精品解析：河南省部分普通高中2026-2027学年高一上学期10月联考数学试题

2026年河南省普通高中高一秋期10月联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2. 已知全集，集合，，则正确的关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先识别集合分别是全体非负偶数集、的倍数集，得到是的真子集，借助图逐一判断四个选项的集合关系． 【详解】，即为全体非负偶数集， ，即为， 显然，即是的真子集， 所以的图可为 对于A，由图，得，即为阴影部分，A错误； 对于B，由图，得为阴影部分，B错误； 对于C，由图，得为阴影部分，C错误； 对于D，由图，得，D正确． 3. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果. 【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意； ②当时，令，则在上恒成立， 函数的对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 4. 设集合，U为整数集，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解. 【详解】因为整数集，， 所以． 故选：A． 5. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 不一定大于等于零，所以该选项错误； B. ，当取负数时，显然，所以错误，所以该选项错误； C. ，当且仅当时成立，由于取得条件不成立，所以，如时，，所以该选项错误； D. ，当且仅当时取等号.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 设集合，则满足的集合的子集最多个数是（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先由并集分析集合的元素可能个数，再求子集个数即可. 【详解】因为集合，则满足， 所以集合的元素可能是2个，3个，4个， 所以集合的子集最多个数是个. 故选：C 7. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个二次之间的关系，可得的解根据韦达定理可得出参数的关系，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得，关于x的不等式的解集是， 即当的两根为或，由韦达定理可得，， 所以，，所以求，即是求，解得. 故选：A. 8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，为常数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解集可知抛物线开口向上且与轴相切于，即且，令， ，，采取基本不等式可解. 【详解】由解集可知抛物线开口向上且与轴相切于， 即且，故， 令，由且得， ，令，则， 当且仅当即时取等号，此时. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据所有子集的并集不等于集合可知集合中至少比所有子集的并集多一个元素，仅多一个元素时可以求得最大，再进行反证法验证即可. 【详解】由可知所有子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素，则所有子集均不含元素，即是集合的子集， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件. 假设，要满足所有子集的并集不等于集合， 必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是，那么个子集都不含元素， 即每个子集都是集合的子集， 而集合只有个不同的子集， 所以无法从中取出至少个不同的子集， 因此假设不成立，必须小于，所以的最大值为， 故选：AB. 10. 下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若实数满足，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A和C，结合选项条件，利用作差法，即可求解；对于B，利用作差法得，再利用不等式的性质，即可求解；对于D，利用不等式的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又，则，， 又，所以，即，所以A错误， 对于选项B，因为恒成立，则， 又，则，所以B正确， 对于选项C，因为， 又，则，所以， 即，所以C正确， 对于选项D，由，得到，又由知， 所以，即，所以D正确， 故选：BCD. 11. 已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（ ） A. 是存在量词命题，是真命题 B. 是存在量词命题，是假命题 C. 是全称量词命题，是真命题 D. 是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【解析】 【分析】根据存在量词和全称量词命题的定义即可求解. 【详解】，又，故当时，等式成立，故命题是存在量词命题，是真命题； 能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题是全称量词命题，是真命题． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】解方程组，可得. 【详解】由， 所以. 故答案为： 13. 设a，b为正实数，且满足，则的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】将所求因式通分后利用基本不等式计算即可. 【详解】，① 因为a，b为正实数，且满足， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以①. 故答案为：1. 14. 若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，化简利用基本不等式即可得出结论． 【详解】正数，满足， ， 当且仅当即时取等号． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，设，. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，应用集合的并运算求交集即可； （2）根据必要不充分关系转化为是的真子集，根据包含关系即可求的范围. 【小问1详解】 因为集合， 集合， 若，则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：集合，集合， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 且a为正实数，即，解得， 所以正数的取值范围为. 16. 已知，并且关于x的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求m的值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）关于x的方程有两个不相等的实数根，，故，根据韦达定理得，结合求解； （2）因为，将，代入化简得，结合取值范围求解. 【小问1详解】 因为关于x的方程有两个不相等的实数根，， 所以，解得，又因为， 所以， 根据韦达定理得， 所以，又因为， 解得. 【小问2详解】 ， 因为，， 所以， 因为且，关于轴对称，所以当时， 故的最大值为. 17. 已知集合，． （1）若，求a的取值集合； （2）若命题p∶“，使得”为真命题，且命题q：“”为假命题，求实数a的取值范围； （3）若将集合B中的不等式改为：，试求该不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）因为等价于，所以根据子集的端点对应关系列不等式组，求解的范围； （2）命题为真等价于，命题为假等价于，先求为真的的范围，再求为假的的范围，取两者的交集; （3）先对二次项系数分类讨论，时是一次不等式，直接求解；时因式分解不等式，结合对应二次函数的开口方向，比较两根的大小，分情况写出解集. 【小问1详解】 , 解得，即. ，因此且，解得. 所以的取值集合为. 【小问2详解】 命题为真，说明，即两个区间有公共元素： 若，则或，即或，因此为真时. 命题为假，说明，由（1）知时，因此为假时， 取两个条件的交集，得的取值范围是. 【小问3详解】 对不等式因式分解得， 当时：不等式化为，解得，解集为； 当时：不等式等价于，且，解集为； 当时：不等式等价于，且，解集为； 当时：不等式化为，即，解集为； 当时：不等式等价于，且，解集为. 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 18. 设函数（，）. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）当时，解关于的不等式； （3）当，时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值. 【答案】（1） （2）①当时，解集为; ②当时，解集为; ③当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由方程只有一个元素的条件，分与讨论，一次方程直接求解，二次方程用判别式等于零求参数; （2）先移项整理为标准二次不等式，因式分解后按两根大小关系分类讨论解集; （3）先求二次方程根的分布，结合集合交集条件建立的不等式，再换元用基本不等式法求最值. 【小问1详解】 当时，方程为. 若，则，集合中只有一个元素，符合题意; 若，则由得，此时方程有唯一解. 所以的取值集合为. 【小问2详解】 原不等式即， 整理得，即. ①当时，，，解集为； ②当时，不等式化为，解集为； ③当时，，，解集为. 【小问3详解】 因为，，所以的两根为， 且. 因为对任意正数，，所以， 即，从而（此时）. 所以， 令，由得，此时， ， 故， 由基本不等式，，当且仅当即时取等号， 因此，原式， 当时，，，此时满足， 且. 19. 若非空数集满足，不存在，，，使得（允许），则称为无和集．无和集的元素个数记为． （1）直接判断集合和是否为无和集； （2）设集合，无和集，求的最大值； （3）设正整数集为，若不存在无和集，使得无和集 ，求证：为无限集． 【答案】（1）是无和集，不是无和集. （2） （3）反证法，设有限，设为中的最大元素，取， 令，任取， 若，，由是无和集， ，故， 若至少一个为，则，， 所以是无和集且 ，与条件矛盾，故为无限集. 【解析】 【分析】(1)根据无和集的定义，逐一验算集合内任意两元素之和是否属于该集合，直接进行判断； (2)先构造集合，验证它是无和集，得到一个可行的元素个数，再用反证法结合排序作差、抽屉原理证明元素个数不能超过； (3)采用反证法，假设是有限集，取出中的最大元素，选取一个足够大的新正整数并入，验证得到的新集合仍然是无和集，与题设条件矛盾，从而完成证明. 【小问1详解】 ，任意，，均不在中，故是无和集， ，取，满足，故不是无和集. 【小问2详解】 取，共个元素，任意，， 故，是无和集， 设是无和集，排序， 若，考察，共个差，与在内必有重合， 存在，故. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省普通高中高一秋期10月联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上．写在本试题卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知全集，集合，，则正确的关系是（   ） A. B. C. D. 3. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，U为整数集，（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，则满足的集合的子集最多个数是（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次不等式的解集为，为常数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若、、、是的个不同的子集，且，则的可能值有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若实数满足，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（ ） A. 是存在量词命题，是真命题 B. 是存在量词命题，是假命题 C. 是全称量词命题，是真命题 D. 是全称量词命题，是假命题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合，，则_______. 13. 设a，b为正实数，且满足，则的最小值是______． 14. 若正数，满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，设，. （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 16. 已知，并且关于x的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求m的值； （2）若，求的最大值． 17. 已知集合，． （1）若，求a的取值集合； （2）若命题p∶“，使得”为真命题，且命题q：“”为假命题，求实数a的取值范围； （3）若将集合B中的不等式改为：，试求该不等式的解集． 18. 设函数（，）. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）当时，解关于的不等式； （3）当，时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值. 19. 若非空数集满足，不存在，，，使得（允许），则称为无和集．无和集的元素个数记为． （1）直接判断集合和是否为无和集； （2）设集合，无和集，求的最大值； （3）设正整数集为，若不存在无和集，使得无和集 ，求证：为无限集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $