3.2.2 双曲线的简单几何性质 分层梯度练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 双曲线 　双曲线的简单几何性质 人教A版（）选择性必修第一册　第三章　圆锥曲线的方程 课时练习（分层梯度题型精练）【解析】 一、单选题（每题5分） 1.（中等）双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B　 【解析】，，焦点在轴上，渐近线为， 故选B。 2.（中等）双曲线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B　 【解析】正项为，故焦点在轴上，，，，，焦点为， 故选B。 3.（提高）若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A　 【解析】由得，即，故渐近线为，选A。 此时双曲线为等轴双曲线。 4.（提高）若双曲线的离心率为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A　 【解析】由方程知焦点在轴上，，，。 由得，此时满足条件， 故选A。 5.（提高）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D　 【解析】椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线的标准方程为，则，解得. 所以双曲线的标准方程为. 故选D。 6.（高考题型）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点，则该双曲线的虚轴长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B　 【解析】由得；代入点得， 故，，，虚轴长为， 故选B。 7.（高考题型）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A　 【解析】，由定义，又， 故，， 故选A。 8.（创新题型）设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝(　　) A． B． C．2 D． 【答案】A　 【解析】易知c2＝252，则c＝5，|F1F2|＝2c＝10． 因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2． 因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 则(|PF2|＋2)2＋|PF2|2＝1002，解得|PF2|＝6(负值舍去)， 所以|PF1|＝8，故tan∠PF2F1＝＝． 故选A． 二、多选题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9.（高考题型）已知双曲线，则下列说法正确的是（　　） A．实轴长为 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】AB　 【解析】，，。实轴长，A正确； 焦距，B正确； 离心率，C错误； 渐近线为，D错误。 故选AB。 10.（高考题型）已知双曲线（，）的离心率为，则下列结论正确的是（　　） A．恒成立 B．若，则两条渐近线互相垂直 C． D．越大，双曲线的开口越小 【答案】ABC　 【解析】因为，故恒成立，A正确； 当时，即，渐近线为，斜率之积为，两渐近线垂直，B正确；由得C正确； 越大，越大，开口越开阔，D错误。 故选ABC。 11．设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则(　　) A．b＝2 B．C的焦距为2 C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4 【答案】ACD　 【解析】设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t，离心率e＝＝，选项C正确． 因此 ＝，b＝2，选项A正确． |F1F2|＝2＝2，选项B错误． △ABF1的面积为|F1F2|＝4，选项D正确． 故选ACD． 三、填空题（每题5分） 12.（中等）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 【答案】4. 【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得， 又，故，解得（舍去），， 故焦距. 13.（提高）已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________． 【答案】20　5 【解析】由题意，知2c＝10，所以c＝5，所以k＋5＝25，所以k＝20． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝4　①．在△F1PF2中， 由余弦定理，知m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝100　②． 由①②及cos∠F1PF2＝得mn＝30． 又sin∠F1PF2＝＝， 所以S＝mnsin∠F1PF2＝5． 四、解答题（共52分） 13.（中等，分）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率与渐近线方程。 【解析】两边同除以，得， 故，，，，焦点在轴上。 顶点为，焦点为，实轴长，虚轴长，离心率，渐近线为。 14.（中等，分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，求该双曲线的标准方程与离心率。 【解析】渐近线即。 若焦点在轴上，设，代入得，无解， 故焦点在轴上。 由设，方程为， 代入得，，。 标准方程为； 又，，离心率。 15.（高考题型，分）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点。 （）求的方程； （）求过的右焦点且垂直于轴的弦长。 【解析】（）由得，故设。 代入点：，得，， 故的方程为。 （），右焦点为。令代入方程得， 即，，故所求弦长为（即通径长）。 16. （创新题型，分）已知双曲线与直线。 （1） 判断直线与的交点个数，并说明理由； （）是否存在实数，使与的右支有两个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 【解析】由得，把代入并整理： （）其判别式恒成立， 故直线与双曲线总有两个交点。 （）由韦达定理，，说明两个交点的横坐标异号， 即一个在左支上、一个在右支上。 因此不论取何值，直线都不可能与右支有两个交点，这样的不存在。 【方法提示】本题的关键在于这一符号判断：它一次性地说明了"交点分居两支"。 另外，直线斜率为，与渐近线斜率不同，所以不会出现"只有一个交点"的相切或平行情形。 17.（高考题型，分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且 (其中为原点)，求的取值范围． 【解析】（1）设双曲线的方程为，则，， 再由，得.故的方程为. （2）将代入，得. 由直线与双曲线交于不同的两点，得 所以且.① 设，，则，. 所以 . 又因为，得，所以，即， 解得，② 由①②得. 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 双曲线 　双曲线的简单几何性质 人教A版（）选择性必修第一册　第三章　圆锥曲线的方程 课时练习（分层梯度题型精练） 一、单选题（每题5分） 1.（中等）双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 2.（中等）双曲线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 3.（提高）若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4.（提高）若双曲线的离心率为，则的值为（　　） A． B． C． D． 5.（提高）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为(　　) A. B. C. D. 6.（高考题型）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点，则该双曲线的虚轴长为（　　） A． B． C． D． 7.（高考题型）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则等于（　　） A． B． C． D． 8.（创新题型）设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝(　　) A． B． C．2 D． 二、多选题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分） 9.（高考题型）已知双曲线，则下列说法正确的是（　　） A．实轴长为 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 10.（高考题型）已知双曲线（，）的离心率为，则下列结论正确的是（　　） A．恒成立 B．若，则两条渐近线互相垂直 C． D．越大，双曲线的开口越小 11．设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则(　　) A．b＝2 B．C的焦距为2 C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4 三、填空题（每题5分） 12.（中等）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 13.（提高）已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________． 四、解答题（共52分） 13.（中等，分）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率与渐近线方程。 14.（中等，分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，求该双曲线的标准方程与离心率。 15.（高考题型，分）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点。 （）求的方程； （）求过的右焦点且垂直于轴的弦长。 16.（创新题型，分）已知双曲线与直线。 （1） 判断直线与的交点个数，并说明理由； （）是否存在实数，使与的右支有两个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 17.（高考题型，分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且 (其中为原点)，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $