第3章 03 3.2 双曲线 02 3.2.2 02 第2课时 直线与双曲线的位置关系及其应用 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

第2课时　直线与双曲线的位置关系及其应用 考点一　直线与双曲线位置关系的判断 1.已知双曲线的方程为x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则符合条件的l共有 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 2.已知直线l:y=2x-8,双曲线C:-y2=1,则 (　 ) A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点 B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点 C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点 D.直线l与双曲线C的左、右两支各有一个公共点 3.过双曲线x2-y2=1的右焦点F2作直线l与双曲线的两支都相交,则直线l的倾斜角的取值范围为 (　 ) A. B.∪ C. D.∪ 4.若直线y=kx+1与双曲线4x2-y2=16只有一个交点,则实数k的值为　　　　.  考点二　 弦长问题 5.已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,且与直线2x+y=0交于A,B两点,若|AB|=2,则双曲线C的方程为 (　 ) A.y2-x2=25 B.y2-x2=16 C.y2-x2=9 D.y2-x2=6 6.[2026·湖南新高考教研联盟高二月考] 已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点,若△F2AB的面积是△F1AB的面积的2倍,则m= (　 ) A.-6 B.-或-6 C. D.或6 7.若直线y=x-4与双曲线-=1相交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  考点三　中点弦问题 8.已知直线l与双曲线x2-=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为 (　 ) A.3 B.6 C.8 D.12 9.若双曲线x2-y2=1的弦AB被点(2,1)平分,则直线AB的方程为　　　　　　.   10.已知P为双曲线-=1上的一个动点,过原点的直线l交双曲线于A,B两点,其中A(3,),则·的最小值为 (　 ) A.-6 B.-9 C.-12 D.-15 11.[2026·莆田二中高二月考] 设α为钝角,若直线x-2y-2=0与曲线C:+=1只有一个公共点,则C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知双曲线C:-=1的左、右顶点分别为A,B,且P是C上任意一点,则下列说法正确的是 (　 ) A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.若直线y=kx与双曲线C有交点,则|k|≥ C.点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为 D.当点P与A,B两点不重合时,直线PA,PB的斜率之积为2 13.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P在第一象限,且直线PF2与双曲线的一条渐近线平行,则△PF1F2的面积为　　　　.  14.如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点(点A位于第二象限),M为BF的中点,直线OM为双曲线C的一条渐近线,且|BF|=3|AF|,则直线OM的方程为　　　　.  15.[2026·四川绵阳中学高二月考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1的渐近线相同,且经过点(2,3). (1)求双曲线C的方程; (2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l的斜率存在且经过点F2,直线l与双曲线C交于A,B两点,且=6,求|AB|. 16.[2026·蚌埠二中高二月考] 已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A,B为双曲线C上的两点,若=3,且以F1F2为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为　　　　.  17.[2026·学军中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点M(3,),且右焦点为F(2,0). (1)求双曲线C的方程; (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,交y轴于点P,若=m,=n,求证:m+n为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与双曲线的位置关系及其应用 1.B　[解析] 因为双曲线的方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线也满足题意,所以符合条件的l共有3条.故选B. 2.C　[解析] 由解得或则直线l与双曲线C的右支有两个公共点.故选C. 3.D　[解析] 因为双曲线的方程为x2-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,又过双曲线x2-y2=1的右焦点F2作直线l与双曲线两支都相交,所以直线l的斜率的取值范围为(-1,1),所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.故选D. 4.±2或±　[解析] 易知双曲线4x2-y2=16,即-=1的渐近线方程为y=±2x,直线y=kx+1过定点(0,1).当直线与渐近线平行时,满足题意,此时k=±2;当直线与渐近线不平行时,由得(4-k2)x2-2kx-17=0,所以Δ=(2k)2+4×17(4-k2)=0,解得k=±.综上可得,实数k的值为±2或±. 5.C　[解析] 由题意可设双曲线C的方程为y2-x2=m,m>0,由得3x2=m,则x=±,m>0,不妨令xA=,则yA=-2,由|AB|=2可知|OA|=(O为坐标原点),即=,解得m=9,故双曲线C的方程为y2-x2=9.故选C. 6.D　[解析] 由可得2x2-2mx-m2-3=0,则Δ=4m2+8(m2+3)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB交x轴于点M(-m,0),则====2,解得m=或6.故选D. 7.2　[解析] 由消去y并整理得2x2-24x+57=0,Δ=242-4×2×57=120>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=,所以|AB|=×=×=2. 8.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为M(3,2),所以x1+x2=6,y1+y2=4.由得(x1+x2)(x1-x2)-=0,整理得·=4,则=4×=4×=6,所以kAB=6.故选B. 9.2x-y-3=0　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(-)-(-)=0,即(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为弦AB被点(2,1)平分,所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以kAB==2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 10.B　[解析] 设P(x0,y0),则-=1,即=6+,又直线l过原点,且双曲线关于坐标原点对称,所以B(-3,-),所以=(3-x0,-y0),(-3-x0,--y0),所以·=-9+-6=-9,又y0∈R,所以·=-9的最小值为-9.故选B. 11.A　[解析] 因为α为钝角,所以cos α<0,1+cos α>0,所以曲线C表示焦点在x轴上的双曲线,且a2=1+cos α,b2=-cos α,则c2=a2+b2=1,所以焦点坐标为(±1,0).又直线x-2y-2=0过点(2,0),且点(2,0)在双曲线内部,所以当直线与双曲线C只有一个公共点时,该直线必与一条渐近线平行,所以=,所以C的离心率e==. 12.AC　[解析] 设P(x,y),由-=1,得x2-2y2=8.由题知a=2,b=2.对于A,双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,故A正确;对于B,由双曲线的渐近线方程为y=±x可知,若直线y=kx与双曲线C有交点,则|k|<,故B错误;对于C,点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为×==,故C正确;对于D,易得A(-2,0),B(2,0),所以直线PA,PB的斜率之积为×===,故D错误.故选AC. 13.　[解析] 双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),渐近线方程为y=±x,因为直线PF2与双曲线的一条渐近线平行,所以直线PF2的方程为y=±(x-2),与双曲线方程联立,消去x得-=1,解得y=±,所以△PF1F2的面积为×4×=. 14.y=x　[解析] 如图,设双曲线C的右焦点为F'(c,0),连接AF',BF'. 因为O,M分别是AB,BF的中点,所以OM∥AF. 又直线OM是双曲线C的一条渐近线,所以tan∠AFO=,所以cos∠AFO=. 由双曲线的对称性,得|BF|=|AF'|. 由|BF|=3|AF|,得|AF'|=3|AF|,又|AF'|-|AF|=2a,所以|AF'|=3a,|AF|=a. 在△FAF'中,由余弦定理得9a2=a2+4c2-2a×2c×,整理得3a2=c2, 所以3a2=a2+b2,所以=,所以直线OM的方程为y=x. 15.解:(1)因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x, 所以双曲线C的渐近线的斜率为±,即=,则b=a, 所以双曲线C:-=1,将(2,3)代入得-=1,解得a2=1, 所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)由(1)得a=1,b=,c=2,焦点F1(-2,0),F2(2,0), 设直线l的方程为y=k(x-2),由得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. 因为=·|F1F2|·|y1-y2|=6,且|F1F2|=4,所以|y1-y2|=3, 又|y1-y2|=|k|·|x1-x2|,其中|x1-x2|=,所以|k|·=3, 整理得k4+8k2-9=0,解得k2=1,故|AB|=·|x1-x2|=×=6. 16.　[解析] 设F1(-c,0),F2(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-c,y2),=(x1+c,y1). 因为=3,所以即 因为A,B在双曲线C上,所以则=-8,所以x1=-. 因为以F1F2为直径的圆x2+y2=c2过点A,所以+=c2, 由可得=(c2+b2)=(2c2-a2),所以=(2c2-a2), 可得2e4-7e2+5=0,解得e2=或e2=1(舍去),所以e=. 17.解:(1)依题意知,双曲线C的左焦点为F'(-2,0),由双曲线的定义知, 双曲线C的实轴长2a=||MF'|-|MF||=|-|=2, 所以a=,则b2=22-a2=1, 所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)证明:由(1)知,双曲线C的渐近线方程为y=±x. 因为过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,交y轴于点P, 所以直线l的斜率k存在,且|k|>. 设直线l的方程为x=ty+2,t=,0<|t|<, 由消去x并整理得(3-t2)y2-4ty-1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=, 又P,所以=,=(2-x1,-y1). 因为=m,所以y1+=-my1,即m=-1-,同理n=-1-, 所以m+n=-2-=-2-·=-2-·=6,所以m+n为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $