3.2.1双曲线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 双曲线 双曲线及其标准方程 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 课时练习（分层梯度题型精练） 一、单项选择题 .（中等题型） 双曲线 的焦距为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（中等题型） 已知双曲线 的焦点分别为 、，点 在双曲线的下支上，且 ，则 的值为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ，则 的标准方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（　） A． 或 　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（高考题型··新课标Ⅱ卷·） 已知双曲线 ：（，）过点 和 ，则双曲线 的标准方程是（　） A．　 B． C．　　 D． .（高考题型··全国甲卷·理 ） 已知双曲线的两个焦点分别为 、，点 在该双曲线上，则该双曲线的标准方程为（　） A．　 　 B． C．　　 D． .（创新题型） 已知定点 ，定圆 ：，动点 满足：到点 的距离与到圆 上任意一点的距离的最小值相等，则动点 的轨迹是（　） A．一个圆　　 B．双曲线 的右支 C．双曲线 （两支）　　 D．一个椭圆 二、多项选择题 .（高考题型·同源考法） 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、，则下列说法正确的是（　） A． 的焦点坐标为 B． 的实轴长为 C．若 ，则 或 D．双曲线 与椭圆 的焦点相同 .（高考题型·同源考法） 已知 、，动点 满足 ，则下列说法正确的是（　） A． 的轨迹方程为 B． 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线 C． 的轨迹方程为 （其中 ） D．若动点 满足 ，则 的轨迹为两条射线 三、填空题 .（中等题型） 双曲线 的焦点坐标为 。 .（提高题型） 已知双曲线 （，）经过点 ，且焦距为 ，则该双曲线的标准方程为 。 四、解答题 .（中等题型） 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （）焦点在 轴上，一个焦点为 ，且 ； （）两个焦点分别为 、，双曲线上一点 满足 。 .（中等题型） 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、，点 在 的右支上，且 ，求 的周长。 .（高考题型·同源考法，仿 ·全国甲卷·理 考法） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在 的右支上，且 ，。 （）求 的标准方程； （）求点 的横坐标。 .（高考题型·同源考法） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，，点 在 的右支上，满足 ，且 。 （）求 的标准方程； （）求 的面积。 .（创新题型） 某发电厂的双曲线型冷却塔，其轴截面（过旋转轴的截面）轮廓是双曲线的一部分。以双曲线的中心为坐标原点、旋转轴为 轴建立平面直角坐标系。已知冷却塔最细处（喉部）的水平圆半径为 m，塔口（位于喉部上方 m 处）的水平圆半径为 m。 （）求轴截面轮廓所在双曲线的方程； （）求喉部下方 m 处冷却塔的水平圆半径（精确到 m）。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 双曲线 双曲线及其标准方程 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 课时练习（分层梯度题型精练） 一、单项选择题 .（中等题型） 双曲线 的焦距为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】，，故 ，，焦距 。 注意双曲线中 （与椭圆相反）。 故选：A .（中等题型） 已知双曲线 的焦点分别为 、，点 在双曲线的下支上，且 ，则 的值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】，，。点 在下支，靠近焦点 一侧， 故 ， 得， 。 故选：B .（提高题型） 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ，则 的标准方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】椭圆 中 ，焦点 ， 故双曲线中 。设 ，则 ，由 过点 ： 整理得 ，即 ，解得 或 。由 舍去 ， 故 ，， 的标准方程为 。 故选：A .（提高题型） 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（　） A． 或 　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】方程表示双曲线等价于 项与 项系数异号，即 与 异号，得 ， 解得 或 。 故选：A .（提高题型） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】，，故 。 由 及勾股定理：。 又 ，展开得 ， 代入得 ，故 。 面积为 。 故选：A .（高考题型··新课标Ⅱ卷·） 已知双曲线 ：（，）过点 和 ，则双曲线 的标准方程是（　） A．　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】点 恰为双曲线右顶点，代入得 。将点 代入：，解得 。 所以双曲线 的标准方程是。 故选：B .（高考题型··全国甲卷·理 ） 已知双曲线的两个焦点分别为 、，点 在该双曲线上，则该双曲线的标准方程为（　） A．　 　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】设 、、， 则 ，，。 由双曲线定义 ，。 故 。 又因为双曲线的焦点在 轴上， 所以双曲线的标准方程为。 故选：C .（创新题型） 已知定点 ，定圆 ：，动点 满足：到点 的距离与到圆 上任意一点的距离的最小值相等，则动点 的轨迹是（　） A．一个圆　　 B．双曲线 的右支 C．双曲线 （两支）　　 D．一个椭圆 【答案】B 【解析】设圆 的圆心为 ，半径 。 由 在圆外且 ，可判断动点 必在圆外 （若 在圆内，则 ，而此时到圆的最短距离 ，矛盾）。 故「到圆上点的最短距离」为 ，条件化为 即 。这是 的一侧情形，， 且 ，故 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线中靠近 的一支（右支）， 其中 ，，，方程为 （）。 故选 B。 二、多项选择题 .（高考题型·同源考法） 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、，则下列说法正确的是（　） A． 的焦点坐标为 B． 的实轴长为 C．若 ，则 或 D．双曲线 与椭圆 的焦点相同 【答案】ABCD 【解析】，，。 A 正确：焦点 ；B 正确：实轴长 ； C 正确：由双曲线定义 , 因为 ， 所以，所以|=2或10 D 正确：椭圆 中 ，焦点也是 。 故选：ABcD .（高考题型·同源考法） 已知 、，动点 满足 ，则下列说法正确的是（　） A． 的轨迹方程为 B． 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线 C． 的轨迹方程为 （其中 ） D．若动点 满足 ，则 的轨迹为两条射线 【答案】ABC 【解析】，，故轨迹是双曲线，，，。 A 正确：符合双曲线的定义，方程 ； B 正确：轨迹是以 、 为焦点的双曲线； C 正确：其轨迹方程为 （）； D 错误：，属于退化情形，轨迹是以 为端点、沿 方向的一条射线，而不是两条射线（若条件为「差的绝对值等于 」才是两条射线）。 故选：ABC 三、填空题 .（中等题型） 双曲线 的焦点坐标为 。 【答案】 【解析】 化为 ，故 ，，，， 焦点在 轴上，坐标为 。 .（提高题型） 已知双曲线 （，）经过点 ，且焦距为 ，则该双曲线的标准方程为 。 【答案】 【解析】由焦距 得 ，故 。设 ，，由过点 ： 整理得 ，即 ，解得 或 。由 舍去 ，故 ，，标准方程为 。 四、解答题 .（中等题型） 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （）焦点在 轴上，一个焦点为 ，且 ； （）两个焦点分别为 、，双曲线上一点 满足 。 【解析】（）由焦点在 轴上，设方程为 （，）。 由一个焦点为 得 ；由 得 。 故所求方程为 。 （）由 （不加绝对值）知点 在右支上， 且 ，；由 、 得 ，故 。 所求方程为 。 .（中等题型） 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、，点 在 的右支上，且 ，求 的周长。 【解析】 由方程得 ，，，，，。 点 在右支上，故 ，得 。 检验：，成立。 故 的周长为 。 .（高考题型·同源考法，仿 ·全国甲卷·理 考法） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在 的右支上，且 ，。 （）求 的标准方程； （）求点 的横坐标。 【解析】（）由 ，，得 。又 在右支上，故 由焦点 、 得 ，故 。 故 的标准方程为 。 （）设 。由两点间距离：，，两式相减： 故 （检验 ，成立）。 .（高考题型·同源考法） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，，点 在 的右支上，满足 ，且 。 （）求 的标准方程； （）求 的面积。 【解析】（）由 （ 在右支，不加绝对值）得 ，； 由 得 ，故 。 故 的标准方程为 。 （）在直角三角形 中，由勾股定理： 又 ，代入得 故 的面积为 （检验：联立 与 解得 ，， 且 ，点 存在，条件相容。） .（创新题型） 某发电厂的双曲线型冷却塔，其轴截面（过旋转轴的截面）轮廓是双曲线的一部分。以双曲线的中心为坐标原点、旋转轴为 轴建立平面直角坐标系。已知冷却塔最细处（喉部）的水平圆半径为 m，塔口（位于喉部上方 m 处）的水平圆半径为 m。 （）求轴截面轮廓所在双曲线的方程； （）求喉部下方 m 处冷却塔的水平圆半径（精确到 m）。 【解析】（）由轴截面轮廓关于旋转轴对称、喉部为双曲线两顶点所在位置，设双曲线方程为 其中 轴过喉部中心（水平方向）， 轴为旋转轴。 由喉部水平圆半径为 m，得顶点 ，故 。 由塔口位于喉部上方 m 处、半径为 m，得点 在双曲线上，代入： 解得 ，故 。 故轴截面轮廓所在双曲线的方程为 。 （）喉部下方 m 处对应 ，代入方程： 解得 ，（负值舍去，半径为正）。 故该处冷却塔的水平圆半径约为 m。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $