精品解析：河南新乡市卫辉市第一中学2026-2027学年高一上学期11月月考数学试题

高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，若，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 0或 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的最大值与最小值的和为1，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 关于函数有下述四个结论： ①为上的奇函数； ②在定义域内是单调增函数； ③的图象关于点对称； ④关于的不等式的解集为. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知Dirichlet函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上为减函数 D. 方程有且仅有5个实数根 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_____________． 13. 已知幂函数在上单调递减，则___________. 14. 已知，方程有4个实数解，则的取值范围是__________. 15. 求值： （1）； （2）； （3），求的值. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）当时，求的最小值； （2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 17. 已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若实数m满足，求m的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值． 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点. （1）求函数的次不动点； （2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，若，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【详解】，又， ，解得或， 时，的元素为，符合题意； 时，的元素为，不符合集合的互异性，故（舍去）； 综上，的值为． 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式求得函数奇偶性，以及即可容易求得结果. 【详解】因为的定义域为，且，故为偶函数， 排除C，D，验算特值，排除A, 故选：B 【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 3. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，的两根分别为，由韦达定理得， 代入不等式得，因式分解得，解得， 解集为. 4. 函数在上的最大值与最小值的和为1，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得，利用对数函数单调性得，即可利用中间值法比较大小. 【详解】， ， ， . 故选：B. 6. 已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7. 关于函数有下述四个结论： ①为上的奇函数； ②在定义域内是单调增函数； ③的图象关于点对称； ④关于的不等式的解集为. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可判断①③；当当时,单调递增,所以单调递增,进而利用对称性判断③；整理不等式为,设,可知为奇函数,即求不等式,进而根据单调性求解即可判断④. 【详解】①,即关于对称,所以①不正确,③正确； ②当时,单调递增,所以单调递增,因为关于对称,所以在是单调递增,所以②正确； ④因为,所以, 设,因为关于对称,所以关于原点对称,即为奇函数, 所以, 因为单调递增,所以单调递增,所以,解得,所以④正确； 故②③④正确, 故选:C 【点睛】本题考查函数奇偶性、对称性、单调性的判断,考查利用函数单调性解不等式. 8. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增，又因为， 所以，， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知Dirichlet函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可． 【详解】解：由是无理数知， 又是有理数时，， 是无理数时，， 所以对，都有， 故为偶函数， 故正确． 的值域为，C错； 当时，，， 故D错． 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可. 【详解】解：对于A，因为，， 则，即，故A正确； 对于B：因为，则，于是有，故B正确； 对于C，时，取，则，即不成立，故C不正确； 对于D，因为，，则，当且仅当，且，即时，取等号．故D正确． 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上为减函数 D. 方程有且仅有5个实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可求判断A；由已知可得，进而可求判断B；作出函数图象可判断C；在同一坐标系下作出的图象，可判断D. 【详解】令，由，可得， 所以，故A正确； 由，所以，所以是的一个周期， 所以，故B正确； 当，，由， 可得， 作出图象如图所示： 可知在上为增函数，故C错误； 由方程，可得与的交点个数，又， 结合与的图象，可知两函数有且只有5个交点， 所以方程有且仅有5个实数根，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：方程根的个数，零点个数问题，常常转化为两函数图象的交点个数问题处理. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】定义在上的奇函数满足：当时，， 则. 13. 已知幂函数在上单调递减，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论． 【详解】由题意，解得或， 若，则函数为，在上递增，不合题意． 若，则函数为，满足题意． 故答案为：． 14. 已知，方程有4个实数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】转化成曲线和直线图像的交点问题即可. 【详解】 画出的图像，找到与直线的交点边界，如图所示； 曲线和直线有四个交点即可，由图像可知的取值范围是， 故答案为： 15. 求值： （1）； （2）； （3），求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据根式与指数分数幂的互化及指数幂的运算化简求值即可； （2）根据对数运算性质和换底公式化简求值即可； （3）结合完全平方和公式，利用指数幂的运算化简求值即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 【小问3详解】 因为，所以， 所以（负根舍去）， 由，则， 所以. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）当时，求的最小值； （2）当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出b、c，再利用单调性求最小值； （2）用分离参数法，只需求出的最小值即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，解得， 所以，令，，则， 所以函数在上单调递增，所以，所以的最小值为． （2）由（1）可知，，因为当时，函数的图象恒在直线的上方， 所以当时，恒成立，即当时，恒成立． 令，易知函数在上的最小值为， 所以，故实数的取值范围为． 【点睛】（1）单调性法求最值是求值域最常用的方法； （2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决. 17. 已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若实数m满足，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 在递增，证明见解析；(3) . 【解析】 【分析】(1)根据奇函数定义域关于原点对称且求解即可. (2)设,且再计算的正负即可判断单调性. (3)根据奇函数将化简成,再根据函数的单调性求解,同时注意定义域即可. 【详解】（1）是奇函数,,得, 定义域关于原点对称,故. （2）在递增 证明：设,且 则 ,又 ,即 在递增； （3）由题意可得 等价于,得. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性单调性的定义判断方法,同时也考查了奇偶性与单调性求解抽象函数的表达式等.属于中等题型. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，得到，通过二次函数即可求解； （2）令，转换成对于恒成立，再通过参变分离，求最值即可求解. 【小问1详解】 因为， 令，则， 函数转化为， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为. 【小问2详解】 由于对于恒成立， 令，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，时，显然成立； 所以当时，恒成立. 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则时，， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点. （1）求函数的次不动点； （2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的次不动点定义建立方程，求解即得； （2）因函数各有一个不动点和一个次不动点，故相当于对应的两个方程各有一个解，将两个方程利用参变分离法转化成求解对应函数的值域问题，最后求交即得. 【小问1详解】 设函数的次不动点为，则，即，将等式两边平方整理得：或，均符合题意， 故函数的次不动点为和. 【小问2详解】 设函数在上的不动点和次不动点分别为和.则由可得：， 即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即； 再由可得：，即：，化简得：，， 因在时为增函数，故，即.综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是函数新定义问题. 解题关键在于设出不动点（或次不动点）后，对于方程有解的问题最便捷的方法就是运用参变分离法，把求参数取值范围的问题转化为求对应函数在给定区间上的值域问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $