精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高 2028 届高二上期期中考试 数学试题 注意事项: 1. 本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知直线方程为（即的形式），由斜率公式可得. 2. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以共面； 对于B，因为，所以共面； 对于C，假设，，共面，则存在使得， 整理得，此时三者共面，与为基底矛盾， 因此假设不成立，所以，，不共面； 对于D，因为，所以共面. 3. 若椭圆 的离心率为 ，则实数的值等于（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 或 4 【答案】C 【解析】 【分析】分椭圆焦点在轴和轴两种情况讨论，列方程解. 【详解】当椭圆焦点在轴时，，解得，此时，所以； 则离心率，解得. 当椭圆焦点在轴时，，解得，此时，所以； 则离心率，即，解得. 综上，或. 4. 在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点M的位置，利用空间向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得 . 故选：B. 5. 已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出和已知直线平行的椭圆切线方程，联立切线与椭圆方程，利用切线的性质，即判别式，求出的值，从而求出切线方程；再用平行线间距离公式，计算两条切线到已知直线的距离，较大的距离即为最大距离. 【详解】设与直线平行的椭圆的切线方程为， 与椭圆方程联立得， 代入化简整理得， 由切线性质可知， 即，解得， 所以切线方程为和， 则根据平行直线之间的距离公式可得， 两条切线到直线的距离分别为，， 所以椭圆上的点到直线的最大距离为. 6. 一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】利用光的反射对称性将折线路径转化为直线距离，通过计算对称点到圆心的距离减去圆的半径，得到最短路径长度. 【详解】根据光的反射原理，从点出发经直线反射到圆上的最短路径，等价于点关于反射直线的对称点到圆上点的最短距离， 设关于直线对称的点为，则 ，解得，即点， 圆的标准方程为，因此圆心为，半径， 因此所求最短路径长度为. 7. 中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，它的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)，现有一个如图所示的曲池，它的高，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环所对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用几何体的几何特征确定底面圆心为原点，进而写出相关顶点的坐标，求出异面直线的方向向量，最后利用向量夹角公式计算其余弦值. 【详解】 以底面扇环对应的圆心为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点且垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意知，内圆半径，外圆半径，高，各顶点的坐标可表示为：，，，，，. 于是得到向量，. 计算两向量的模长：，. 计算向量的数量积：. 设异面直线与所成的角为，则. 8. 如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出，，再根据点是椭圆和圆的交点，利用椭圆定义和勾股定理得到等式，找到和之间的关系，最后由斜率公式求解即可. 【详解】设，，则， ∵点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点， ∴，， 则， 将代入化简得，∵，∴， 在直角中，，， ∴直线的斜率. 二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “” 是 “直线 与直线互相平行” 的充要条件 B. “” 是 “直线与直线互相垂直” 的必要不充分条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】AC 【解析】 【分析】结合两直线平行和垂直，列出方程，求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，可判定A正确，B不正确；根据直线斜率与倾斜角的关系，可判定C正确，求得直线的斜率，求得的范围，可判定D错误. 【详解】对于A，若直线 与直线互相平行， 则满足且，即且，解得， 所以“” 是 “直线 与互相平行” 的充要条件，所以A正确； 对于B，若直线与直线互相垂直， 则满足，即，解得或， 所以“” 是 “直线与互相垂直” 的充分不必要条件，所以B不正确； 对于C，由直线，可得直线的斜率为，即， 因为，所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为，所以C正确； 对于D，因为，可得， 要使得直线过且与线段相交，可得或， 所以的斜率，所以D不正确. 10. 在三棱锥中，，，，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与所成的角是45° D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，取中点，连接， 由 ，故， 因为，为中点，则， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对B，因为平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为 ， ，所以，因为为中点，所以， 因为 ，所以，所以，所以， 所以，所以，故B正确； 对C，因为平面，，所以以为原点，所在直线分别为轴， 则，，，， 所以， 直线与所成的角是，故C错误； 对于D，，，故D正确. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为30 B. C. 的最大值是22 D. 的最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可知为圆的方程，对选项中各个代数式进行处理，明确其几何意义，即可求解． 【详解】已知，其表示圆心在原点，半径的圆， 而点表示该圆上的任意一点． 对于A，将代入，化简可得． 由圆的方程，可确定圆上点的纵坐标的取值范围为， 则当时，取得最大值， 即的最大值为30，A正确； 对于B，， 其中表示圆上的点与点连线的斜率． 设上述直线方程为，即， 则该直线与圆有交点， 即满足圆心到直线的距离， 化简可得，解得， 故，B错误； 对于C，表示圆上的点与直线的距离的5倍， 而圆心到直线的距离， 圆上的点到直线的最大距离为， 故的最大值为22，C正确； 对于D，， 其表示圆上的点到点的距离与到点的距离的差的两倍， 即． 由三角形三边关系，可得, 即当，，三点共线，且在，之间时，如图点满足要求， 此时取得最大值为，D错误． 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 6 分，其中 14 题第六空 2 分，第二空 3 分，共 15 分. 12. 圆与圆的交点为，，则公共弦所在的直线的方程是_____. 【答案】 【解析】 【详解】圆：， 圆：， 得：， 化简得：， 所以公共弦所在的直线为. 13. 已知空间向量，，则向量 在向量上的投影向量为_____.(用坐标表示) 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量投影向量的公式，计算向量在上的投影向量坐标. 【详解】向量在向量上的投影向量为 ， 已知，，所以，所以向量在向量上的投影向量为. 14. 记椭圆的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则_____；椭圆的离心率为_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设，，，，由椭圆的定义结合余弦定理，在、中，分别求得，，然后再令，在、中，由正弦定理分别求得，，最后通过构造目标式以及三角函数相关知识即可求解. 【详解】设，，，， 则根据椭圆的定义，可知，． 在中，已知， 由余弦定理，可得， 解得． 在中，已知， 则由勾股定理，可得， 解得． 令，则，再令，则． 由于，则由二倍角公式，可得． 在中，由正弦定理，可得； 在中，由正弦定理，可得． 故可得，． 于是有，解得． ， 故． 由，，可得，． 结合，，可得，． 故． 将，，代入上式， 可得，即， 故． 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程， 计算步骤. 15. 已知向量，，，且，. （1）求，，； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，解得， 因此，. 因为， 所以，解得，因此. 【小问2详解】 由（1）可知， ， ，， 设与夹角为， 所以. 16. 中，已知，，点为边的中点. （1）求边上的高所在直线的一般式方程 （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点坐标，结合垂直关系确定高线的斜率，再用点斜式求出方程. （2）分截距为和截距不为两种情况讨论，分别求出直线方程. 【小问1详解】 设，因为为的中点，， 由中点坐标公式得，，解得，，故. 又，则直线的斜率. 因为，所以直线的斜率. 由点斜式得直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 由（1）知，设直线在两坐标轴上的截距分别为,,已知. 当时，直线过原点，设方程为， 代入得，即，此时直线方程为. 当时，设直线方程为，即， 代入得，即，此时直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 17. 如图 1，在 中， 分别为 的中点， 为 的中点， . 将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，如图 2 （1）求证: ； （2）求直线 和平面 所成角的正弦值； （3）线段 上是否存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ?若存在，求 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，分别为的中点， 所以，所以； 又为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 平面， 所以. （2） （3）线段上存在点适合题意. 设，其中. 所以， 又， 所以. 令，整理得，解得（舍去）. 所以线段上存在点适合题意，且. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的特征，可以得出，再结合面面垂直的性质定理，可以得出平面， 再根据线面垂直的性质，可以得出，之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果； （2）根据题中的条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得结果； （3）设，结合向量所成角的余弦值列方程求即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，所以. 由（1）得. 如图建立空间直角坐标系， 由题意得，， 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以. 设直线和平面所成的角为， 则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线 上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点 作圆的切线 ，求切线方程. （3）直线 与圆交于两点，求的取值范围(为坐标原点). 【答案】（1）； （2）和； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用圆的几何性质，圆心在弦的垂直平分线上，结合已知圆心所在直线联立求解圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程； （2）先判断定点在圆外，分斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径求解切线方程； （3）先由直线与圆相交的条件确定参数的取值范围，联立直线与圆的方程，借助韦达定理将向量数量积转化为关于的函数，结合的范围求函数的值域. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，其中圆心为，半径为， 因为圆心在直线上，故满足 ①， 圆经过点和，故两点到圆心的距离等于半径， 即：  ②，   ③， 联立②③，消去得：， 展开整理得： ④， 联立①和④，即，解得 ， 将代入②，得，即， 因此圆的标准方程为； 【小问2详解】 点到圆心的距离为，故点在圆外，存在两条切线， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，等于半径，故是圆的切线； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为 ， 整理为 ， 由圆心到直线的距离等于半径，即： ，解得， 此时切线方程：，整理为， 综上，所求切线方程为和； 【小问3详解】 设直线与圆的交点为，， 因为直线与圆交于两个不同点，故圆心到直线的距离小于半径， ， 解得，即， 将直线方程代入圆的方程， 整理得：  ， 即， 由韦达定理，得，， 又， 又， 所以 ， 将韦达定理代入得：  ， 即，又， 故当时，函数取得最小值； 当时，函数值为； 当时，函数值为. 因此的取值范围是. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于不同的两点、(均异于点)，求的值； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于、和、，若，分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）先由椭圆过定点得到，结合离心率公式和，直接求出椭圆方程即可； （2）设出直线方程和椭圆方程联立，借助韦达定理表示出两点横纵坐标，代入斜率表达式化简，从而可证明斜率和为定值； （3）设两条斜率满足乘积条件的直线，分别联立椭圆求出弦中点，，再求出线段的长度和原点到直线的距离，表示出三角形的面积（或者利用原点三角形面积公式写出面积表达式），再利用基本不等式求出面积最大值即可. 【小问1详解】 ∵椭圆的离心率，即， 又椭圆过点，即，又， 解得，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设过点的直线为， 设，，，则，， ， 联立直线与椭圆得， 化简可得， 由韦达定理可得，， ， 则. 【小问3详解】 椭圆的右焦点为，设直线方程为， 由，可得直线方程为， 联立与可得， 线段的中点，，， ∴，将换成可以得到， 法一：则，直线方程为， 整理得， 则原点到直线的距离为， 弦长， ∴， 令，，∵， 当且仅当时，等号成立，即. ∴面积的最大值为. 法二：（原点三角形面积公式）， 令，，∵， 当且仅当时，等号成立，即. ∴面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高 2028 届高二上期期中考试 数学试题 注意事项: 1. 本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若椭圆 的离心率为 ，则实数的值等于（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 或 4 4. 在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 13 7. 中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，它的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)，现有一个如图所示的曲池，它的高，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环所对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “” 是 “直线 与直线互相平行” 的充要条件 B. “” 是 “直线与直线互相垂直” 的必要不充分条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若，直线过且与线段相交，则的斜率 10. 在三棱锥中，，，，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与所成的角是45° D. 三棱锥的体积为 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为30 B. C. 的最大值是22 D. 的最大值是 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 6 分，其中 14 题第六空 2 分，第二空 3 分，共 15 分. 12. 圆与圆的交点为，，则公共弦所在的直线的方程是_____. 13. 已知空间向量，，则向量 在向量上的投影向量为_____.(用坐标表示) 14. 记椭圆的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则_____；椭圆的离心率为_____． 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程， 计算步骤. 15. 已知向量，，，且，. （1）求，，； （2）求与夹角的余弦值. 16. 中，已知，，点为边的中点. （1）求边上的高所在直线的一般式方程 （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 17. 如图 1，在 中， 分别为 的中点， 为 的中点， . 将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，如图 2 （1）求证: ； （2）求直线 和平面 所成角的正弦值； （3）线段 上是否存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ?若存在，求 的值，若不存在，请说明理由. 18. 已知圆经过点和，且圆心在直线 上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点 作圆的切线 ，求切线方程. （3）直线 与圆交于两点，求的取值范围(为坐标原点). 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于不同的两点、(均异于点)，求的值； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于、和、，若，分别是线段和的中点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $