精品解析：河南新乡市卫辉市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次考试数学试卷

高一上学期第一次考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程组即可. 【详解】得，故集合为 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】易知命题“”的否定为. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定命题的真假，即可得到答案. 【详解】由，所以命题为假命题，则命题为真命题； 又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题. 故选：B. 4. 已知，则“在上恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数性质可求出不等式恒成立时的范围，然后结合集合包含关系与充分必要条件的转化关系即可求解. 【详解】在R上恒成立时， 当时，原不等式为，成立，故符合题意； 当时，关于的不等式在R上恒成立， 综上所述，的取值范围为， 而⫋，所以在上恒成立是的必要不充分条件. 故选：B 5. 如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 6. 设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 7. 若实数，，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘1法结合条件计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 8. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 10. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 11. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，，，若，则____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合之间的等量关系，建立方程，可得答案. 【详解】，，，，， ，，，，； 故答案为：. 13. 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有，，人；同时修数学、语文两门课的学生有人，同时修数学、外语两门课的学生有人，同时修语文、外语两门课的学生有人；三门课全修的学生有人，则只修一门课的学生有__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的容斥原理的性质即可求解. 【详解】设修数学、语文、外语的学生组成集合分别为， 则，，， ，，，， 所以总人数为 人， 正好修数学、语文的人数为人； 正好修数学、外语的人数为人； 正好修语文、外语的人数为人； 所以只修两门的人数为人， 因此，只修一门的人数为人. 14. 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，，，, 或，B可以是的非空子集，有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ，， ，是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集和交集的定义即可得到答案； （2）首先分析得，再分和讨论即可. 【小问1详解】 依题意，，而， 所以． . 【小问2详解】 （2）由，得， ①当，即时，，满足，则． ②当时，由，得，且． 解得； 所以实数的取值范围是. 16. 已知全集，：，：，其中. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解不等式化简集合，结合集合的交集和补集运算求解； （2）分析可知集合是集合的真子集，分类讨论a的符号，结合包含关系运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 若，则，可得， 所以. 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 17. （1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）若，求函数的最大值，并求此时的值； （3）若，求的最小值，并求此时的值． 【答案】（1）最小值为 ，此时 ；（2）最大值为 ，此时 ；（3）最小值为 ，此时 . 【解析】 【分析】（1）由 知 与 都是正数，且乘积为定值，因此可用基本不等式求和的最小值. （2）由 知 ，，且两者之和为定值，因此可用基本不等式求积的最大值. （3）把 写成 ，将原式化为 ，再用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为 ，所以 . 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以最小值为 . （2）因为 ，所以 ，. 于是 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以最大值为 ，此时 . （3）因为 ，所以 . 于是 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以 ，即 ，此时函数取得最小值 . 18. 设函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在内有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【详解】（1）当时，由，得，解得， 所以不等式的解集为. （2）当时，由，整理得，解得； 当时，由，整理得， 即，解得； 当时，由，整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当时，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，关于的不等式在内有解， 即在内有解， ① 当 时，不等式化为 ，显然有解，符合题意； ② 当 时，二次函数开口向上，必然存在实数使得不等式成立，符合题意； ③ 当 时，二次函数开口向下，不等式有解等价于判别式. ，即，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围是. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用二次函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，利用韦达定理得，，再根据题设有，从而得到，即可求解； （3）利用基本不等式得到，从而将问题转化成在恒成立，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. 【小问2详解】 设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到， 由韦达定理知，，令，得到， 所以，又， 所以，解得，故的值为1或. 【小问3详解】 因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，则“在上恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 11. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 的最小值为6 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，，，，若，则____________ ． 13. 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有，，人；同时修数学、语文两门课的学生有人，同时修数学、外语两门课的学生有人，同时修语文、外语两门课的学生有人；三门课全修的学生有人，则只修一门课的学生有__________人. 14. 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知全集，：，：，其中. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. （1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）若，求函数的最大值，并求此时的值； （3）若，求的最小值，并求此时的值． 18. 设函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在内有解，求实数的取值范围. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $