专题06 双曲线（期中真题汇编，重庆专用）高二数学上学期

专题06 双曲线 1大高频考点概览 考点01 双曲线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）（多选）若双曲线的方程为，则（       ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为2 3．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（     ） A. 1 B. 2 C.  D. 3 5．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）（多选）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（     ） A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D. 经过焦点的最短弦长为 6 6．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（   ） A.  B. 2 C. 2或 D. 或 7．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）双曲线的实轴长为，焦距为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  9．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（     ）. A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 双曲线的一支 12．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（       ） A. 31 B. 27 C. 3或27 D. 3 13．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）若实数满足，则双曲线与的（     ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 15．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（       ） A. 3 B. 16+ C. 12+ D. 24 17．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 20．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为　　 A. 1 B.  C. 2 D.  22．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（       ） A. 若，则或9 B. 左焦点到渐近线距离为 C. 若A，B两点分别位于的两支，则 D. 点不可能是线段AB的中点 23．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）（多选）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（       ） A. 点P的横坐标为 B. 的周长为 C. 大于 D. 的内切圆半径为 24．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（     ） A. 3 B. 1 C.  D. 2 26．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）（多选）已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（     ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 27．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 29．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点．若恰好被轴平分，且，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（2026·重庆渝北中学·质量监测）（多选）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线右支上，则下列结论正确的是（     ） A. 直线的斜率为，则 B. 使为等腰三角形的点有且仅有2个点 C. 点到两条渐近线的距离积为 D. 已知点，则最小值为7 32．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）（多选）已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  35．（2026·重庆渝北中学·质量监测）若双曲线的离心率为3，则　　　　　　　　　　　 36．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）若双曲线的离心率为2，虚轴长为6，则该双曲线的实轴长为　　　　　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为　　　　　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　　　　　. 40．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为　　　　　　 41．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程　　　　　　．①实轴长为；②渐近线方程为. 42．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 43．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 44．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为　　　　　　厘米． 45．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 46．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是　　　　　　． 47．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程和离心率； （2）若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，满足，求证：直线与圆相切． 48．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于　　　　　　． 49．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为　　　　　　． 50．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. （1）若，求的坐标； （2）证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 51．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 53．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2. （1）求双曲线C的方程； （2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M， （i）求的值； （ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：. 54．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点. （1）求双曲线的标准方程. （2）是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由. （3）若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得. 55．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　 56．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； （3）若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 57．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为　　　　　　. 58．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 59．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 60．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式 . （1）将点绕坐标原点O逆时针旋转60°得到点Q，求点Q的坐标； （2）已知反比例函数，点和点， （ⅰ）请证明反比例函数的图象是双曲线，并求该双曲线的实轴长和离心率： （ⅱ）若点M是反比例函数的图象上任意一点，求的最小值. 61．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的标准方程. （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积. 62．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知是双曲线的左、右顶点，，点在上． （1）求的方程； （2）是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 63．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线 考点01 双曲线 考点01 双曲线 1．A 2．AD 3．A 4．C 5．CD 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B 11．D 12．B 13．D 14．C 15．A 16．B 17．C 18．C 19．B 20．B 21．C 22．BCD 23．BD 24．D 25．C 26．ABC 27．C 28．C 29．B 30．B 31．ACD 32．B 33．B 34．ACD 35．【答案】 【分析】 分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解. 【详解】 若焦点在轴上，则，，得， 则，得，满足题意； 若焦点在轴上，则，，无解， 则. 故答案为： 36．【答案】 【分析】 根据双曲线基本量的关系求解即可. 【详解】 依题意可得 ，解得 ，则 所以该双曲线的实轴长为． 故答案为：. 37．【答案】 【分析】 根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】 双曲线，则， 又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以， 又，则， 所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 38．【答案】 【分析】 由题意求得的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值. 【详解】 由题意可得，设， 由双曲线的定义可得， ， ， 则的周长为， 当且仅当共线，取得最小值，且为， 由题意可得，即， 则. 故答案为：. 39．【答案】 【分析】 设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围. 【详解】 由双曲线的右焦点为，则， 又由圆的圆心为，半径为， 设圆上的一点，可得的中点坐标为， 因为双曲线的渐近线方程为，可得，即， 又因为直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 即，可得， 所以，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 40．【答案】 【分析】 利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ① ② 两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 41．【答案】（或） 【分析】 对双曲线的焦点位置进行讨论，设出双曲线的标准方程，根据双曲线的几何性质可得出相应参数的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，所以，故， 此时该双曲线的标准方程为； 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，则，故， 此时该双曲线的标准方程为. 故答案为：（或）. 42．【答案】（1） 依题意，设，，， 则 ， 两式相减可得，即，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.     （2）      【分析】 （1）设，，利用点差法计算可得； （2）首先求出，由离心率求出，即可求出，从而求出直线的方程，联立直线与圆的方程，求出交点、，代入双曲线方程求出，即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为圆，所以， 所以， 又双曲线的离心率为，即，所以， 则双曲线，又，所以， 因为是圆的一条直径， 所以直线的方程为，即， 由 ，解得 或 ，即，， 又点在双曲线上，所以， 解得， 所以双曲线的方程为. 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． (1) 小问详解： 因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； (2) 小问详解： 设直线的方程为，，， 由 化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 44．【答案】 【分析】 根据离心率可求出双曲线方程，再将横坐标代入可得纵坐标. 【详解】 依题意知： 又， 又瓶口直径为20厘米，代入双曲线方程得： 高为20厘米 故答案为：20 45．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． (1) 小问详解： ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． (2) 小问详解： 由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由 得， 由题意得 ，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 46．【答案】 【分析】 根据题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案. 【详解】 设等轴双曲线方程为，一个焦点是，则，则. 故双曲线的标准方程是. 故答案为：. 47．【答案】（1）方程为：，离心率为2.     （2） 由双曲线的对称性，可设直线的方程为，且. 联立直线与双曲线方程，即 可得， 所以，. 从而. 由，即，解得， 则直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，则直线与圆相切, 所以当时，直线与圆相切. 【分析】 （1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程； （2）先联立方程得出的表达式，进而求得直线的方程为，再判断直线与圆的位置关系即可证明. (1) 小问详解： 解：该双曲线的渐近线为，即，设焦点为， 因为双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为 所以 解得 所以双曲线的方程为,离心率为. (2) 小问详解： 略 48．【答案】2 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义及勾股定理，利用椭圆和双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】 设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，        由椭圆和双曲线定义与对称性知，，， ， ，则， ，即， 于是有，则， 故答案为：. 49．【答案】 【分析】 根据条件，列出关于，，的齐次式，从而求双曲线的离心率. 【详解】 如图：    因为轴，且在双曲线上，所以， 又，所以为中点. 因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为， 圆心， 由 . 故答案为： 50．【答案】（1）；     （2） 过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ① ， ② ， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列．     （3） 要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到 两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③ ， 同理可得④ ， 由第（2）问的① ② 可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④ 式可化为⑤ ， 由③ ⑤ 两式得到：. 故，所以为定值. 【分析】 （1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案； （2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到，从而得到，再根据等比数列的定义即可证明； （3）转化为证明，利用点差法得，结合合比性质得，同理得，再根据（2）中结论即可证明. (1) 小问详解： ∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 51．【答案】 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义，可求得，又根据中垂线的性质，可得，进而可求得，代入所求代数式，结合双曲线离心率的性质和不等式，即可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为， 根据椭圆定义，可得① ， 根据双曲线定义，可得，又，所以② ， 联立① ② ，可求得， 又线段的中垂线过，所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 又根据双曲线的性质，可得，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为： 52．【答案】（1）     （2），其中或．      【分析】 （1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）法一：设出直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可； 法二：利用点差法进行求解即可. (1) 小问详解： 双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； (2) 小问详解： （法一）易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设、、， 联立直线与双曲线的方程，得 ，消去， 得， 由且，得且． 由韦达定理，得， 所以， 由 消去，得． 由且，得或， 所以，点的轨迹方程为，其中或． （法二）设，中点，则：， 因为在双曲线，故 ， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 53．【答案】（1）     （2）（i）1； （ii）过M平行于OA的直线方程为， 直线OB方程为与联立， 得， 即， 则， 所以， 由，两式相除得， ，则， 所以 ， 因为，所以， 故P为线段MQ的中点，所以.      【分析】 （1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得本题答案； （2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，，把逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把和的直线方程分别求出，联立可得到点的坐标，由此即可得到本题答案. (1) 小问详解： 因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2， 所以，又，得， 又因为，所以， 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： （2）设AB直线方程为，则， 代入双曲线方程整理得：， 设，则， ， （i） 而 ， 所以，，则， 所以 ； （ii）略 【点睛】 关键点点睛：本题第二小题第一问考了如何用表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力 54．【答案】（1）；     （2）存在实数使得为定值；     （3）或.      【分析】 （1）根据题意得 ，再结合解方程即可得答案； （2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值； （3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标. (1) 小问详解： 由题知，双曲线的焦点在轴上， 故焦点为，渐近线方程为 因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为， 所以 ，又因为， 所以，，， 所以双曲线的标准方程为，即 (2) 小问详解： 由（1）知， 因为点是直线上一点，所以， 所以， 所以 ， 所以，当，即时，，为定值. 所以，存在实数使得为定值； (3) 小问详解： 设直线的方程为， 联立方程 得， 因为直线与双曲线相交于、两点， 所以 ，即 ， ，， 所以， 即，整理得，即， 解得或，满足判别式. 当时，即，解得，，即； 当时，即，解得，，即. 所以，当点或时，. 55．【答案】 【分析】 设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解. 【详解】 设，则有， 即，所以. 由题意知， 则. 所以，即. 将代入双曲线方程可得，即. 因为，所以，即. 由可得，所以离心率. 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为： 56．【答案】（1）     （2）证明见解析     （3）      【分析】 （1）由题意可得，把点的坐标代入双曲线方程得，求解即可； （2）设直线的方程为,，，将直线方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系可得，，计算可得，可证结论； （3）设，设切线方程为，代入双曲线方程，由切线可得，设切线PM、PN的斜率为，利用夹角公式可得，可求的取值范围． (1) 小问详解： 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以 又双曲线过点，所以， 所以，所以 ，解得，， 所以双曲线的标准方程为：； (2) 小问详解： 双曲线的右焦点坐标为，其中，即； 设，直线的方程为. 将直线方程代入双曲线方程得， 化简得：，设，， 则，， ，，， ， 所以，，成等差数列； (3) 小问详解： 设，设切线方程为 ，即， 代入双曲线方程得， 所以，整理得， 因为时，直线与双曲线不可能相切， 所以 ， 所以， 所以， 所以，所以， 整理得， 设切线PM、PN的斜率为， 所以 ，所以 ， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以， 所以 的取值范围为. 57．【答案】9 【分析】 由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】 由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程 ，可得 ， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9 58．【答案】（1）     （2）①； ② 由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点.      【分析】 （1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）① 设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；② 表示出直线方程，利用① 的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时， ， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时， ， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由 消去得，， 则， 则由题意 ，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ② 略 59．【答案】（1）     （2）     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，，        故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为| EF| _ =2√3+(1) /(1+1)=√14. (3) 小问详解： 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 60．【答案】（1）；     （2）（i）若为上任意点，显然点、都在的图象上， 所以都是的对称轴，而轴是的两条渐近线， 将的图象顺时针旋转，设旋转后图象上的任意点， 所以旋转前的对应点为，即， 所以，可得， 所以旋转后对应曲线方程为，故反比例函数的图象是双曲线，得证， 双曲线中，则，离心率为，即实轴长为4，离心率为； （ii）.      【分析】 （1）根据题设的坐标转换公式求点Q的坐标； （2）（i）根据的性质知都是的对称轴，而轴是的两条渐近线，将的图象顺时针旋转，设旋转后图象上的任意点，结合转换公式用表示出旋转前的点坐标，代入，即可证，进而写出长轴长和离心率；（ii）根据（i）所得双曲线，将、、都转换到标准双曲线所在直角坐标系中，结合双曲线的定义求距离和的最小值. (1) 小问详解： 由题设，点绕坐标原点O逆时针旋转60°，则 ， 所以； (2) 小问详解： （i）略 （ii）同（i）分析，将旋转成曲线，其中， 则，对应点分别为，， 将代入双曲线方程，有，即在双曲线右侧之外， 显然是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点， 要使最小，在双曲线的右支上，此时， 所以，则，当且仅当共线时取等号， 故最小. 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程； （2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积. (1) 小问详解： 由题意知焦点到渐近线的距离为，则， 因为一条渐近线方程为，所以， 又，解得：，， 所以双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 设直线：，，， 联立 ， 则， 所以，， 由 ， 解得或（舍去），                            所以，， ：，令，得， ， 所以的面积为. 62．【答案】（1）     （2）（i）由题意可知：，， 设，，， 则，，即， 且，， 可得， 又因为，则， 所以，为定值； （ii）设直线的方程为，， 联立方程 ，消去x得， 则， 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 整理可得，解得， 所以直线：过定点．      【分析】 （1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，，利用斜率公式结合双曲线方程分析证明；（ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． (1) 小问详解： 因为，所以，则双曲线， 又因为点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ii）略 63．【答案】 【分析】 根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得.代入双曲线的方程，并由得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点P的坐标，从而得到直线的方程，与双曲线方程联立，可求得，利用中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线的斜率. 【详解】 如图： 由题可知 ， 化简得，即. 因为，所以，所以， 所以双曲线， 设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， 所以点P的坐标满足 ， 解得 ，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 当点在第一象限时， 联立 ，得， 所以 或 ， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为. 直线的斜率为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线 1大高频考点概览 考点01 双曲线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）（多选）若双曲线的方程为，则（       ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为2 【答案】AD 【分析】 根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可. 【详解】 因为双曲线的方程为， 所以，所以， 所以的焦距为，所以A正确； 的渐近线方程为，所以B错误； 的离心率为，所以C错误； 的虚轴长为，所以D正确. 故选：AD. 3．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】 由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 4．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（     ） A. 1 B. 2 C.  D. 3 【答案】C 【分析】 求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】 由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 5．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）（多选）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（     ） A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D. 经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【分析】 根据双曲线的性质即可判断ABD，利用点到直线的距离即可判断C. 【详解】 由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 6．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（   ） A.  B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】 因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）双曲线的实轴长为，焦距为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之差. 【详解】 由知双曲线的焦点在轴上，且. ∴，， 所以，，. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）在双曲线的两条渐近线上各取一点，，线段中点为，且，则双曲线离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 法一：设，得到，求得，联立方程组，求得的值，代入，可得，即，进而求得双曲线的离心率； 法二：设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于，根据题意，得到和，求得，结合，求得，即，进而求得双曲线的离心率. 【详解】 法一：设双曲线的渐近线斜率，则，， 因为线段中点为，可得，且， 又因为，则，解得， 联立方程组 ，解得， 代入，可得，即，所以离心率. 法二：如图所示，设双曲线的渐近线的斜率，且交轴于， 因为，即，可得， 又因为线段中点为，可得， 所以，则， 又由，所以，解得，即， 所以离心率. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·重庆南开中学·期中）已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 又得到，结合双曲线焦点位置求解即可. 【详解】 解：因为双曲线C：的离心率为2， 所以，焦点， 又双曲线的焦点在y轴上， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 10．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用与表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用，表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率． 【详解】 解：由题意得椭圆的离心率， 所以． 所以． 所以双曲线的离心率． 故选：B． 【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 11．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 双曲线的一支 【答案】D 【分析】 根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】 设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 12．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（       ） A. 31 B. 27 C. 3或27 D. 3 【答案】B 【分析】 由双曲线定义结合三角形边长关系计算即可得. 【详解】 由双曲线定义可得， 则，即或， 又，则， 故. 故选：B. 13．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据双曲线的性质，得出，再结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】 设双曲线的方程为，其渐近线为 点在渐近线上，所以， 所以离心率为 故选：D. 14．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）若实数满足，则双曲线与的（     ） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【分析】 由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【详解】 由，得，所以两双曲线的焦点均在轴上， 因为，所以两双曲线的焦距相等，故C正确， 而实轴长前者为8，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故ABD错误， 故选：C． 15．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】 因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】 关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 16．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（       ） A. 3 B. 16+ C. 12+ D. 24 【答案】B 【详解】先由条件求出、、的值，再利用双曲线的定义和性质，求出的周长． 【详解】 由于，，，，． 由双曲线的定义知：① ，② ， 又，①② 得：， ，则的周长为， 故选：B 17．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】 由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 18．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】 由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由 ，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 19．（25-26学年高二上·重庆松树桥中学校·期中）若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 由离心率得到，从而求出渐近线方程，设下焦点为，由点到直线的距离求出，即可求出、，从而得解. 【详解】 因为双曲线的离心率，所以， 又双曲线的渐近线为，即为，即， 设下焦点为，则，解得，所以，则， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 20．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解. 【详解】 因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 21．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为　　 A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案． 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点， 所以， ， 联立、可得：，，， 该双曲线的虚轴长2，故选C． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 22．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）（多选）已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（       ） A. 若，则或9 B. 左焦点到渐近线距离为 C. 若A，B两点分别位于的两支，则 D. 点不可能是线段AB的中点 【答案】BCD 【分析】 对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，两横坐标的一正一负可求得的范围；对于选项D，，假设点是线段AB的中点，结合C选项可得，求解可得，检验可得结论. 【详解】 对于选项A，根据双曲线定义，又， 则，解得或， 但，所以，所以选项A错误. 对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即.， 左焦点，左焦点到渐近线距离，选项B正确. 对于选项C，直线的方程为， 联立 ，消去得， 展开并整理得， 若A，B两点分别位于的两支，则方程有一正根与一负根， 所以 ，解得，故C正确； 对于选项D，设，由C选项可得， 若点是线段AB的中点，则，则， 解得，代入，矛盾. 所以点不可能是线段AB的中点，选项D正确. 故选：BCD. 23．（25-26学年高二上·重庆大足中学·期中）（多选）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（       ） A. 点P的横坐标为 B. 的周长为 C. 大于 D. 的内切圆半径为 【答案】BD 【分析】 对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】 如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 24．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由离心率求得，设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论． 【详解】 由题意，则，即，由圆方程知， 设，，则，， 又 ，两式相减得， 所以， 直线方程为，即． 故选：D． 25．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（     ） A. 3 B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 由离心率为得，求得渐近线方程，再求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程即可得所求值． 【详解】 由题意得 ， 所以，双曲线渐近线方程为， 圆的圆心为半径， 所以圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为解得或（舍去）， 故选：C． 26．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）（多选）已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（     ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABC 【分析】 直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，根据渐近线的斜率判断D. 【详解】 对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：ABC． 27．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【详解】 由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：C． 28．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】 双曲线C：的一条渐近线方程为，即. 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到渐近线的距离为. 所以渐近线被圆截得弦长为. 故选：C 29．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 通过椭圆和双曲线有共同的焦点，就是让它们的相等进而得到的关系，再代入到直线方程即可求出答案. 【详解】 椭圆与双曲线有共同的焦点， 椭圆的焦点在轴上，即，， 直线可化为，即， 令 ，解得 ，直线必过定点. 故选：. 30．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点．若恰好被轴平分，且，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意可得垂直于轴，在中，由，且，即可求出，，再根据，从而求出双曲线的渐近线方程； 【详解】 解：由恰好被轴平分，得垂直于轴， 在中，，， 又，得到， ，即， 得，故渐近线方程为． 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题． 31．（2026·重庆渝北中学·质量监测）（多选）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线右支上，则下列结论正确的是（     ） A. 直线的斜率为，则 B. 使为等腰三角形的点有且仅有2个点 C. 点到两条渐近线的距离积为 D. 已知点，则最小值为7 【答案】ACD 【分析】 对于A：根据渐近线的性质分析判断即可；对于B：分析可知，，结合双曲线的对称性分析判断；对于C：设，根据点到直线的距离公式结合双曲线的方程运算求解；对于D：利用双曲线的定义整理可得，结合图形的性质分析求解即可. 【详解】 由双曲线方程可知，，，且焦点在x轴上， 则，渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的渐近线性质可知：直线的斜率， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，， 若为等腰三角形，显然， 当时，结合对称性可知点有且仅有2个点； 当时，结合对称性可知点有且仅有2个点； 综上所述：点有且仅有4个点，故B错误； 对于选项C：设，则，即， 则点到渐近线、的距离分别为、， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以最小值为7，故D正确； 故选：ACD. 32．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项. 【详解】 双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 33．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】 由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 34．（25-26学年高二上·重庆第八中学校·期中）（多选）已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 分析可知四点共圆，利用圆的几何性质可判断A，设点，利用点到直线的距离公式可判断B；求出的面积，可判断C；利用余弦定理结合基本不等式可判断D. 【详解】 对于A，由题意可知，，则四点共圆， 且为该圆的一条直径，为该圆的一条弦且不可能为直径，故，故A正确； 设点，则，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，故B错误； 对于C，因为双曲线的两条渐近线的斜率分别为，所以双曲线的两渐近线的夹角为， 所以，， 因为，则，因为，则，同理， 所以， 则，故C正确； 对于D，由C选项可知，且， 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 35．（2026·重庆渝北中学·质量监测）若双曲线的离心率为3，则　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解. 【详解】 若焦点在轴上，则，，得， 则，得，满足题意； 若焦点在轴上，则，，无解， 则. 故答案为： 36．（2026·重庆渝北中学校·质量监测）若双曲线的离心率为2，虚轴长为6，则该双曲线的实轴长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据双曲线基本量的关系求解即可. 【详解】 依题意可得 ，解得 ，则 所以该双曲线的实轴长为． 故答案为：. 37．（25-26学年高二上·重庆两江育才中学校·期中）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】 双曲线，则， 又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以， 又，则， 所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 38．（25-26学年高二上·重庆渝东九校·期中）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意求得的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值. 【详解】 由题意可得，设， 由双曲线的定义可得， ， ， 则的周长为， 当且仅当共线，取得最小值，且为， 由题意可得，即， 则. 故答案为：. 39．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设圆上的一点，得到中点坐标为，代入双曲线的渐近线方程，得到，根据直线与圆存在公共点，结合，求得，进而求得离心率的取值范围. 【详解】 由双曲线的右焦点为，则， 又由圆的圆心为，半径为， 设圆上的一点，可得的中点坐标为， 因为双曲线的渐近线方程为，可得，即， 又因为直线与圆存在公共点， 则圆心到直线的距离， 即，可得， 所以，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 40．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为　　　　　　 【答案】 【分析】 利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ① ② 两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 41．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程　　　　　　．①实轴长为；②渐近线方程为. 【答案】（或） 【分析】 对双曲线的焦点位置进行讨论，设出双曲线的标准方程，根据双曲线的几何性质可得出相应参数的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，所以，故， 此时该双曲线的标准方程为； 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，则，故， 此时该双曲线的标准方程为. 故答案为：（或）. 42．（25-26学年高二上·重庆育才中学校·期中）已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. （1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 【答案】（1） 依题意，设，，， 则 ， 两式相减可得，即，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.     （2）      【分析】 （1）设，，利用点差法计算可得； （2）首先求出，由离心率求出，即可求出，从而求出直线的方程，联立直线与圆的方程，求出交点、，代入双曲线方程求出，即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为圆，所以， 所以， 又双曲线的离心率为，即，所以， 则双曲线，又，所以， 因为是圆的一条直径， 所以直线的方程为，即， 由 ，解得 或 ，即，， 又点在双曲线上，所以， 解得， 所以双曲线的方程为. 43．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． (1) 小问详解： 因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； (2) 小问详解： 设直线的方程为，，， 由 化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 44．（25-26学年高二上·重庆凤鸣山中学·期中）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为　　　　　　厘米． 【答案】 【分析】 根据离心率可求出双曲线方程，再将横坐标代入可得纵坐标. 【详解】 依题意知： 又， 又瓶口直径为20厘米，代入双曲线方程得： 高为20厘米 故答案为：20 45．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． (1) 小问详解： ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． (2) 小问详解： 由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由 得， 由题意得 ，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 46．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案. 【详解】 设等轴双曲线方程为，一个焦点是，则，则. 故双曲线的标准方程是. 故答案为：. 47．（25-26学年高二上·重庆青木关中学校·期中）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程和离心率； （2）若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，满足，求证：直线与圆相切． 【答案】（1）方程为：，离心率为2.     （2） 由双曲线的对称性，可设直线的方程为，且. 联立直线与双曲线方程，即 可得， 所以，. 从而. 由，即，解得， 则直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，则直线与圆相切, 所以当时，直线与圆相切. 【分析】 （1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程； （2）先联立方程得出的表达式，进而求得直线的方程为，再判断直线与圆的位置关系即可证明. (1) 小问详解： 解：该双曲线的渐近线为，即，设焦点为， 因为双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为 所以 解得 所以双曲线的方程为,离心率为. (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义及勾股定理，利用椭圆和双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】 设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图所示，        由椭圆和双曲线定义与对称性知，，， ， ，则， ，即， 于是有，则， 故答案为：. 49．（25-26学年高二上·重庆长寿中学校·期中）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件，列出关于，，的齐次式，从而求双曲线的离心率. 【详解】 如图：    因为轴，且在双曲线上，所以， 又，所以为中点. 因为最大，所以经过，两点的圆与相切于，此时点坐标为， 圆心， 由 . 故答案为： 50．（25-26学年高二上·重庆第一中学校·期中）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. （1）若，求的坐标； （2）证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】（1）；     （2） 过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ① ， ② ， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列．     （3） 要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到 两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③ ， 同理可得④ ， 由第（2）问的① ② 可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④ 式可化为⑤ ， 由③ ⑤ 两式得到：. 故，所以为定值. 【分析】 （1）根据渐近线方程和所过定点即可求出双曲线方程，再联立直线即可求出答案； （2）写出直线方程，将其与双曲线方程联立得到，从而得到，再根据等比数列的定义即可证明； （3）转化为证明，利用点差法得，结合合比性质得，同理得，再根据（2）中结论即可证明. (1) 小问详解： ∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 51．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义，可求得，又根据中垂线的性质，可得，进而可求得，代入所求代数式，结合双曲线离心率的性质和不等式，即可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为， 根据椭圆定义，可得① ， 根据双曲线定义，可得，又，所以② ， 联立① ② ，可求得， 又线段的中垂线过，所以， 所以，所以，即，所以， 所以， 又根据双曲线的性质，可得，所以，所以， 即， 所以的取值范围是. 故答案为： 52．（25-26学年高二上·重庆七校联盟·期中）已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【答案】（1）     （2），其中或．      【分析】 （1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）法一：设出直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可； 法二：利用点差法进行求解即可. (1) 小问详解： 双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； (2) 小问详解： （法一）易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设、、， 联立直线与双曲线的方程，得 ，消去， 得， 由且，得且． 由韦达定理，得， 所以， 由 消去，得． 由且，得或， 所以，点的轨迹方程为，其中或． （法二）设，中点，则：， 因为在双曲线，故 ， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 53．（25-26学年高二上·重庆求精中学校·期中）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2. （1）求双曲线C的方程； （2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M， （i）求的值； （ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：. 【答案】（1）     （2）（i）1； （ii）过M平行于OA的直线方程为， 直线OB方程为与联立， 得， 即， 则， 所以， 由，两式相除得， ，则， 所以 ， 因为，所以， 故P为线段MQ的中点，所以.      【分析】 （1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得本题答案； （2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，，把逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把和的直线方程分别求出，联立可得到点的坐标，由此即可得到本题答案. (1) 小问详解： 因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2， 所以，又，得， 又因为，所以， 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： （2）设AB直线方程为，则， 代入双曲线方程整理得：， 设，则， ， （i） 而 ， 所以，，则， 所以 ； （ii）略 【点睛】 关键点点睛：本题第二小题第一问考了如何用表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力 54．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点. （1）求双曲线的标准方程. （2）是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由. （3）若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得. 【答案】（1）；     （2）存在实数使得为定值；     （3）或.      【分析】 （1）根据题意得 ，再结合解方程即可得答案； （2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值； （3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标. (1) 小问详解： 由题知，双曲线的焦点在轴上， 故焦点为，渐近线方程为 因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为， 所以 ，又因为， 所以，，， 所以双曲线的标准方程为，即 (2) 小问详解： 由（1）知， 因为点是直线上一点，所以， 所以， 所以 ， 所以，当，即时，，为定值. 所以，存在实数使得为定值； (3) 小问详解： 设直线的方程为， 联立方程 得， 因为直线与双曲线相交于、两点， 所以 ，即 ， ，， 所以， 即，整理得，即， 解得或，满足判别式. 当时，即，解得，，即； 当时，即，解得，，即. 所以，当点或时，. 55．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学校·期中）已知双曲线 的左右顶点分别为，双曲线在第一象限内存在一点，使得直线 的斜率，满足，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　　 【答案】 【分析】 设.利用过两点的斜率公式，及点在双曲线上，变形化简，得到，将其代入双曲线方程得到，再根据及离心率公式计算即可得解. 【详解】 设，则有， 即，所以. 由题意知， 则. 所以，即. 将代入双曲线方程可得，即. 因为，所以，即. 由可得，所以离心率. 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为： 56．（25-26学年高二上·重庆巴蜀中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； （3）若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）证明见解析     （3）      【分析】 （1）由题意可得，把点的坐标代入双曲线方程得，求解即可； （2）设直线的方程为,，，将直线方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系可得，，计算可得，可证结论； （3）设，设切线方程为，代入双曲线方程，由切线可得，设切线PM、PN的斜率为，利用夹角公式可得，可求的取值范围． (1) 小问详解： 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以 又双曲线过点，所以， 所以，所以 ，解得，， 所以双曲线的标准方程为：； (2) 小问详解： 双曲线的右焦点坐标为，其中，即； 设，直线的方程为. 将直线方程代入双曲线方程得， 化简得：，设，， 则，， ，，， ， 所以，，成等差数列； (3) 小问详解： 设，设切线方程为 ，即， 代入双曲线方程得， 所以，整理得， 因为时，直线与双曲线不可能相切， 所以 ， 所以， 所以， 所以，所以， 整理得， 设切线PM、PN的斜率为， 所以 ，所以 ， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以， 所以 的取值范围为. 57．（25-26学年高二上·重庆渝高中学校·期中）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为　　　　　　. 【答案】9 【分析】 由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】 由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程 ，可得 ， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9 58．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1）     （2）①； ② 由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点.      【分析】 （1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）① 设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；② 表示出直线方程，利用① 的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时， ， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时， ， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由 消去得，， 则， 则由题意 ，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ② 略 59．（25-26学年高二上·重庆部分·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，，        故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为| EF| _ =2√3+(1) /(1+1)=√14. (3) 小问详解： 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 60．（25-26学年高二上·重庆第十一中学校·期中）已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式 . （1）将点绕坐标原点O逆时针旋转60°得到点Q，求点Q的坐标； （2）已知反比例函数，点和点， （ⅰ）请证明反比例函数的图象是双曲线，并求该双曲线的实轴长和离心率： （ⅱ）若点M是反比例函数的图象上任意一点，求的最小值. 【答案】（1）；     （2）（i）若为上任意点，显然点、都在的图象上， 所以都是的对称轴，而轴是的两条渐近线， 将的图象顺时针旋转，设旋转后图象上的任意点， 所以旋转前的对应点为，即， 所以，可得， 所以旋转后对应曲线方程为，故反比例函数的图象是双曲线，得证， 双曲线中，则，离心率为，即实轴长为4，离心率为； （ii）.      【分析】 （1）根据题设的坐标转换公式求点Q的坐标； （2）（i）根据的性质知都是的对称轴，而轴是的两条渐近线，将的图象顺时针旋转，设旋转后图象上的任意点，结合转换公式用表示出旋转前的点坐标，代入，即可证，进而写出长轴长和离心率；（ii）根据（i）所得双曲线，将、、都转换到标准双曲线所在直角坐标系中，结合双曲线的定义求距离和的最小值. (1) 小问详解： 由题设，点绕坐标原点O逆时针旋转60°，则 ， 所以； (2) 小问详解： （i）略 （ii）同（i）分析，将旋转成曲线，其中， 则，对应点分别为，， 将代入双曲线方程，有，即在双曲线右侧之外， 显然是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点， 要使最小，在双曲线的右支上，此时， 所以，则，当且仅当共线时取等号， 故最小. 61．（25-26学年高二上·重庆第十八中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的标准方程. （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程； （2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积. (1) 小问详解： 由题意知焦点到渐近线的距离为，则， 因为一条渐近线方程为，所以， 又，解得：，， 所以双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 设直线：，，， 联立 ， 则， 所以，， 由 ， 解得或（舍去），                            所以，， ：，令，得， ， 所以的面积为. 62．（2026·重庆渝北中学·质量监测）已知是双曲线的左、右顶点，，点在上． （1）求的方程； （2）是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 【答案】（1）     （2）（i）由题意可知：，， 设，，， 则，，即， 且，， 可得， 又因为，则， 所以，为定值； （ii）设直线的方程为，， 联立方程 ，消去x得， 则， 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 整理可得，解得， 所以直线：过定点．      【分析】 （1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，，利用斜率公式结合双曲线方程分析证明；（ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． (1) 小问详解： 因为，所以，则双曲线， 又因为点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ii）略 63．（25-26学年高二上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得.代入双曲线的方程，并由得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点P的坐标，从而得到直线的方程，与双曲线方程联立，可求得，利用中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线的斜率. 【详解】 如图： 由题可知 ， 化简得，即. 因为，所以，所以， 所以双曲线， 设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， 所以点P的坐标满足 ， 解得 ，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 当点在第一象限时， 联立 ，得， 所以 或 ， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为. 直线的斜率为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $