3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 【基础巩固】 一、单选题 1．设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于（      ） A．10 B．8 C．5 D．4 2．平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 3．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（    ） A． B． C．1 D．或1 4．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 6．已知曲线：，则（    ） A．若，则是圆 B．若，则是椭圆 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条射线 三、填空题 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 8．已知，两点，则满足的动点的轨迹方程为_____________. 四、解答题 9．求适合下列条件的双曲线标准方程： （1）与双曲线共焦点，经过点； （2）经过点和； 10．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程. 【能力提升】 11．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 12．如图，已知双曲线中，半焦距，，为左、右焦点，为双曲线上的点，，，求双曲线的标准方程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 1．A 【详解】根据双曲线的定义且P在第一象限，所以|PF1|−|PF2|=2a=10 故选：A 2．D 【详解】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D 3．D 【详解】因为双曲线的焦点在横轴上， 所以由题意可得：， 故选：D 4．B 【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或， 则为或的充分不必要条件， 故选：B. 5．AC 【详解】由可得，所以，得，A正确，B错误， 当为上顶点时，此时的最小值为．C正确，D错误， 故选：AC 6．ABC 【详解】A选项，当时，，表示圆，A选项正确； B选项，当时， ， 方程表示焦点在轴上的椭圆，B选项正确； C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确； D选项，当，时，， 表示两条直线，D选项错误． 故选：ABC． 7． 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 8． 【详解】由于，是两个定点，则满足, 因此动点的轨迹是的延长线上,且点在轴上点的右侧（包含B），故其方程为， 故答案为： 9．（1）；（2）. 【详解】（1）∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即.① ∵双曲线经过点，∴.② 由①②得，， 双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的方程为 ∵点P，Q在双曲线上， ∴，解得. ∴双曲线的标准方程为. 10． 【详解】椭圆 ∴ a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9 且 椭圆焦点在y轴上 ∴ 双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8 即 a＝3，b＝4，c＝5 ∵ 焦点在y轴上 ∴ 双曲线方程为： 11．9 【详解】由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 12． 【详解】解：由题意得，在中，由余弦定理得 ， ∴． ∴． ∴，， 由，，得． ∴双曲线的标准方程为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $