5.4.3正切函数的性质与图像（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 5.4.1 正切函数的性质与图像 参考答案 正切函数的单调性题型01 1． C 2. A 3．D 4.D 5.BC 解含的不等式题型02 6.C 7．B 8.D 9．A 10. 11. ， 12. 13.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）作出函数，的图象，如图所示． 在内，满足的x的取值范围为，结合函数的周期性， 可知的解集为． （2）由，得，． 由，，，． 的解集为． 比较正切值的大小题型03 14.D 15．C 16．ACD 17.D 18．D 19． 20. 含的函数的奇偶性题型04 21.D 22.C 23. ACD 24.2 25. 的定义域和值域题型05 26. B 27. B 28.D 29.B 30． 31． 32. 【答案】(1)最小正周期；在单调递减，无单调递增区间；(2) 【详解】（1）的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． （2）由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 的周期性题型06 33.A 34.B 35．C 36．A 37．B 38．C 39．3 40． 41． 42． 43．;偶 44．4 的单调性题型07 45. B 46．BC 47． 48．【答案】(1)；(2)单调递增区间为，无单调递减区间；(3) 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ， 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 已知的单调性求参数的范围题型08 49. 50. 51．【答案】(1)定义域为，对称中心为，；(2). 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 的奇偶性题型09 52. CD 53．C 的对称性题型10 54．D 55．A 56.C 57.D 58．A 59．D 60．B 61.ABD 62．B 63.5或8 的性质的综合题型11 64.ACD 65．BC 66．ABD 67．ABC 68．ACD 69.ABD 70.ABD 含的二次式的最值（值域）题型12 71. 72. 73． ； 74． 75. 【答案】最大值为，最小值为 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 1. B 2．A 3．C 4．A 5.A 6.D 7．D 8.D 9.C 10．A 11 .AD 12.BCD 13．BD 14.BC 15. 16．1 17. 18 . 19. 20．【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的定义域为. （2）解：由不等式，可得，所以， 所以使不等式成立的x的取值集合为. 21．【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 22.【答案】(1)，定义域为；对称中心为；单调递减区间为）无单调递增区间；(2) 【详解】（1）解：的最小正周期为 由，解得， 故的定义域为； 由，解得， 故的对称中心为； 因为， 由，得， 所以函数的单调递减区间为）无单调递增区间. （2）， ． ． 1. A 2．D 3．C 4．D 5．C 6．ABD 7． 8. 9. 10．【答案】(1)递减区间为，无递增区间；(2)． 【详解】（1）， ，解得， 函数的单调递减区间为，无递增区间； （2）当有， ，， 由得，， ， 又，，， 所以． 1.B 2．D 3．D 4．A 5．A 6．D 7.C 8. B 9．D 10．A 11.B 12. ; 13．①② 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4.3 正切函数的性质与图像 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切函数的单调性 题型02 解含的不等式（常考点） 题型03 比较正切值的大小 题型04 含的函数的奇偶性 题型05 的定义域和值域（常考点） 题型06 的周期性 题型07 的单调性（重点） 题型08 已知的单调性求参数的范围（重点） 题型09 的奇偶性 题型10 的对称性（常考点） 题型11 的性质的综合考查（重点） 题型12 含的二次式的最值（值域） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 正切函数的单调性题型01 1．（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 2．（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出图象，如下图所示， 可知函数最小正周期为且在区间上单调递减，所以A正确； 对于可知函数最小正周期为，所以B错误； 对于，可知函数在区间上单调递增，所以C错误； 画出图象，如下图所示， 可知函数在区间上单调递增，所以D错误； 故选：A. 3．（25-26高一下·北京·期末）下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，周期为，在上单调递减且大于0， 所以在上单调递减，A错误； 对于B，，周期为， 当时，，因为在上先递减再递增， 所以在上先递减再递增，B错误； 对于C，其最小正周期，不是的周期，C错误； 对于D，的最小正周期为，且正切函数在开区间内单调递增，取得区间，是该区间的子集，故在上单调递增，所以D正确. 4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数是奇函数，所以A错误； 对于B，函数是偶函数，在上单调递减，所以B错误； 对于C，函数是奇函数，所以C错误； 对于D，函数是偶函数，在上单调递增，所以D正确. 故选：D 5．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期末）下列函数中，在区间上单调递减的函数有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A：当，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A不满足条件； 对B：因为在上单调递增，所以在上单调递减，故B满足条件； 对C：当时，，在上单调递减，所以C满足条件； 对D：当时，，所以，因为在单调递减，所以在上单调递增，即在上单调递增，故D不满足条件. 故选：BC 解含的不等式题型02 6．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）观察正切曲线能使成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】能使成立，即的x的取值范围为 7．（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，所以，即. 所以使成立的x的取值集合是. 故选：B. 8．（25-26高一下·河南·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 9．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 10．（25-26高一下·上海·期中）在内使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【详解】当时，，解得； 当时，，满足题意； 当时，，显然成立， 综上，在内使得成立的的取值范围为 11．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）解不等式的解集为________. 【答案】， 【详解】由题得，， 所以，， 所以，. 所以不等式的解集为，. 12．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）不等式在内的解集________. 【答案】 【详解】，且，代入得：. 在内，恒成立，仅当时取等号，显然不在不等式解集内. 因此不等式等价于，即在内的解集， 由正切函数的图像与性质可得原不等式解集为. 13．求下列不等式的解集： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）作出函数，的图象，如图所示． 在内，满足的x的取值范围为，结合函数的周期性， 可知的解集为． （2）由，得，． 由，，，． 的解集为． 比较正切值的大小题型03 14．（25-26高一下·广西桂林·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 因为在上单调递增，且，因此， 所以. 15．（25-26高一下·北京延庆·期中），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上单调递增， 所以， 又函数在上单调递增， 所以， 所以. 16．（多选）（26-27高一上·河北·阶段检测）下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，，， 在单调递减，所以，故A正确； 对于B，因为，，在上单调递减， 所以，故B错误； 对于C，因为，， 所以，，则，故C正确； 对于D，因为，，在上单调递增， 所以，故D正确. 17．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，在单位圆中应用三角函数线，如下图所示， 所以，即. 18．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）下列关于tan48°、、tan114°的大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，， 而函数在上单调递增，则，故， 又，故. 19．（25-26高一下·北京·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 【答案】 【详解】，，， ，， ，， 在区间上单调递增， 因为， 所以，即． 20．（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 【答案】 【详解】正切函数 在区间 上是单调递增函数. ，，因此 ， 所以，即 . 含的函数的奇偶性题型04 21．（25-26高一下·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数，A错误. 选项B：设，定义域为，关于原点对称， ， 且，为非奇非偶函数， B错误. 选项C：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数， C错误. 选项D：设，定义域为，关于原点对称， ，是奇函数， D正确. 22．（25-26高一下·湖北十堰·期中）下列函数中，图像关于原点对称的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的定义域为，且，为偶函数，故A错误； 因为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误； 因为的定义域为，且，函数为奇函数，故C正确； 因为的定义域为，且，函数为偶函数，故D错误. 23．（多选）（25-26高一下·江西九江·阶段检测）下列函数中，是偶函数的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为，，A是； 对于B，函数的定义域为，，B不是； 对于C，函数的定义域为，，C是； 对于D，函数的定义域为， 且，D是. 24．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数，且 ，则____________. 【答案】2 【详解】令， 因为， 所以函数是定义域内的奇函数， 因为， 所以. 25．（25-26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 【答案】 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又， 所以， 所以． 的定义域和值域题型05 26．（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以的定义域为． 27．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 28．（25-26高一下·北京房山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 29．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由题意，，， 所以，. 30．（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的最小正周期为，则的定义域是___________. 【答案】 【详解】由题意得，解得，故， 令，解得， 故的定义域为. 故答案为： 31．（2026高一·全国·专题练习）函数，的值域为____________ 【答案】 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 32．（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 【答案】(1)最小正周期；在单调递减，无单调递增区间；(2) 【详解】（1）的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． （2）由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 的周期性题型06 33．（26-27高三上·广东惠州·期中）函数的最小正周期是（     ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】正切型函数最小正周期， 已知，所以函数的最小正周期. 34．（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 35．（2026·广西河池·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期是. 36．（25-26高一下·内蒙古·期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，最小正周期； ②函数的周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质； 因此，最小正周期为的所有函数为①②③，故A正确. 37．（25-26高一下·河北承德·期中）已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 38．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为， 所以的最小正周期，又，所以. 故选：C. 39．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）函数的最小正周期为________． 【答案】3 【详解】的最小正周期满足． 40．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数的最小正周期为_________． 【答案】 【详解】由正切函数周期公式得：. 41．（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【详解】由题意可知：，解得：. 42．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【答案】 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 43．函数的最小正周期是　______　，是　______　函数（填“奇”或“偶”）． 【答案】 偶 【详解】的周期为. 加绝对值，把轴下方图象翻折到上方，周期不变，所以最小正周期 . 令，解得， 定义域为，定义域关于原点对称. ，满足偶函数定义 ，所以是偶函数. 44．（25-26高一下·上海·期中）函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 【答案】4 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 的单调性题型07 45．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 46．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的一条对称轴 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数的周期为 D．函数的单调递增区间为， 【答案】BC 【详解】对于A，因为， 所以直线不是函数的对称轴，故A不正确； 对于B，因为， 所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，函数的周期为，故C正确； 对于D，令，得， 所以函数的单调递增区间是，故D不正确. 故选：BC. 47．（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 【答案】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 48．（25-26高一上·新疆·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)；(2)单调递增区间为，无单调递减区间；(3) 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ， 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 已知的单调性求参数的范围题型08 49．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】正切函数的单调递增区间为， 当且时，. 所以， 结合， 所以，即的取值范围为. 50．（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 51．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，对称中心为，；(2). 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 的奇偶性题型09 52．（多选）（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列函数中是奇函数的有（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A选项，，所以，所以不是奇函数，故A错误； 对于B选项，，所以，故B错误； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，，，故D正确. 53．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 的对称性题型10 54．（25-26高一下·北京朝阳·期中）函数的图象的一个对称中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由的对称中心为， 令，解得， 则函数的图象的对称中心坐标是， 时，函数的一个对称中心坐标为． 55．（25-26高一下·河南南阳·期中）函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 所以的图象的对称中心为，. 对照各选项，可知时，对称中心为. 56．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 57．（25-26高一下·江西景德镇·期中）已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于正切型函数，最小正周期公式为， 已知最小正周期，代入得，解得， 因此函数为. 正切函数的对称中心为， 令整体，解得，即， 因此的对称中心为. 58．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 则，解得， 因为，故当时，取最小值. 59．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】依题意，，所以，所以， 令，解得， 所以对称中心为. 60．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 61．（多选）（25-26高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由函数的最小正周期为， 得，解得， 所以， 由，得， 对于A，当时，，即是的一个对称中心，A正确； 对于B，当时，，即是的一个对称中心，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，当时，，即是的一个对称中心，D正确． 62．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正弦函数的图象的对称轴满足， 已知是的一条对称轴，代入可得： ， 整理得， 又，取，得， 正切函数的图象的对称中心满足， 令， 解得 因此的图象的对称中心为. 63．（25-26高一下·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 【答案】5或8 【难度】0.7 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，所以，因为， 所以，或. 的性质的综合题型11 64．（多选）（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．单调递增区间为（） C．定义域为 D．当时，的取值范围为（） 【答案】ACD 【详解】对A，最小正周期为，故A正确； 对B，令，解得，故B错误； 对C，由题意得，解得， 则其定义域为，故C正确； 对D，由题意得，解得， 则的取值范围为（），故D正确. 故选：ACD. 65．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】BC 【详解】对于A：，A错误； 对于B：的最小正周期，B正确； 对于C：的单调递增，则，即（）， 所以在上单调递增，C正确； 对于D：的对称轴为，即为（）， 所以不是其对称轴，D错误. 故选：BC. 66．（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 67．（多选）（25-26高一下·辽宁·阶段检测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，，因函数在上单调递增， 故在区间上单调递增，故B正确； 对于C，令，，解得，，当时，， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，正切函数图象不是轴对称图形，故D错误. 68．（多选）（25-26高一上·山东济宁·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ACD 【详解】A：，所以本选项说法正确； B：的最小正周期为，所以本选项说法不正确； C：因为，所以的图象关于点对称，因此本选项说法正确； D：，所以本选项说法正确. 故选：ACD 69．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，最小正周期是，则下列说法正确的是（   ） A． B．图象的对称中心的坐标为 C．不等式的解集为， D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】函数， 对于A，由题意可得，则，A正确； 对于B，，令，得， 故图象的对称中心的坐标为，B正确； 对于C，由，得，∴， 解得， ∴不等式的解集为，C错误； 对于D，，则， 所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 70．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数图象的对称中心的坐标是， D．函数的单调递增区间是， 【答案】ABD 【详解】由图可知的最小正周期，由，又，所以， 因为，，所以，又，解得，A正确，B正确； 由上面的推导可知，令，解得， 所以图象的对称中心的坐标是，，C错误； 又函数， 所以函数的单调递增区间是，，D正确． 含的二次式的最值（值域）题型12 71．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为___________. 【答案】 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 72．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 73．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 【答案】 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 74．（24-25高一下·四川德阳·阶段检测）求函数，的值域. 【答案】 【详解】因为，令，可得， 因为二次函数在上单调递增，故. 因此，函数，的值域为. 75．求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 1．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由题意得 ，则的图象不关于点对称，故A错误， 对于B，由正切函数性质得，在上单调递增，且为其图象的对称中心，故B正确； 对于C，由余弦函数性质得，在上单调递减，故C错误； 对于D，若的图象关于点对称，则， 当时，对于， 可得， 则的图象不关于点对称，故D错误. 故选：B 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 且正弦函数在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为正切函数在上单调递增，且，故， 因此. 故选：A. 3．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【详解】因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为， 设的最小正周期为T，则，得. 由，， 得，， 所以的单调递增区间为,（）. 4．关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】A 【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对； 对于B选项，由可得， 故函数的定义域是，B错； 对于C选项，是非奇非偶函数，C错； 对于D选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，D错. 故选：A. 5．（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】由正切函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 由余弦函数的对称中心为，则，即， 故的对称中心为； 因为点同时是函数与的对称中心， 故，解得； 故，解得； 故的最小正整数为5． 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间是（） B．函数图像对称中心的集合是 C．对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D．函数的对称轴是直线， 【答案】D 【详解】对于A，函数，因为在每个单调区间是递增的， 所以在每个单调区间是递减的，故A错误； 对于B，令，得，所以函数的对称中心的集合是，故B错误； 对于C，函数的周期为，所以直线与函数图像的两个相邻交点之间的距离是，故C错误； 对于D，由于的对称轴是. 令，得，D正确. 故选：D. 7．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，在上单调递增，则在上单调递增， 且时，时，所以， 在上恒成立，所以. 8．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 9．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 10．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数（），则“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】（）的最小正周期为， 充分性分析： 的最小正周期不小于4，， ，， ，，， ，，， 在上单调递增，故充分性成立； 必要性分析： ，，， 在上单调递增， 必须是的子集， ， ，，，故必要性成立. 即“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的充要条件. 11．（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A选项，因为且函数的最小正周期为，故，A对； 对于B选项，由A选项可知， 由可得， 故函数的定义域为，B错； 对于C选项，当时，， 故函数在上不单调，C错； 对于D选项，由可得， 所以， 因为，故当时，取最大值，D对. 故选：AD. 12．（多选）（25-26高一上·山西长治·期末）设函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．图像的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】选项A：最小正周期为，A错误. 选项B：，B正确. 选项C：正切函数的对称中心为. 令，，解得，. 所以的对称中心为， 又图像可由向上平移1个单位长度得到， 所以图像的对称中心为，C正确. 选项D：，，所以. 结合正切函数的性质可得，，. 解得，， 所以不等式的解集为，D正确. 13．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BD 【详解】选项A：因为函数，其周期与相同，为， 因为题中，则周期，故A错误； 选项B：因为 的对称轴为 ， 令 ，则对称轴为 ， 当 时，，符合条件，故B正确； 选项C：因为，当 时，， 故值域为 ，不是 ，故C错误； 选项D：因为 的单调递减区间为 ， 则令 ，解得：， 所以与选项D的区间一致，故D正确； 14．（多选）（25-26高一下·江西赣州·期中）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 函数的周期，即，所以，则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以或． 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的定义域为_____. 【答案】 【详解】由题意，即， 由正切函数图像性质可得， 则定义域为， 16．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，若，则______. 【答案】 【详解】因为函数， 所以，即， 所以. 17．（25-26高一上·江苏·期末）若“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意，是真命题， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则，即， 所以实数的取值范围是. 18．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题， 则该命题的否定是真命题，即，函数的值不大于m. 即，. 又因为正弦函数和正切函数在区间上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 则， 所以m的取值范围为． 19．（25-26高一下·安徽亳州·期末）已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______. 【答案】 【详解】因为为的最小正零点，所以令，即， 当时，；当时，； 因为b为的定义域之外的最小正数，所以令，即， 当时，； 若，则； 若，则（舍去）. 综上所述，. 20．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及定义域； (2)求使不等式成立的x的取值集合. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的定义域为. （2）解：由不等式，可得，所以， 所以使不等式成立的x的取值集合为. 21．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，定义域为；对称中心为；单调递减区间为）无单调递增区间；(2) 【详解】（1）解：的最小正周期为 由，解得， 故的定义域为； 由，解得， 故的对称中心为； 因为， 由，得， 所以函数的单调递减区间为）无单调递增区间. （2）， ． 1．【函数与方程的思想】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段检测）曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意可知，函数与的图像在内有交点， 即有解， 则，化简得 解得或者， 所以在内仅有一解，故交点个数为一个． 2．【新定义问题】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点，点P到原点的距离为，定义：角α的余切，角α的正割，角α的余割，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】D 【详解】不妨设点在单位圆上，则． 对于A，由于，，，所以，A正确； 对于B，由于，，，所以，B正确； 对于C，当时，，当时，且的值随α增大而减少， 当时，且的值随α增大而减少，所以在上单调递减，C正确； 对于D，因为，，，所以函数在上不单调，D错误． 3．【数形结合】（25-26高一下·辽宁锦州·阶段检测）函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出函数与在上的图象， 可知两个函数的图象在上有4个交点， 且从左至右的第1，4个交点，与第2，3个交点均关于点对称， 所以. 4．【直观想象】（25-26高一下·上海·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上不单调 C．时， D．图像既有对称轴又有对称中心 【答案】D 【详解】对于A：，A错误； 对于B：和都在单调递增，而在单调递增， 由复合函数的单调性可知，在单调递增，B错误； 对于C：由两角和的正切公式可得， 令，时，， 因此，且， 可得，C错误； 对于D：对任意， ，， 因此是的对称轴； 对任意，因为， ， 所以， ， 因为，所以， 所以 ，因此是的对称中心。 故既有对称轴又有对称中心，D正确. 5．【数学运算】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（     ） A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①是假命题，命题②是真命题 D．命题①②都是假命题 【答案】C 【分析】对于①，画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断；对于②，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】即，易知当时，，显然不符题意，故， 因此等价于. 画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①是假命题， 由，推出 ， 因为， 又的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故②是真命题. 6．（多选）【数学抽象】（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：由题知，则，所以， 因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称，   ． 7．【分类讨论】（25-26高一下·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由对任意，都有函数在上单调， 得函数在上单调， 当时，是常数函数，不单调，不符合题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以的取值范围为. 8．【知识融合】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 9．【数学抽象】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 【答案】 【分析】令，代入不等式并求得，令函数，求得函数的周期及定义域，作出函数的部分图象，讨论的取值结合函数图象得到不等式的整数解的值，然后得到结果. 【详解】令，则不等式化简为，则， 由的周期，且，则， ∴函数的定义域为，函数大致图象如下， 在中的可能值讨论如下： 若，； 若，则内整数解为1，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为3，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为1，所以； 若，. 综上：m的所有可能值的集合为. 10．【知识融合】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 【答案】(1)递减区间为，无递增区间；(2)． 【详解】（1）， ，解得， 函数的单调递减区间为，无递增区间； （2）当有， ，， 由得，， ， 又，，， 所以． 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是，即. 故选：B 2．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【详解】因为，所以， 考虑函数在的图像，以6为周期， 先考虑一条直线与函数的整点交点， 注意到在一个周期内，可能存在的整点有1，2，4，5，6， 可得，以下情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ，有338个整点； ②当时， ， ， ， ， ， ，有338个整点； ③当时， ， ， ， ， ， ，有337个整点； ④当时， ， ， ， ， ， ，有337个整点； ⑤当时， ， ， ， ， ， ，有337个整点， 再考虑直线与所包围的区域（不含边界）， 注意到区间的长度为1， 所以可能，就有个整点，故C可能； 因为与的距离为，所以只可能是或中的一个，就有338个整点，故B可能； 而当时， 中没有元素，就有0个整点，故A可能； 注意到，但与的距离为，故D不可能. 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4．（1997·全国·高考真题）函数在一个周期内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 而由选项BD中的图像可知它们的周期为，故排除BD； 因为的单调递增区间为， 由得， 所以的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 选项C中的图像不满足，排除C，而选项A中的图像满足，故A正确. 故选：A. 5．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（  ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【详解】①函数为偶函数，周期与相同，； ②函数周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质. 故选：A 6．（2014·山东·高考真题）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在D中，的图象关于对称，故选D. 考点：新定义，函数的图象和性质. 7．（2014·大纲版·高考真题）设则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b， 又，∴c＞b＞a． 故选C． 8．（2011·辽宁·高考真题）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知T，所以ω＝2， 函数的解析式为：f（x）＝Atan（ωx+φ），因为函数过（，0）所以0＝Atan（φ）所以φ， 图象经过（0，1），所以，1＝Atan，所以A＝1，所以f（x）＝tan（2x）则f（）＝tan（） 故答案为B. 9．（2008·江西·高考真题）函数在区间（，）内的图象是( 　 ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|= 分段画出函数图象如D图示， 故选D． 10．（2004·北京·高考真题）在函数中，最小正周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦函数性质，的最小正周期为，的最小正周期为； 由余弦函数性质，的最小正周期为； 由正切函数性质，的最小正周期为. 综上，最小正周期为的函数是. 故选：A 11．（1990·上海·高考真题）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于函数，显然， 所以函数的最小正周期. 故选：B 12．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 13．（2013·福建·高考真题）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足： （i）（ii）对任意 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ① ② ③ 其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）. 【答案】①② 【详解】条件（i）说明S到T是一个一一映射，条件（ii）说明函数单调增.对于1可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于2可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于3，该函数一定有最小值，不合题意，故不是保序同构. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4.3 正切函数的性质与图像 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切函数的单调性 题型02 解含的不等式（常考点） 题型03 比较正切值的大小 题型04 含的函数的奇偶性 题型05 的定义域和值域（常考点） 题型06 的周期性 题型07 的单调性（重点） 题型08 已知的单调性求参数的范围（重点） 题型09 的奇偶性 题型10 的对称性（常考点） 题型11 的性质的综合考查（重点） 题型12 含的二次式的最值（值域） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 正切函数的单调性题型01 1．（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期末）下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·江苏无锡·期末）下列函数中，在区间上单调递减的函数有（   ） A． B． C． D． 解含的不等式题型02 6．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）观察正切曲线能使成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河南·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·上海·期中）在内使得成立的的取值范围是___________. 11．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）解不等式的解集为________. 12．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）不等式在内的解集________. 13．求下列不等式的解集： (1)；(2)． 比较正切值的大小题型03 14．（25-26高一下·广西桂林·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·北京延庆·期中），，，则（    ） A． B． C． D． 16．（多选）（26-27高一上·河北·阶段检测）下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）下列关于tan48°、、tan114°的大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·北京·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为_____________．（用“”连接） 20．（25-26高一下·陕西宝鸡·阶段检测）已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 含的函数的奇偶性题型04 21．（25-26高一下·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·湖北十堰·期中）下列函数中，图像关于原点对称的函数是（   ） A． B． C． D． 23．（多选）（25-26高一下·江西九江·阶段检测）下列函数中，是偶函数的有（    ）． A． B． C． D． 24．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知函数，且 ，则____________. 25．（25-26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 的定义域和值域题型05 26．（25-26高一下·贵州遵义·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·北京房山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的最小正周期为，则的定义域是___________. 31．（2026高一·全国·专题练习）函数，的值域为____________ 32．（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 的周期性题型06 33．（26-27高三上·广东惠州·期中）函数的最小正周期是（     ） A．4 B．8 C． D． 34．（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·广西河池·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 36．（25-26高一下·内蒙古·期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 37．（25-26高一下·河北承德·期中）已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 38．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 39．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）函数的最小正周期为________． 40．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数的最小正周期为_________． 41．（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 42．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数（）的最小正周期为，则__________. 43．函数的最小正周期是　______　，是　______　函数（填“奇”或“偶”）． 44．（25-26高一下·上海·期中）函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 的单调性题型07 45．（25-26高一上·河南·阶段检测）函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 46．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的一条对称轴 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数的周期为 D．函数的单调递增区间为， 47．（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 48．（25-26高一上·新疆·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 已知的单调性求参数的范围题型08 49．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 50．（25-26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 51．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 的奇偶性题型09 52．（多选）（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列函数中是奇函数的有（     ） A． B． C． D． 53．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 的对称性题型10 54．（25-26高一下·北京朝阳·期中）函数的图象的一个对称中心坐标是（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高一下·河南南阳·期中）函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 56．（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高一下·江西景德镇·期中）已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 59．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 60．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 61．（多选）（25-26高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期为，则下列选项中是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 62．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高一下·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 的性质的综合题型11 64．（多选）（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．单调递增区间为（） C．定义域为 D．当时，的取值范围为（） 65．（多选）（25-26高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 66．（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 67．（多选）（25-26高一下·辽宁·阶段检测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 68．（多选）（25-26高一上·山东济宁·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 69．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，最小正周期是，则下列说法正确的是（   ） A． B．图象的对称中心的坐标为 C．不等式的解集为， D．在区间上单调递增 70．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数图象的对称中心的坐标是， D．函数的单调递增区间是， 含的二次式的最值（值域）题型12 71．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为___________. 72．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 73．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）函数的定义域是________． （2）函数的值域为________． 74．（24-25高一下·四川德阳·阶段检测）求函数，的值域. 75．求函数，的最大值与最小值． 1．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4．关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 5．（25-26高一下·河南南阳·期末）已知点同时是函数与的对称中心，则的最小正整数值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间是（） B．函数图像对称中心的集合是 C．对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D．函数的对称轴是直线， 7．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 10．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数（），则“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则的最大值为 12．（多选）（25-26高一上·山西长治·期末）设函数，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．图像的对称中心为 D．不等式的解集为 A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 14．（多选）（25-26高一下·江西赣州·期中）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的定义域为_____. 16．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，若，则______. 17．（25-26高一上·江苏·期末）若“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 18．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 19．（25-26高一下·安徽亳州·期末）已知函数，设为的最小正零点，b为的定义域之外的最小正数，且，则______. 20．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及定义域； (2)求使不等式成立的x的取值集合. 21．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 22．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 1．【函数与方程的思想】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段检测）曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．【新定义问题】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角α的终边上任取一点，点P到原点的距离为，定义：角α的余切，角α的正割，角α的余割，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递增 3．【数形结合】（25-26高一下·辽宁锦州·阶段检测）函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 4．【直观想象】（25-26高一下·上海·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上不单调 C．时， D．图像既有对称轴又有对称中心 5．【数学运算】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，有两个不同的零点，，有如下两个命题：①；②，下列说法中正确的是（     ） A．命题①②都是真命题 B．命题①是真命题，命题②是假命题 C．命题①是假命题，命题②是真命题 D．命题①②都是假命题 6．（多选）【数学抽象】（25-26高一下·广东汕尾·期中）已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 7．【分类讨论】（25-26高一下·河南南阳·期中）若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 8．【知识融合】（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 9．【数学抽象】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 10．【知识融合】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)记，求． 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 4．（1997·全国·高考真题）函数在一个周期内的图象是（    ） A． B． C． D． 5．（2014·新课标Ⅰ·高考真题）在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为（  ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 6．（2014·山东·高考真题）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 A． B． C． D． 7．（2014·大纲版·高考真题）设则 A． B． C． D． 8．（2011·辽宁·高考真题）已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），y＝f（x）的部分图象如图，则f（）＝ A． B． C． D． 9．（2008·江西·高考真题）函数在区间（，）内的图象是( 　 ) A． B． C． D． 10．（2004·北京·高考真题）在函数中，最小正周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 11．（1990·上海·高考真题）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 13．（2013·福建·高考真题）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足： （i）（ii）对任意 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ① ② ③ 其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $