3.2.2双曲线的简单几何性质（分层作业，20大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 3.2.2双曲线的简单几何性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求双曲线的焦点坐标 题型02 求双曲线的焦距 题型03 双曲线中x、y的取值范围 题型04 双曲线的对称性 题型05 求双曲线的顶点坐标 题型06 求双曲线的实轴、虚轴 题型07 等轴双曲线 题型08 已知方程求双曲线的渐近线 题型09 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 B组 能力进阶 题型01 求共焦点的双曲线方程 题型02 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型03 判断点和双曲线的位置关系 题型04 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 题型05 根据顶点或实虚轴关系求参数 题型06 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型07 求共渐近线的双曲线的标准方程 题型08 根据离心率求双曲线的标准方程 题型09 由双曲线的离心率求参数的取值范围 C组 思维拔高 题型01 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 题型02 新定义问题 求双曲线的焦点坐标题型01 1．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，所以， 且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 3．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 4．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则， 故， 又，故， 又，故当时，取得最小值，且其没有最大值， 故的最小值为，无最大值. 故选：D 5．已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，过作与，易得，，设，结合双曲线的定义分别求出对应边，在和中，由勾股定理得和之间的关系，即可求解. 【详解】 设双曲线的右焦点为，连接，过作与，则， 因为，， 所以， 因为，所以，即为线段的中点， 因为为的中点，所以， 所以，， 设， 则，， ， 所以， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， 所以， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，所以. 故选：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法： （1）直接法：直接求出，，求解； （2）变用公式，整体求出； （3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出，，的关系； （4）构造，的齐次式，解出. 求双曲线的焦距题型02 1．（25-26高二上·广西河池·联考）双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程知，求得，即可得解. 【详解】因为，则，所以， 所以双曲线的焦距为. 故选：C. 2．（25-26高二上·河南驻马店·联考）双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知双曲线方程写出渐近线方程，依题意求得，即可求出焦距. 【详解】由易得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为， 依题意，，解得，故双曲线的焦距为. 故选：D. 3．（25-26高二上·重庆·月考）若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【详解】由，得，所以两双曲线的焦点均在轴上， 因为，所以两双曲线的焦距相等，故C正确， 而实轴长前者为8，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故ABD错误， 故选：C． 4．若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得. 【详解】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】B 【分析】根据双曲线定义结合条件得，根据的面积解得，结合为钝角，得出，根据余弦定理解得，进而得到焦距. 【详解】根据双曲线定义，， 又因为，可得， 因为的面积为， 所以， 解得 因为为钝角，所以， 由 根据余弦定理得， 即有，解得 因此双曲线的焦距为. 故选：B. 双曲线中x、y的取值范围题型03 1．已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两点间的距离公式表示，根据点M在双曲线上化简变形，即可得到所求范围. 【详解】因为，所以，所以，又，消去得，，所以. 【点睛】本题考查双曲线的应用，考查两点间距离公式，考查化简变形的能力和运算能力，属于基础题. 2．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 3．（2026·山东·模拟）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 4．（24-25高二上·河南·期末）设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由，所以点在以为直径的圆上可得， 联立曲线方程，解出交点坐标关系，代入得，由正整数条件找出解的个数即可. 【详解】由题意，曲线的方程分别为、， 故，且，且，且. 联立方程组解得 由且，得， 又因为，所以点在以为直径的圆上，故， 所以， 解得，所以有序数对可以为： ，共6个． 故选：D． 5．（24-25高二上·安徽·联考）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，根据平面向量的坐标运算以及数量积的坐标运算，结合在双曲线上，可得，利用列不等式求解即可. 【详解】设，则 所以，又因为， 所以① 又② ②代入①得，， 整理得，因为， 所以， 化简可得， 即的离心率的最小值为， 故答案为：. 双曲线的对称性题型04 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据点到直线距离公式计算，即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即， 因为点在轴上，结合对称性，点到双曲线的两条渐近线距离相等， 取其中一条渐近线， 则点到直线的距离． 故选：D 2．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解. 【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形， 设，则，，， 在中，，解得或m＝0（舍去）， 从而有，中，，整理得，， 所以双曲线E的离心率为． 故选：B 3．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_______. 【答案】 【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上求解. 【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上， 又双曲线的图象关于原点对称, 所以点， 在双曲线上， 所以， 解得， 所以其渐近线方程为：. 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线的对称性的应用以及渐近线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】## 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 5．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为_____. 【答案】## 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【详解】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合双曲线对称性确定出正三角形是求解问题的关键. 求双曲线的顶点坐标题型05 1．（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 2．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出，，即可得顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由双曲线：可知：，， 所以顶点坐标为，渐近线方程为，即， 所以顶点到其渐近线的距离等于， 故选：C. 3．（25-26高二·浙江绍兴·期末）已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】## 【分析】根据顶点坐标以及可直接计算出离心率. 【详解】由题意知，因为，则， 则双曲线离心率为, 故答案为： 4．（24-25高二上·江西·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________． 【答案】4 【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案. 【详解】易知双曲线的右顶点坐标为， 且双曲线绕点逆时针旋转得曲线， 又曲线的其中一个顶点坐标为，所以， 解得． 故答案为：4 5．已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】 【分析】设，设，由题意可得，再根据进一步求出关系式，进而可求得的关系式，再根据点在双曲线上得出的关系，即可得解. 【详解】由题意，设， ，则， 则设， 故， 因为以为直径的圆交直线于点，所以，即， 所以，所以， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 即， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以， 所以离心率.    故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 求双曲线的实轴、虚轴题型06 1．（25-26高二·贵州·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程求出，即可求出虚轴长. 【详解】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 2．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得，由焦距可得c，根据关系，即可得出b，虚轴长为得解. 【详解】由双曲线方程得，焦距长，得， 根据关系，，所以，. 故选：D. 3．（24-25高二下·湖北·联考）、是双曲线的上、下焦点，过的直线与的上、下两支分别交于、两点．若，，又，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，在直角中，利用锐角三角函数的定义可求出，利用勾股定理可求得，利用双曲线的定义可得出关于的等式，解出的值，进而利用双曲线的定义可求得该双曲线的实轴长. 【详解】如下图所示： 因为，，则， 因为，则，故， 由双曲线的定义可得， 即，解得， 因此，该双曲线的实轴长为. 故选：B. 4．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据对称性易得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，故， 而，，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积，可得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是由，得， 又，则，解得， 故的虚轴长为． 故选：D． 5．已知椭圆：与双曲线有相同的左，右顶点A，B，过点A的直线l交于点P，交于点Q．若为等边三角形，则双曲线的虚轴长为______． 【答案】 【分析】设出坐标，结合椭圆和双曲线的性质表示出和，再由图形关系得到，用正切展开式整理出关于的一元二次方程，解出再验证即可. 【详解】由题意，得，． 设双曲线的方程为，，则， 所以． 同理，得．如图，设，则，，．      由，得．整理，得， 解得或．． 当时，（舍去）； 当时，，所以（负值已舍去），所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用图形关系和斜率关系得到. 等轴双曲线题型07 1．若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】渐近线互相垂直说明为等轴双曲线，可知离心率为. 【详解】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即： 离心率 本题正确选项： 【点睛】本题考查等轴双曲线的离心率，关键是通过渐近线互相垂直判断出双曲线的性质. 2．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 3．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解. 【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 4．过点的等轴双曲线的方程为________________. 【答案】 【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为，， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值． 【详解】设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 在三角形中，， 由余弦定理可得，， 即有，可得，即为， 由双曲线为等轴双曲线，所以，可得. 故答案为：． 已知方程求双曲线的渐近线题型08 1．已知双曲线，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可． 【详解】由于双曲线为，所以其渐近线方程为. 故选：C. 2．若双曲线，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】通过离心率，求得关系，确定渐近线方程，再由点到线距离公式即可求解. 【详解】设的焦距为，则，又， 得，所以， 故渐近线方程为， 所以点到C的一条渐近线的距离为． 3．已知双曲线的左右焦点记为，且，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，即可得方程. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性不妨令与平行的渐近线为， 直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，B，C， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 4．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 【答案】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，写出的值，从而求出渐近线的方程得到斜率，再解关于的方程即可求解. 【详解】因为曲线为双曲线，所以， 将双曲线方程化为标准形式为，所以，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，所以，解得. 故答案为：. 5．（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知双曲线的顶点为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易求得的值，即得双曲线标准方程； （2）利用点到直线的距离公式求得，利用直角三角形求得，将其代入三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）因为双曲线的顶点为，且过点， 所以，且，解得. 故双曲线的标准方程为. （2） 如图，由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 求双曲线的离心率或离心率的取值范围题型09 1．（25-26高二上·北京·期末）若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求，再求离心率和渐近线方程. 【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴上，其中，，， 所以离心率，渐近线方程. 故选：D 2．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据渐近线方程，即可求得之间关系，将其转化为关系，即可求得. 【详解】因为渐近线方程为 故，故可得：. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题. 3．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线l的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率. 【详解】设，，直线l的方程为，其中， 联立得． ∴，， 由，得，即， ∴，即， ∴，整理得， ∴离心率． 故选：C． 4．双曲线的两个焦点为，若存在一点，且，则双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设P点的横坐标为x，根据|PF1|=2|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围． 【详解】∵,P在双曲线右支(x⩾a) 根据双曲线的第二定义,可得， ∴ex=3a ∵x⩾a，∴ex⩾ea ∴3a⩾ea，∴e⩽3 ∵e>1，∴1<e⩽3 故答案为：. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 5．已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； （2）设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 求共焦点的双曲线方程题型01 1．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：， 双曲线过点，则：，整理可得：， 结合可得：，则双曲线方程为：. 本题选择A选项. 2．（24-25高二上·广东惠州·月考）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. （2）由题意先求出双曲线的焦点坐标即求出，然后根据双曲线的定义求出，由平方关系即可求出，从而得解. 【详解】（1）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 若双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）由题意椭圆的半焦距， 所以满足题意的双曲线的焦点坐标为， 所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 而双曲线上的点在第二象限， 所以由双曲线的定义有 ， 解得，又，所以， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 4．（25-26高二上·广西桂林·质检）经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设出与双曲线共焦点的双曲线方程，将点代入即可求出答案； （2）分焦点在轴和轴两种情况设出椭圆的标准方程，将点代入，再根据离心率的公式建立方程，求解即可. 【详解】（1）设双曲线C的标准方程为（）， 将点的坐标代入方程，解得或（舍去）， ∴双曲线的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为； 若椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 则，所以，， 即椭圆方程为； 故所求椭圆的标准方程为或. 5．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 (1)求出双曲线的方程，并写出它的离心率； (2)证明 (3)如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 【答案】(1) (2) 设，则 所以, ， (3) 【分析】(1)根据共焦点求解，求出离心率; (2)在双曲线中利用余弦定理和三角函数公式求解; (3)在椭圆中利用余弦定理和三角函数公式求解. 【详解】（1）由双曲线与椭圆共焦点，则，故, 双曲线， 离心率 （2）略 （3）设，则 所以， . 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值题型02 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 2．点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案. 【详解】由题知：设，，则， 由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，    则 ，当时，等号成立， 故， 故答案为:. 3．（25-26高二上·上海·月考）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设出所在直线方程，讨论直线斜率存在与不存在的情况，分析即可求出的取值范围. 【详解】设所在直线斜率存在时直线方程为，与双曲线右支交于两点，， 将直线代入得：， ， 直线与右支交于不同两点，则且， 由韦达定理： 又 代入韦达定理： 则 ， 所以， 化简得：， 又双曲线渐近线方程为，直线与双曲线右支存在两个交点时需满足， 故，. 斜率不存在时，设直线， 与右支交于两点，其中，此时： 所以当关于轴对称时，数量积正好等于， 综上的取值范围是. 故答案为： 4．已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可; （2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可. 【详解】（1）    设点的坐标为， 则， 因为，所以当时，取得最小值. （2）由双曲线的定义知①, 由余弦定理得②, 根据①②可得，所以. 5．已知双曲线：，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 判断点和双曲线的位置关系题型03 1．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点、、，根据这三点与双曲线以及渐近线的位置关系比较、、与、的大小关系，由此可得出结论. 【详解】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用点与双曲线及其渐近线的位置关系比较代数式的大小关系，解题的关键在于根据点与渐近线、双曲线的位置关系寻找中间值来比较. 2．函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 【答案】D 【分析】令，求得，由点A在双曲线上，得到，然后由“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】令，解得， 所以， 因为点A在双曲线上， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以m-n的最大值为4 故选：D 3．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 【答案】 【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案. 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点， 设，则， 所以，解得， 所以，即, 故答案为：. 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程题型04 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 2．已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果. 【详解】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 4．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，上顶点为B，双曲线E：（，）的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足（），，则双曲线E离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的顶点坐标，得双曲线的值，同时可得，，，利用余弦定理计算出，这样可计算出点坐标，代入双曲线方程求得，由计算出后可得离心率． 【详解】由椭圆方程可知，左顶点，右顶点，上顶点，由双曲线E的左顶点与椭圆的左顶点重合，得，.在中，，易知，，由余弦定理得，得，易知，所以.设点P的坐标为，则，得，解得，代入双曲线E的标准方程，得，得，从而，，所以双曲线E的离心率， 故选：D. 【点睛】本题考查求椭圆的顶点坐标，考查双曲线的离心率，解题关键是由知共线，从而求得点坐标，本题属于中档题． 5．（25-26高二上·四川内江·月考）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 根据顶点或实虚轴关系求参数题型05 1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由方程表示双曲线知， 又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以，即， 所以 故选C. 考点：双曲线的标准方程与简单几何性质. 2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得的自豪. 【详解】由题意有，解得． 故选：A 3．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴为，虚轴为，直线与直线相交于点.若，则的离心率等于（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过构造平行线，由对应线段成比例，解得，可得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，，则， 连接，由双曲线的对称性，可得， ，得，故双曲线的离心率． 故选：A． 4．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件先求出点的坐标，再借助直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，， 双曲线的方程为，，，解得， 双曲线的方程为，， ，为直线的斜率， 当直线与半圆相切时，最小， 此时设直线的方程为，即，， 解得或（舍去），. 故选：A. 5．已知双曲线的一个顶点为，且渐近线方程为，则实数____________，___________． 【答案】 1 ##-0.25 【分析】根据双曲线的一个顶点为，代入求得m，再根据其渐近线方程为求解. 【详解】解：因为方程表示双曲线， 所以， 因为双曲线的一个顶点为， 所以，则， 又因为其渐近线方程为， 所以，解得， 故答案为：1， 根据双曲线的渐近线求标准方程题型06 1．若双曲线的一条渐近线为，则实数（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线的方程列式，由此求得的值. 【详解】∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为，又因为一条渐近线方程为，所以，解得. 故选:C. 【点睛】本小题主要考查根据双曲线的渐近线方程求参数，属于基础题. 2．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】由题可得双曲线渐近线方程为，再由直线斜率为-1可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，因为的两条渐近线相互垂直， 所以.，又，则. 故选：B. 3．有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再将已知点代入计算作答. 【详解】依题意，双曲线的渐近线方程为，设所求双曲线的方程为， 因此，即有， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：B 4．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A．1或5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由双曲线的方程、渐近线的方程可得，∴a=2．由双曲线的定义可得||PF2|-3|=2 a=4，∴|PF2|=7，故选 C． 5．（25-26高三上·安徽合肥·月考）双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线性质及两条渐近线的夹角为，分类求解即可． 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为， 点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为， 点在直线的上方， 此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 求共渐近线的双曲线的标准方程题型07 1．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入求解即可. 【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为， ∵所求双曲线过点， ∴代入， 得，即， ∴与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是， 即. 故选：A. 2．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为，结合焦点的位置可得，可得其标准方程为：，由双曲线的几何性质可得，解可得的值，代入双曲线的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，要求双曲线与有相同的渐近线，可以设其方程为：， 又由其焦点为，则其焦点在轴上且，必有， 故其标准方程为：， 则有， 解可得； 故要求双曲线的标准方程为：； 故选： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是掌握渐近线相同的双曲线方程的设法，属于中档题． 3．（25-26高二上·适应性考试）以直线为渐近线的双曲线的标准方程可以是___________.（只需写出一个满足条件的方程） 【答案】（答案不唯一，形如均可） 【分析】由相同渐近线的双曲线系方程即可求解. 【详解】若双曲线的渐近线方程为， 则该双曲线的方程可设为， 在这里不妨取即可满足题意. 故答案为：（答案不唯一，形如均可） 4．若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】根据的渐近线方程，求得，进而求得的离心率即可. 【详解】曲线，其渐近线方程为：； 曲线，其焦点在轴上，渐近线方程为，故， 故的离心率为. 故答案为：. 5．（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程. （2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆定义求得，再由求得，得椭圆方程； （2）设双曲线的方程为（且），由焦点坐标求得，得双曲线方程． 【详解】解：（1）设椭圆C的标准方程为 则 又 椭圆C的标准方程为 （2）设双曲线的方程为（且）， 因为焦点为，因此， 则 所求双曲线的方程为 根据离心率求双曲线的标准方程题型08 1．已知双曲线的离心率为2，焦点是,则双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点坐标可假设双曲线的方程和，通过离心率求得，即可得到答案 【详解】解：因为双曲线的焦点为，所以设双曲线的方程为且， 因为双曲线的离心率为2，即，所以，， 所以双曲线的方程为 故选：A 2．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】解方程可得出的离心率，对曲线的形状进行分类讨论，结合离心率公式求出的值，即可得出结论. 【详解】解方程可得或，所以，或. ①若，则曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得； ②若，则曲线为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则且，解得； 若椭圆的焦点在轴上，则且，解得. 综上所述，满足条件的的值有个. 故选：C. 3．若双曲线的离心率为，则实数__________． 【答案】2 【详解】，. 4．若双曲线的离心率为，则a=_________. 【答案】4 【详解】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值. 详解：在双曲线中，，且 点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系. 5．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的离心率及的关系求解； (2)根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，，所以． 设双曲线方程为． 因为，所以． 所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知双曲线的渐近线方程为，即. 由双曲线的离心率求参数的取值范围题型09 1．双曲线的离心率为2，则    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用双曲线的离心率定义及参数的关系列方程求解的值. 【详解】由题干可得：，， 又 ，代入已知条件得 ，整理得，即， 结合的条件，解得. 2．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题，，解得. 故选：D. 3．已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出再根据(点为坐标原点)的面积为2，即得，解不等式即得解. 【详解】解：取双曲线的渐近线为，即的方程为， 直线的方程为， 联立，解得 ，即， 又 解得 的取值范围为 故选：D. 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（由已知得到关于的方程，解方程即得解）.要根据已知条件选择合适的方法求解. 4．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出的范围，进而可得出答案. 【详解】解：设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为， 则， 双曲线的半实轴长为，则， 又双曲线的离心率的取值范围为， 所以，所以， 所以，即该椭圆的焦距的取值范围是. 故选：B. 5．（25-26高二上·重庆·月考）若双曲线的离心率为3，则___________ 【答案】 【分析】分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解. 【详解】若焦点在轴上，则，，得， 则，得，满足题意； 若焦点在轴上，则，，无解， 则. 故答案为： 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程题型01 1．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的离心率，得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 2．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 3．已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线离心率与渐近线的斜率得到关于的关系式，从而得解. 【详解】因为双曲线， 所以，则， 又，所以，则渐近线方程为． 故选：A. 4．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得，利用双曲线的定义以及可求得，，再利用余弦定理可得出的值，由此可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，， ，， ，可得，，所以，， 由已知可得，解得， 由余弦定理可得， 即，则，即，， 因此，双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路： （1）转化已知条件，得到、、中任意两个量的等量关系； （2）若得到、的等量关系，则渐近线方程可得；若已知、或、之间的等量关系，结合可求得的值，则渐近线方程可求. 5．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由题意列出含的方程组，解出的关系式，进而求出双曲线的渐近线即可. 【详解】 设 ，由双曲线的定义知 ， 在 中，由余弦定理得：， 所以 ， 再由，为的中点，延长至，使， 所以四边形为平行四边形，且， 在中，由余弦定理知：， 在中，由余弦定理知：， 因为，则， 可知， 所以 ③， 由得，   把代入得， 化简得 ， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由四点共圆的四边形四个边的平方和等于两条对角线的平方和是解决本题的关键. 新定义问题题型02 1．我们初中时通常把反比例函数的图象叫做双曲线，它的图象就是我们在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同．我们只需把反比例函数的图象绕着原点顺时针旋转，便得到焦点在x轴的双曲线的图形．所以我们也可以理解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线为实轴的等轴双曲线，那么该双曲线的焦距为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据对称性求得函数与的交点坐标为和，进而求得，从而求得焦距. 【详解】函数的图象关于对称，且以x轴和y轴为渐近线． 易得函数与的交点坐标为和．它们与原点的距离为． 反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后，得到的双曲线的焦点在x轴上，且以和为渐近线，顶点坐标为和， 所以，所以该双曲线的焦距为：． 故选：C． 2．函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得双曲线夹角为，再结合二倍角的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为直线和直线的夹角为， 由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为， 所以， 则，解得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 3．如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图2，已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心．直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线性质，化归转化思想，即可求解． 【详解】解：因为是的一个旁心，所以平分，所以, 又平分，所以,所以， 即，所以, 所以，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：D 4．具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的渐近线方程是______，若双曲线还经过点，则双曲线的离心率为_____． 【答案】 【解析】求得的渐近线方程得解；待定系数法设设双曲线方程为把已知点代入得解. 【详解】的渐近线方程为解得 双曲线有共同的渐近线，所以双曲线的渐近线方程是 设双曲线方程为，点代入得 解得，所以双曲线方程为，离心率 故答案为：； 【点睛】有共同的渐近线的双曲线可设为为可简化运算. 5．阅读下列两则材料： 材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点． 材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为． ①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为． ②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，． 完成下列填空： 已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为______． 【答案】## 【分析】根据材料1得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标. 【详解】直线和轴是双曲线的两条渐近线， 由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线. 由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得， 解得：或，所以双曲线的位于第一象限的顶点为. 若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率 ， 设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以，所以，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为. 故答案为： 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.2双曲线的简单几何性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求双曲线的焦点坐标 题型02 求双曲线的焦距 题型03 双曲线中x、y的取值范围 题型04 双曲线的对称性 题型05 求双曲线的顶点坐标 题型06 求双曲线的实轴、虚轴 题型07 等轴双曲线 题型08 已知方程求双曲线的渐近线 题型09 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 B组 能力进阶 题型01 求共焦点的双曲线方程 题型02 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型03 判断点和双曲线的位置关系 题型04 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 题型05 根据顶点或实虚轴关系求参数 题型06 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型07 求共渐近线的双曲线的标准方程 题型08 根据离心率求双曲线的标准方程 题型09 由双曲线的离心率求参数的取值范围 C组 思维拔高 题型01 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 题型02 新定义问题 求双曲线的焦点坐标题型01 1．双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 4．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 5．已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 求双曲线的焦距题型02 1．（25-26高二上·广西河池·联考）双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 2．（25-26高二上·河南驻马店·联考）双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·月考）若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 4．若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（   ） A． B． C．7 D．14 双曲线中x、y的取值范围题型03 1．已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是 A． B． C． D． 2．已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·模拟）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高二上·河南·期末）设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高二上·安徽·联考）已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 双曲线的对称性题型04 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_______. 4．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 5．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为_____. 求双曲线的顶点坐标题型05 1．（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高二·浙江绍兴·期末）已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 4．（24-25高二上·江西·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________． 5．已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是__________. 求双曲线的实轴、虚轴题型06 1．（25-26高二·贵州·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 2．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二下·湖北·联考）、是双曲线的上、下焦点，过的直线与的上、下两支分别交于、两点．若，，又，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（   ） A．2 B． C．4 D． 5．已知椭圆：与双曲线有相同的左，右顶点A，B，过点A的直线l交于点P，交于点Q．若为等边三角形，则双曲线的虚轴长为______． 等轴双曲线题型07 1．若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A． B．1 C． D．2 2．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 4．过点的等轴双曲线的方程为________________. 5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______． 已知方程求双曲线的渐近线题型08 1．已知双曲线，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线，）的离心率为3，则点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 3．已知双曲线的左右焦点记为，且，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 5．（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知双曲线的顶点为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积. 求双曲线的离心率或离心率的取值范围题型09 1．（25-26高二上·北京·期末）若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的两个焦点为，若存在一点，且，则双曲线离心率的取值范围为 ． 5．已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 求共焦点的双曲线方程题型01 1．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东惠州·月考）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 4．（25-26高二上·广西桂林·质检）经过点且与双曲线：有公共焦点，求双曲线C的标准方程； （2）椭圆过点，且离心率，求所有满足条件的椭圆的标准方程. 5．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知双曲线的一个焦点与椭圆的右焦点重合，点为双曲线上的动点，和为双曲线的左右两个焦点 (1)求出双曲线的方程，并写出它的离心率； (2)证明 (3)如果点是椭圆上的动点，则又怎么用表示呢？（直接写出结论即可） 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值题型02 1．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为____________. 3．（25-26高二上·上海·月考）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是______. 4．已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 5．已知双曲线：，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 判断点和双曲线的位置关系题型03 1．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ） A．6 B．-2 C．1 D．4 3．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程题型04 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 2．已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，上顶点为B，双曲线E：（，）的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足（），，则双曲线E离心率为 A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川内江·月考）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 根据顶点或实虚轴关系求参数题型05 1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是 A． B． C． D． 2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴为，虚轴为，直线与直线相交于点.若，则的离心率等于（    ） A．5 B．3 C． D． 4．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一个顶点为，且渐近线方程为，则实数____________，___________． 根据双曲线的渐近线求标准方程题型06 1．若双曲线的一条渐近线为，则实数（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（    ） A． B． C．4 D．2 3．有一条渐近线为且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A．1或5 B．6 C．7 D．9 5．（25-26高三上·安徽合肥·月考）双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 求共渐近线的双曲线的标准方程题型07 1．与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 2．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·适应性考试）以直线为渐近线的双曲线的标准方程可以是___________.（只需写出一个满足条件的方程） 4．若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为__________． 5．（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程. （2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程. 根据离心率求双曲线的标准方程题型08 1．已知双曲线的离心率为2，焦点是,则双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．若双曲线的离心率为，则实数__________． 4．若双曲线的离心率为，则a=_________. 5．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程． 由双曲线的离心率求参数的取值范围题型09 1．双曲线的离心率为2，则    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·月考）若双曲线的离心率为3，则___________ 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程题型01 1．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 2．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 5．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 新定义问题题型02 1．我们初中时通常把反比例函数的图象叫做双曲线，它的图象就是我们在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同．我们只需把反比例函数的图象绕着原点顺时针旋转，便得到焦点在x轴的双曲线的图形．所以我们也可以理解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线为实轴的等轴双曲线，那么该双曲线的焦距为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图2，已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心．直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的渐近线方程是______，若双曲线还经过点，则双曲线的离心率为_____． 5．阅读下列两则材料： 材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点． 材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为． ①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为． ②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，． 完成下列填空： 已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $