第3章 03 3.2 双曲线 01 3.2.1 双曲线及其标准方程 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 1.C　[解析] 由-=1,可得a=4,b=3,∴c==5,故双曲线-=1的焦点坐标是(±5,0).故选C. 2.D　[解析] 因为|F1F2|=2+8=10,所以|PF1|-|PF2|=|F1F2|,所以点P的轨迹是一条射线.故选D. 3.-=1　[解析] 根据|-|=4,可得点(x,y)到点F1(-,0),F2(,0)的距离之差的绝对值为4,又4<2,所以由双曲线的定义知,点(x,y)的轨迹是以F1(-,0),F2(,0)为焦点的双曲线,且2a=4,所以a=2,c=,所以b2=c2-a2=2,其方程为-=1. 4.A　[解析] 由于方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则解得k<1,故选A. 5.C　[解析] 椭圆+=1的长轴的两个端点为(5,0),(-5,0),焦点为(4,0),(-4,0),所以双曲线的焦点坐标为(5,0),(-5,0),顶点坐标为(4,0),(-4,0),则双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为-=1.故选C. 6.解:(1)由已知得c=6,且双曲线的焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8, 则a=4,b2=c2-a2=62-42=20, 所以所求双曲线的标准方程是-=1. (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. 因为点M,N在双曲线上,所以解得 故双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线的方程为-=1(-4<λ<16), 因为双曲线过点(3,2), 所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去), 所以双曲线的标准方程为-=1. 7.B　[解析] 设双曲线的焦距为2c,由题意得2c=8,即c=4,又c2=a2+b2=a2+12=16,所以a2=4,即a=2.由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4,即|5-|MF2||=4,解得|MF2|=1或|MF2|=9,又|MF1|+|MF2|>|F1F2|,即5+|MF2|>8,所以|MF2|>3,所以|MF2|=9.故选B. 8.-=1　[解析] 因为(|PF1|-|PF2|)2=(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1|·|PF2|=16,所以||PF1|-|PF2||=4=2a,所以a=2.因为点在双曲线上,所以-=1,解得b2=5,故双曲线的标准方程为-=1. 9.解:(1)不妨设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6, 即|MF2|-16=±6,解得|MF2|=10或|MF2|=22. (2)由-=1,可知a=3,b=4,则c=5. 在△PF1F2中,|PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|∙|PF2|cos 60° , 即102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|∙|PF2|,所以|PF1|∙|PF2|=64, 所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16. 10.A　[解析] 由题可得2a=4,由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=4,因为|AF2|+|BF2|=|AB|=2,所以|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|+2|AB|=4+4+4=12,所以△ABF1的周长为12.故选A. 11.B　[解析] 由题意可知,爆炸点到点A的距离比到点B的距离少340×2=680(m),又|AB|=800>680,由双曲线的定义可知,爆炸点为双曲线的左支,其中2a=680,2c=800,则b2=c2-a2=4002-3402=44 400,又a2=3402=115 600,所以爆炸点所在曲线的方程为-=1(x<0).故选B. 12.B　[解析] 连接BF1,由题设知|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10.在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AF2=,则cos∠F1AF2==,所以=,则x=3,故|AF1|=8,则|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B. 13.BC　[解析] 对于A,由α∈,得sin α∈(0,1),cos α∈(0,1),则曲线C不可能为直线,故A错误;对于B,当sin α≠cos α,即α≠时,曲线C是椭圆,故B正确;对于C,当α=时,sin α=cos α=,此时曲线C:x2+y2=,则曲线C可能是圆,故C正确;对于D,假设曲线C为双曲线,则sin α·cos α<0,而sin α∈(0,1),cos α∈(0,1),所以不等式无解,所以曲线C不可能是双曲线,故D错误.故选BC. 14.(-∞,-3)∪(3,+∞)　[解析] 设A(m,n)(m>0,n>0), 由题意及对称性不妨得B(-m,n),C(-m,-n),D(m,-n), 因为四边形ABCD是正方形, 所以|AB|=|AD|,即2m=2n,所以m=n. 因为点A在双曲线-=1(a≠0)上,所以-=1(a≠0), 关于m的方程-=1(a≠0)需在(3,+∞)上有解, 易知a2≠9,所以当m∈(3,+∞)时,m2=有解, 因为m>3,所以>9,解得a>3或a<-3, 所以实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞). 15.　[解析] 由题可得a=,|AF1|=|F1F2|=2c,c>a=,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a=2,∴|AF2|=2c-2.∵tan∠AF1F2=,∴∠AF1F2∈,=,又sin2∠AF1F2+cos2∠AF1F2=1,∴+ cos2∠AF1F2=1,∴cos∠AF1F2=.在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF1F2== =,解得c=2或c=(舍去),∴b===. 16.解:(1)若曲线C:-=1表示双曲线, 则(3+m)(1-m)>0,解得-3<m<1, 故m的取值范围是-3<m<1. (2)当m=0时,曲线C:-y2=1为双曲线, 设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1, 因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0, 可得s=, 所以点P的横坐标为. 17.8　[解析] 圆(x+5)2+y2=的圆心为F1(-5,0),半径r1=,圆(x-5)2+y2=的圆心为F2(5,0),半径r2=.在双曲线-=1中,a=3,b=4,则c=5,则F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,如图,易知|PM|max=|PF2|+r2,|PN|min=|PF1|-r1,所以(|PM|-|PN|)max=|PF2|+r2-(|PF1|-r1)=2a+r1+r2=8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 考点一　双曲线定义与轨迹方程 1.双曲线-=1的焦点坐标是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(±,0) B.(0,±) C.(±5,0) D.(0,±5) 2.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是 (　 ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 3.方程=4的化简结果为　　　　　.  考点二　双曲线的标准方程 4.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 (　 ) A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 5.以椭圆+=1的长轴的两个端点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 6.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为(0,-6),(0,6),且过点A(-5,6); (2)经过点M,N,且焦点在坐标轴上; (3)与双曲线-=1有相同的焦点,且过点(3,2). 考点三　双曲线定义的应用 7.[2026·四川绵阳中学高二期中] 已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为8,M是双曲线上一点,且|MF1|=5,则|MF2|= (　 ) A.1或9 B.9 C.1 D.10 8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,动点P与点在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,则该双曲线的标准方程为　　　　　　.  9.已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离为16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若点P是双曲线上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 10.已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若|AB|=2,则△ABF1的周长为 (　 ) A.12 B.14 C.10 D.8 11.[2026·江苏淮阴中学高二期中] 已知A(-400,0),B(400,0),一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处早2 s,设声速为340 m/s,则爆炸点所在曲线的方程为 (　 ) A.-=1(x>0) B.-=1(x<0) C.-=1(x>0) D.+=1 12.双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C的左支上一点,直线AF2与C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|= (　 ) A. B.26 C.25 D.23 13.(多选题)已知α∈,下列关于曲线C:x2sin α+y2cos α=1的说法正确的是 (　 ) A.曲线C可能是直线 B.曲线C可能是椭圆 C.曲线C可能是圆 D.曲线C可能是双曲线 14.已知双曲线-=1(a≠0)上存在四个点A,B,C,D,使四边形ABCD是正方形,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  15.已知双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C的右支上,且满足|AF1|=|F1F2|,tan∠AF1F2=,则b=　　　　.  16.已知曲线C:-=1(m≠-3且m≠1). (1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围; (2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标. 17.已知P是双曲线-=1上的一点,M,N分别是圆(x-5)2+y2=和圆(x+5)2+y2=上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $