与求值 题型6 数字规律探究 题型7 图形规律探究 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 代数式求值的常规类型 ◆题型1已知字母的值，求代数式的值 1．（26-27七年级上·湖北襄阳·开学考试）当时，代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把字母的值代入代数式进行计算即可． 【详解】解：当时， ． 2．（26-27七年级上·天津·开学考试）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，代入代数式计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 3．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【答案】C 【分析】由得同号，结合绝对值的取值分两种情况计算． 【详解】解：， ； ， ； ， 同号， 故当，时，； 当，时，． 的值为或． 4．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】解：∵的相反数是4， ∴， ∴． ◆题型2 已知式子的值，求代数式到值 5．（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 【答案】A 【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， ， 对所求代数式变形得：， 将代入得：原式，因此代数式的值为． 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据相反数与倒数的意义得到、的值，结合m的取值代入代数式计算． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∵m是最大的负整数， ∴， ∴． 7．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先根据相关定义确定各未知量对应的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数， ∴，，，， ∴，， 因此，且， ∴． 8．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3． (1)填空________ (2)填空________ (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据相反数的性质直接得出结果． （2）根据倒数的性质直接得出结果． （3）先由绝对值的定义确定m的取值，再代入前两问的结果计算代数式的值． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数， ∴； （2）解：∵c、d互为倒数， ∴； （3）解：∵m的绝对值是3， ∴或， 当，，时， ， 当，，时， ， ∴该式子的值为或． 考点二 代数式求值的应用 ◆题型3 代数式求值的实际应用 9．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 【答案】 65 【分析】根据题意列出代数式，代入求值即可． 【详解】解：根据题意可知还剩水泥， 当，时，原式． 10．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 【答案】 【详解】解：当时，． 11．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 【答案】38 【分析】先通过分析榫槽结构数为1和2时的长度，找出榫槽结构数与总长度之间的规律，再根据规律计算12个榫槽结构时的总长度． 【详解】解：由题意得：当榫槽结构数为1时，长度为；当榫槽结构数为2时长度为， 所以，从1个榫槽结构增加到2个榫槽结构，增加的长度为， 由此可推测，每增加1个榫槽结构，总长度就增加， 设榫槽结构数为n，总长度为L，则总长度L与榫槽结构数n的关系为． 当时，将其代入可得：． 12．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ 【答案】(1)；； (2)方案③最省钱 【分析】（1）根据三种方案，列出代数式即可； （2）分别求出三种方案的费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：由题意，①（元）； ②（元）； ③（元）； （2）解：当时， ①总费用为（元）； ②总费用为（元）； ③总费用为（元）； ∵， ∴方案③最省钱. ◆题型4 自定义背景下的代数式求值 13．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：，，其中m，n，k均为正整数．已知，，那么的值是________． 【答案】15 【分析】根据已知条件先找出和的所有正整数可能解，再结合第二个等式求出符合要求的，最后按照新运算规则计算目标式的值． 【详解】解：∵，已知， ∴，即， ∵，均为正整数， ∴得到两组可能解：，或，， ①当， 时，， ∵，， ∴，解得，不是正整数，舍去该组解； ②当， 时，， ∵，， ∴，解得，符合是正整数的要求， 因此得到，，， ∴ ∴． 14．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）规定“*”表示一种新运算，且．则________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题可知，， 代入公式得：． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 16．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【分析】先根据新的定义可得，，再作为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． ◆题型5 流程图与代数式求值 17．（22-23九年级上·山东菏泽·开学考试）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 18．（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 【答案】D 【详解】解：由程序计算图可得：第一次输出结果为， 第二次输出结果为． 19．（25-26七年级上·河北邢台·期末）嘉嘉设计了一个电脑运算程序：对输入的任意两个整数，做“求差后取绝对值，再乘 ”的运算，运算过程：依次输入a，b后显示的结果．例如：依次输入1，2，则显示的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行该运算程序．淇淇在程序中先输入了1，3，再依次输入连续奇数：5，7，9，11，…，n，最后显示的结果为，则n的值为________． 【答案】101 【分析】本题考查了数字类规律探索、程序流程图与代数式求值，理解运算程序是解题的关键． 先计算前几次该运算程序显示的结果，找出显示的结果的变化规律，即可求解． 【详解】解：输入1，3，显示的结果为， 再输入5，显示的结果为， 再输入7，显示的结果为， 再输入9，显示的结果为， 再输入11，显示的结果为， …… 依此类推，最后输入，显示的结果为， ∵最后显示的结果为， ∴， 解得． 故答案为：101． 20．（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，再代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 考点三 规律探究与求值 ◆题型6 数字规律探究 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 22．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 23．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 【答案】(1)； (2)99；101 【分析】（1）观察所给图形及算式可得； （2）利用发现的规律即可求解． 【详解】（1）解：由所给图形及算式可得， 因此，； （2）解：由（1）中发现规律可得： 即． 24．（2026·安徽蚌埠·三模）某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． ◆题型7 图形规律探究 25．（2026·江西赣州·模拟预测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据3个图中矩形个数的变化，总结出规律即可． 【详解】解：由题意可知，第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； ∴第个图案用了（个）矩形． 26．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中基本图形个数的变化，发现后一个图案比前一个图案多3个基本图形，从而归纳出第个图案中基本图形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． 27．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 28．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 【答案】 【详解】 解：根据题意，表示． 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 2．（2026·湖南长沙·三模）数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 31．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 3．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，给代入不同特殊值，结合等式变形计算各选项的结果，然后再判断正误即可． 【详解】解：A．令，代入原式得，即，故A正确． B．令，得； 令，得，即； 得，整理得，故B正确． C．由的等式，移项得，故C正确； D．令，代入原式得 即，整理得，故D错误． 二．填空题 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 【答案】 【分析】先将代入已知代数式，求出的值，再将代入待求代数式，整体代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， ； 当时，． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 【答案】 9 【分析】根据给定的加密规则，将明文的值代入对应密文计算即可． 【详解】解：由题意得，明文，，将，代入加密规则得： 第一个密文：， 第二个密文：． 三．解答题 6．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）古代神话中，有一条千年神龙守护着一堆龙珠（龙珠不可分割，只能是自然数颗）．神龙每苏醒一次，执行如下一次操作：吃掉现存龙珠的三分之一，再吐出2颗新的龙珠．经过4次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠．那么，最初神龙守护的龙珠有多少颗？ 【答案】最初神龙守护的龙珠有颗 【分析】设最初神龙守护的龙珠有颗，吃掉后，剩颗，再加颗，那么每次操作前龙珠的数量（每次操作后龙珠的数量），从第次苏醒后连续向前推算次，每次结果都必须是自然数，最后求出最初龙珠数量即可． 【详解】解：由题意得经过4次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 故经过3次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 故经过2次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 故经过1次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠， （颗）， 答：最初神龙守护的龙珠有颗． 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则如完全平方公式、乘法分配律等和代入求值的方法是解题的关键． （1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简； （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 原式 ． 8．（25-26七年级下·安徽六安·期末）某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得； （1）当时，可得___________； （2）若，则的值为________． 【答案】 【分析】（1）分别计算出即可求解； （2）根据（1）总结的规律，再利用规律计算，根据奇偶性分类讨论第二问，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：（1） 当时，有六种取法，因此； 当时，有九种取法，因此； 当时，有，，十二种取法，因此； （2）由（1）得：任取中两个不同的数，不考虑顺序，设两数为，要求，归纳得：当为偶数时，设，则；当为奇数时，设，则； 由，得奇偶性不同，分两种情况： 情况1：为偶数，设，则，为奇数，，，代入得：，整理得，即， 由于， 则，符合要求，此时，，； 情况2：为奇数，设，则，为偶数，，，代入得：，整理得，即， 由于为正数，则， ∴，不是整数，舍去； 综上，． 9．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （2）略 10．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 【答案】(1)①元；②22元 (2)米或3500米 (3)120米 【分析】（1）①根据“乘车的路程小于3千米，则乘车费用为8元；大于等于3千米时，乘车的费用为基础的8元加上超过3千米部分的费用，超过3千米部分的费用为（总路程）元”列式；②将代入式子即可； （2）如果两人的家在坊子泰华城的同侧，则两人家的距离为两人运动的距离之差；如果两人的家在坊子泰华城的两侧，则两人家的距离为两人运动的距离之和； （3）两人从同一地点到同一个位置，李叔叔先到，则张叔叔距离目的地的距离为两人骑行的距离之差． 【详解】（1）解：①∵， ∴乘客应付的车费为（元）； ②将代入，得（元）． （2）解：当两人的家在坊子泰华城的同侧时， 两人家的距离为：（米）； 当两人的家在坊子泰华城的两侧时， 两人家的距离为：（米）， 答：他们两家相距米或3500米． （3）解：， ， （米）， 答：这时张叔叔离新怡园小区还有120米． 11．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由如下： 当时，， ， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【分析】（1）直接根据素材1，列出购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式即可； （2）将代入（1）所得的解析式，求得购物车列的车身总长，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为． （2）略 12．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)的值与的大小无关， 理由：由题意知，， 的值与的大小无关； (2) 【分析】（1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）根据图形列式得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，，， ， ． 13．（2026·安徽阜阳·三模）综合与实践 【材料】随着乡村旅游业的迅猛发展，在外打工多年的张琳回到家乡，创办了“乡村民宿”，引领当地农民发家致富．村口有一段长为的小路，张琳计划用如图所示的3种形状的防滑地砖（分别为正方形、正三角形和直角三角形）铺路，其中每块正方形地砖的边长为，图①中长方形的长为（路面宽度），宽为．三种图形的地砖的数量如下表所示． 正方形个数 正三角形个数 直角三角形个数 ① 1 2 4 ② 2 6 4 ③ 3 10 4 ④ 4 14 4 … … … … 【任务】根据图案的排列规律完成下列任务： (1)当图案中一共有5块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为________块；当图案中一共有n块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为________（用含n的式子表示）块； (2)求铺完这条路需要多少块正三角形地砖； (3)某品牌正方形地砖每块40元，正三角形地砖每块30元，直角三角形地砖每块20元，在运输或施工过程中往往会有损坏，因此在购买各种型号的地砖时，购买的数量通常会比实际需求的数量多，请估计铺完这条路购买地砖大约需要多少钱？ 【答案】(1)18； (2)4278块 (3)188360元 【分析】（1）根据图形中正方形的个数和正三角形个数找出规律进行解答即可； （2）先求出铺完这条路需要正方形地砖的块数，再代入，求出需要正三角形地砖的块数即可； （3）分别求出正方形地砖的块数，正三角形地砖块数和直角三角形地砖块数，再按要求求出所需费用即可． 【详解】（1）解：由图①得，有1块正方形地砖，需要正三角形地砖的块数为（块）； 由图②得，有2块正方形地砖，需要正三角形地砖的块数为（块）； 由图③得，有3块正方形地砖，需要正三角形地砖的块数为（块）； 由图④得，有4块正方形地砖，需要正三角形地砖的块数为（块）； 所以，有5块正方形地砖，需要正三角形地砖的块数为（块）； 有块正方形地砖，需要正三角形地砖的块数为（块）； （2）解：需要正方形地砖的数量（块）， 当时，，即需要正三角形地砖4278块． （3）解：直角三角形地砖的块数是4，（块）； 需要购买正方形地砖的数量（块）： 需要购买正三角形地砖的数量（块）， 所需费用为：（元） 答：铺完这条路购买地砖大约需要188360元． 14．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1)6.625 (2)，3 (3)243， 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案； （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算； （3）观察计算条件，先将输入固定1，得到输入6、输入1的输出值，再根据条件③，将输入固定6算出、均输入6时的输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ， ， ， 故答案为：6.625； （2）解：若输入的为时，， ， ， ， 若输入的为时，， ， ， 故答案为：，3； （3）解：由三个条件可知，当，均为1时，输出结果为1， 先输入数值为1，则可得输入的值为2，， 当输入3时，， 同理得，， ， ， 若输入固定值为6，， 同理得，， …… ， ，， 故答案为：243，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04代数式求值 常考题型·精准突破 考点一 代数式求值的常规类型 题型1已知字母的值，求代数式的值（重） 题型2 已知式子的值，求代数式到值（难） 考点二 代数式求值的应用 题型3 代数式求值的实际应用 题型4 自定义背景下的代数式求值 题型5 流程图与代数式求值 考点三 规律探究与求值 题型6 数字规律探究 题型7 图形规律探究 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 代数式求值的常规类型 ◆题型1已知字母的值，求代数式的值 1．（26-27七年级上·湖北襄阳·开学考试）当时，代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·天津·开学考试）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 4．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． ◆题型2 已知式子的值，求代数式到值 5．（25-26七年级下·安徽六安·期末）若，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．不确定，与k值大小有关 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，则的值为（     ） A．0 B． C．2 D．4 7．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 8．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3． (1)填空________ (2)填空________ (3)求的值． 考点二 代数式求值的应用 ◆题型3 代数式求值的实际应用 9．（26-27六年级上·上海金山·开学考试）工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 10．（2026·山西长治·三模）在中等配速（约6～7分钟/公里）的长跑中，当步幅（单位：）与身高（单位：）满足公式时，通常能获得较省力、高效舒适的跑步节奏．若小明同学身高，他长跑时应将步幅调整至________左右更省力． 11．（2026·山西太原·二模）在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 12．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ ◆题型4 自定义背景下的代数式求值 13．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：，，其中m，n，k均为正整数．已知，，那么的值是________． 14．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）规定“*”表示一种新运算，且．则________． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 16．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． ◆题型5 流程图与代数式求值 17．（22-23九年级上·山东菏泽·开学考试）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 18．（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 19．（25-26七年级上·河北邢台·期末）嘉嘉设计了一个电脑运算程序：对输入的任意两个整数，做“求差后取绝对值，再乘 ”的运算，运算过程：依次输入a，b后显示的结果．例如：依次输入1，2，则显示的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行该运算程序．淇淇在程序中先输入了1，3，再依次输入连续奇数：5，7，9，11，…，n，最后显示的结果为，则n的值为________． 20．（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 考点三 规律探究与求值 ◆题型6 数字规律探究 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 23．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 24．（2026·安徽蚌埠·三模）某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． ◆题型7 图形规律探究 25．（2026·江西赣州·模拟预测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 27．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 28．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 2．（2026·湖南长沙·三模）数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 31．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（     ） A． B． C． D． 二．填空题 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为明文，对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，当明文是2，5时，密文应是______，______． 三．解答题 6．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）古代神话中，有一条千年神龙守护着一堆龙珠（龙珠不可分割，只能是自然数颗）．神龙每苏醒一次，执行如下一次操作：吃掉现存龙珠的三分之一，再吐出2颗新的龙珠．经过4次苏醒后，神龙身边只剩下颗龙珠．那么，最初神龙守护的龙珠有多少颗？ 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 8．（25-26七年级下·安徽六安·期末）某数学兴趣小组在探究讨论时，发现了一个有趣的问题：对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，有四种取法，可得； （1）当时，可得___________； （2）若，则的值为________． 9．（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … 10．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 11．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 12．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 13．（2026·安徽阜阳·三模）综合与实践 【材料】随着乡村旅游业的迅猛发展，在外打工多年的张琳回到家乡，创办了“乡村民宿”，引领当地农民发家致富．村口有一段长为的小路，张琳计划用如图所示的3种形状的防滑地砖（分别为正方形、正三角形和直角三角形）铺路，其中每块正方形地砖的边长为，图①中长方形的长为（路面宽度），宽为．三种图形的地砖的数量如下表所示． 正方形个数 正三角形个数 直角三角形个数 ① 1 2 4 ② 2 6 4 ③ 3 10 4 ④ 4 14 4 … … … … 【任务】根据图案的排列规律完成下列任务： (1)当图案中一共有5块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为________块；当图案中一共有n块正方形地砖时，正三角形地砖的数量为________（用含n的式子表示）块； (2)求铺完这条路需要多少块正三角形地砖； (3)某品牌正方形地砖每块40元，正三角形地砖每块30元，直角三角形地砖每块20元，在运输或施工过程中往往会有损坏，因此在购买各种型号的地砖时，购买的数量通常会比实际需求的数量多，请估计铺完这条路购买地砖大约需要多少钱？ 14．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $