7.1正弦函数的图像与性质（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

7.1 正弦函数的图像与性质 题型1 五点法画正弦函数图像 1．（25-26高一下·全国·课前预习）利用：“五点法”作函数在一个周期的图像，请根据下表填写所取“五点”对应的值. 0 x               y 0 0 0 【答案】 【分析】根据题意令，求解即可. 【详解】令，解得；令，解得； 令，解得； 令，解得； 令，解得； 故答案为：；；；；. 2．（25-26高一下·全国·随堂练习）在区间上画出函数的图象，并根据图象和解析式讨论函数性质. 【答案】图象见解析；单调减区间为和，单调增区间为；对称中心为；最大值为，最小值为 【分析】根据三角函数的五点作图法，可得函数图象，结合图象以及三角函数性质，可得答案. 【详解】列表： 0 0 1 0 0 2 1 2 3 1 描点、连线可得函数的图象如图所示：    由图可得函数的单调减区间为和，单调增区间为； 对称中心为；最大值为，最小值为. 3．（25-26高一下·全国·课前预习）五点（画图）法 （1）在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是 ， ， ， ， ． （2）用“五点法”作函数，的大致图象，所取的五点是 ． 【答案】 ，，，， 【分析】（1）根据特殊角的三角函数即可求解； （2）将（1）中的五个点向上平移1个单位即可． 【详解】（1）在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是： ，，，，； （2）的图象可由的图象向上平移1个单位得到，故所取的五点是： ，，，，； 故答案为：（1），，，，；（2），，，，． 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一动点，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）做圆周运动，已知点的初始位置为，且，设点的纵坐标是转动时间（单位：）的函数，记为.    (1)求，的值，并写出函数的解析式； (2)请将下表中数据补充完整，填写在相应位置，并用描点法画出在上的简图； 0 1 6 0 (3)试比较，，的大小. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出解析式后可求和的值； （2）先完善表格，再利用描点法可求在上的简图； （3）由函数解析式结合诱导公式可求、与的值． 【详解】（1）由题设以为终边的角为，故，其中， 故，. （2）完善后的表格如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3），， ， 而，故. 5．（25-26高一·全国·假期作业）正弦函数的图象中，五个关键点是：， ，. 【答案】 【分析】根据五点法直接填空即可. 【详解】正弦函数的图象中，五个关键点是：，， 故答案为： 题型2 求含正弦函数的定义域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】要使函数有意义只须，再解不等式可得答案. 【详解】由，得， 解得 故答案为：. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案. 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的定义域． 【答案】 【分析】由题可得，由同角三角函数的平方关系得，解不等式，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】由题可知，，即，解得， 由正弦函数的性质可得， 所以函数的定义域为． 题型3 求正弦函数单调区间 1．（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间. 【详解】求函数的单调递增区间. 由，可得， 因此，函数的单调递减区间是. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，从而关于t在上单调递减，由复合函数单调性知只需求关于x的单调递减区间即可，得①，又得②．由①②知，即． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式结合正弦函数单调性可判断选项正误； 【详解】，因在上单调递减，则， 则. 故选：D 4．（24-25高一下·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代入法可得函数单调区间. 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故选：A. 题型4 求正弦函数奇偶性与周期 1．（2025·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，最后由正弦函数性质即可求解. 【详解】， 所以函数为奇函数，最小正周期. 故选：C 2．（24-25高一下·北京昌平·期末）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正余弦函数的周期性及奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是. 故选：C 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的性质求出周期，并判断奇偶性. 【详解】函数的定义域为R， 由，得为奇函数，其周期. 故选：A 4．（2026高三·全国·专题练习）函数是（ ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】B 【分析】利用两角和差的正弦公式和平方差公式化简即可. 【详解】因为， ， 所以 ， 则是以为周期的奇函数. 故选：B. 题型5 求正弦函数的对称性 1．（2026高二上·云南·学业考试）下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最值点与对称轴之间的关系，直接代入检验即可. 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 2．（25-26高三上·福建漳州·月考）函数图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数型对称轴的求法可得答案. 【详解】令，得：， 所以函数图象的对称轴方程为：. 令得：，令得：，令得：，故只有B正确. 故选：B 3．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 4．（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出对称轴方程. 【详解】由，解得. 当时，，即一条对称轴为. 故选：B. 5．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心计算求解. 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 题型1 根据正弦函数单调性比较大小 1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式转换为即可得解. 【详解】，， ， 而，故， 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期可求，根据最小值点可求，再结合函数的单调性和诱导公式可得正确的选项. 【详解】因为最小正周期为，故，故， 而当时，函数取得最小值，故， 故，故， 又，， ， 而，，故， 而，，因在上为增函数，故， 故， 故选：A. 3．（24-25高一上·黑龙江·月考）已知函数，设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数在上单调递增，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，所以， 而， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的图象与性质求得，利用诱导公式化简，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由的最小正周期为，，得，所以； 又当时，取到最大值， 所以，解得， 因为，所以，故. 所以， ， ， 又，所以， 所以. 故选：A 题型2 求正弦函数的最值或值域 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）函数（）的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦的和角公式合成，然后再利用三角函数值域的求法可得答案. 【详解】原式可化为， 由于， 所以 解得 因此，实数的取值范围是. 故答案为： 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据自变量的范围写出的范围，再写的范围； 【详解】由于，则，， 故答案为：. 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】换元令，则，利用二次函数单调性求解. 【详解】，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 题型3 根据正弦函数单调性求参 1．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得. 【详解】由，， 得， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，结合得. 故选：A 2．（24-25高三下·上海虹口·月考）若函数在是单调的，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】运用余弦型函数的单调性，列不等式组计算即可. 【详解】在是单调的，则，则，则.则. 并且， 则或， 解得或，则，则最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 4．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后结合正弦函数的单调性及可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为在，上单调递增， 则，得，， 又，取，则，即. 故选：A. 5．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 【答案】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 题型4 根据正弦函数的奇偶性求参 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为函数是偶函数，则， 所以，又因为，故， 故选：D. 2．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，为偶函数，则的值为（   ） A． B．π C． D．或 【答案】A 【分析】应用正弦函数的奇偶性列式计算求解. 【详解】∵函数，为偶函数， ∴，，即， 故选:A. 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 【答案】， 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 【答案】 【分析】由诱导公式及三角函数的奇偶性即可判断. 【详解】因为（）是偶函数， 所以，又， 所以当时，取最小值. 故答案为： 5．（25-26高一上·广西崇左·期末）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，然后根据奇偶性列方程即可得解. 【详解】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A. 题型5 根据正弦函数的对称性求参 1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，求解不等式即可. 【详解】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 2．（25-26高一上·山西·月考）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的对称性，计算即可. 【详解】函数的图象关于点对称， ，得：， 解得：， ， ， 当时取最小值，的最小值为，无最大值. 故选：D 3．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，且，结合给定的区间有，即可求. 【详解】令，可得，且， 由，而时，时， 又在上恰有四个对称中心，则该区间内取值为， 所以，可得，则. 故选：B 4．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知函数，若，则满足条件的一组取值可以是 ， ． 【答案】 【分析】由得是的一条对称轴计算即可. 【详解】因为， 所以是的一条对称轴， 所以， 当时，. 故答案为：；.（答案不唯一） 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数的图象关于点中心对称，则的值不可能为（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用正弦函数的对称中心求解即可. 【详解】因为函数图象关于点对称，所以，所以，又，故，解得，所以为正整数（），所以，因此可得：的值可能为， 故选：C. 题型1 含绝对值的正弦函数图像性质 1．（25-26高一上·天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 【答案】A 【分析】根据偶函数定义判断函数奇偶性，再应用周期定义判断即可. 【详解】函数，定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为，所以的最小正周期为， 故选：A. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则正实数的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意的最小正周期是，，令即可得解. 【详解】由题意，作出图象， 可知的最小正周期是， 因为，所以，所以， 所以正实数的最小值为. 故选：C． 3．（24-25高一下·天津·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） ①的最小正周期为；     ②关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上恰有7个不同的实数根 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由即可判断①；由即可判断②；，分类讨论求其值域即可判断③，分类讨论令求其在上的根即可判断④. 【详解】对于①，因为，故①错误； 对于②，因为 ，， 所以，所以的图象关于对称，故②正确； 对于③，因为， 当时，， 当时， 所以的值域为，故③正确； 对于④，当时，，则， 解得或，故，，，或，， 当时，，则（舍）， ，此时在上有两个解， 综上，在区间上恰有7个不同的实数根，故④正确； 故选：C 4．（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断当时函数的极值点情况，再结合函数图像列不等式即可. 【详解】由题得， 即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以， 故选：A. 5．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 【答案】C 【分析】根据奇函数定义可判断A；举出反例判断B；脱出绝对值符号，结合正弦函数性质判断C；数形结合，结合函数的性质可判断D. 【详解】函数的定义域为， 因为，即为偶函数， 所以，，所以，所以不是奇函数，A错 ， 则，函数的图象不关于直线对称， B错误； 对于C，当时，， 当时，，当时，； 当时，则， 结合为偶函数，可知的值域为，C正确； 由于为偶函数，图象如图示： 可知不是周期函数，故不是周期函数，D错误， 故选：C 题型2 根据正弦函数的交点或者零点求参 1．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题化为上有4个不同实根，且有2个不同实根，结合正弦函数的图象得，即可得. 【详解】共有6个不同的实根， 由，则有4个不同实根，且有2个不同实根， 根据正弦函数的图象知，可得. 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用方程法有或，再通过赋值求解，即可得范围. 【详解】令，则或， 所以或， 即或， 即或， 又，对于，令，可得：，， 对于，分别令，可得：，，， 从小到大排序前个数为，，，， 由于两曲线有3个交点，所以，，解得. 故选：B 3．（2025高二·全国·专题练习）函数恰好有两个零点，则的范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况结合正弦函数性质得出参数范围. 【详解】①，，结合正弦函数性质知： ，解得． ②，，结合正弦函数性质知： ，解得． 综上有． 故答案为：． 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得在上只有1个零点，所以在上有3个零点，根据x的范围，可得的范围，根据零点个数，可得，即可得答案. 【详解】当时，，令，解得， 则在上只有1个零点，所以在上有3个零点， 由，得， 所以，解得. 故选：B 5．（25-26高一上·广东广州·期末）若函数有个零点，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断分段函数在部分单调且仅有一个零点，因此在区间上需有3个零点，将区间代入，令其包含正弦函数的三个零点但不包含第四个，得到关于的不等式组，通过求解该不等式组确定的取值范围，结合单调性与零点分布求出的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，而， 则存在，使得，函数在上有个零点， 由函数有4个零点，则函数在有个零点， 由，得， 则，解得，所以正数的取值范围是． 故选：A 题型3 正弦函数的综合性质 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的最小值为 D．函数的一个单调递增区间是 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简，，由二倍角公式化简，即可判断A、B，利用辅助角公式化简，即可判断C、D. 【详解】因为，， 对于A、B：因为， 所以函数的最小正周期，故A错误； 因为，所以函数为奇函数，故B错误； 对于C、D：因为， 所以函数的最小值为，故C错误； 由，解得， 所以函数的增区间为， 所以为函数的一个单调递增区间，故D正确. 故选：D 2．（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个. 故选：B 3．（24-25高一下·重庆·月考）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成的，其函数为，则（   ） A． B．的最大值为6 C．的最小正周期为 D．在上单调递增 【答案】D 【分析】首先代入，即可判断A；再分别根据函数，，的性质，判断B、C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，当，时，函数取得最大值1， ，当，时，函数取得最大值， ，当，时，函数取得最大值，由， 但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误； 对于C：的最小正周期为，的最小正周期为， 的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误； 对于D：当时，，， 所以函数，，在都是单调递增函数， 则函数在上是增函数，故D正确. 故选：D 4．（2025·天津河东·二模）关于函数，下列结论不正确的为（    ） A．时，的图象关于对称 B．时，的最小正周期为 C．时，在区间内有两个零点 D．时，在区间上的最大值为 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，当时，求函数的对称轴，判断A，求函数的最小正周期判断B，当时，求方程在区间内的解，判断C，根据不等式性质及正弦函数性质求函数在区间上的最大值，判断D. 【详解】因为， 所以， 当时，， 函数的对称轴方程为，， 所以函数的对称轴方程为，， 取可得，是函数的图象的一条对称轴，A正确； 函数的最小正周期，B正确； 当时，， 令可得，所以， 所以，，所以，， 所以函数在内的零点有，，，C错误； 由，可得， 所以，故， 所以时，在区间上的最大值为，此时，D正确. 故选：C. 5．（24-25高一上·天津河西·期末）若函数，则下列说法中错误的是（    ） A．的最小正周期是 B．的图象的一条对称轴为 C．当时，的取值范围是 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的值域可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由可得， 当时，，所以，函数的图象的一条对称轴为，B对； 对于C选项，当时，，， 则，C错； 对于D选项，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，D对. 故选：C. 题型4 根据正弦函数的综合性质求参 1．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，再由函数在区间上单调得到，最后根据函数在上有且仅有4个零点，即可求出. 【详解】且， 故函数关于对称，且函数在取得最值， 又函数在区间上单调，， 令，则 ，当时， 函数在上有且仅有4个零点，且 ，即 把代入得， 综上，的取值范围为. 故选：D. 2．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间上单调，，且在区间上恰有4个零点，则 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据，结合函数单调性得为函数的一个对称中心，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合零点的个数，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，， 所以的一个对称中心为，故， 因为，函数在区间上单调， 所以函数在区间上单调， 设函数的最小正周期为，则，即， 因为在区间上恰有4个零点，恰好为第一个零点， 所以，即，解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：； 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由给定的零点及对称轴，结合五点法作图可得，再由单调区间确定值，然后分类讨论求出值即可得的最大值. 【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是， 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，函数在上不单调，不符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意， 因此或，所以的最大值为6. 故答案为：6 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 正弦函数的图像与性质 题型1 五点法画正弦函数图像 1．（25-26高一下·全国·课前预习）利用：“五点法”作函数在一个周期的图像，请根据下表填写所取“五点”对应的值. 0 x               y 0 0 0 2．（25-26高一下·全国·随堂练习）在区间上画出函数的图象，并根据图象和解析式讨论函数性质. 3．（25-26高一下·全国·课前预习）五点（画图）法 （1）在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是 ， ， ， ， ． （2）用“五点法”作函数，的大致图象，所取的五点是 ． 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图是半径为1m的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一动点，按逆时针方向以角速度（每秒绕圆心转动）做圆周运动，已知点的初始位置为，且，设点的纵坐标是转动时间（单位：）的函数，记为.    (1)求，的值，并写出函数的解析式； (2)请将下表中数据补充完整，填写在相应位置，并用描点法画出在上的简图； 0 1 6 0 (3)试比较，，的大小. 5．（25-26高一·全国·假期作业）正弦函数的图象中，五个关键点是：， ，. 题型2 求含正弦函数的定义域 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数的定义域为 ． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的定义域． 题型3 求正弦函数单调区间 1．（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型4 求正弦函数奇偶性与周期 1．（2025·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2．（24-25高一下·北京昌平·期末）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 4．（2026高三·全国·专题练习）函数是（ ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 题型5 求正弦函数的对称性 1．（2026高二上·云南·学业考试）下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建漳州·月考）函数图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·模拟预测）已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 题型1 根据正弦函数单调性比较大小 1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江·月考）已知函数，设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数的最小正周期为，当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 题型2 求正弦函数的最值或值域 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）函数（）的最大值为 ． 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若，则实数的取值范围是 . 3．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）函数，的值域为 . 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则函数的最小值为 ． 题型3 根据正弦函数单调性求参 1．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·上海虹口·月考）若函数在是单调的，则的最大值为 ． 3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 4．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 题型4 根据正弦函数的奇偶性求参 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，为偶函数，则的值为（   ） A． B．π C． D．或 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数，若是偶函数，则 ． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 5．（25-26高一上·广西崇左·期末）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型5 根据正弦函数的对称性求参 1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 2．（25-26高一上·山西·月考）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 3．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知函数，若，则满足条件的一组取值可以是 ， ． 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数的图象关于点中心对称，则的值不可能为（    ） A．-1 B． C． D．1 题型1 含绝对值的正弦函数图像性质 1．（25-26高一上·天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则正实数的最小值为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） ①的最小正周期为；     ②关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上恰有7个不同的实数根 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·西藏拉萨·一模）若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 题型2 根据正弦函数的交点或者零点求参 1．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为 . 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）当时，曲线与有3个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）函数恰好有两个零点，则的范围是 ． 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东广州·期末）若函数有个零点，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 正弦函数的综合性质 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的最小值为 D．函数的一个单调递增区间是 2．（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一下·重庆·月考）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成的，其函数为，则（   ） A． B．的最大值为6 C．的最小正周期为 D．在上单调递增 4．（2025·天津河东·二模）关于函数，下列结论不正确的为（    ） A．时，的图象关于对称 B．时，的最小正周期为 C．时，在区间内有两个零点 D．时，在区间上的最大值为 5．（24-25高一上·天津河西·期末）若函数，则下列说法中错误的是（    ） A．的最小正周期是 B．的图象的一条对称轴为 C．当时，的取值范围是 D．在区间上单调递增 题型4 根据正弦函数的综合性质求参 1．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间上单调，，且在区间上恰有4个零点，则 ，的取值范围为 . 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为 ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $