精品解析：甘肃陇南市西和县晒经乡九年制学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

陇南市2026-2027学年第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程就是‌只含有一个未知数、未知数最高次数是的整式方程‌． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故不是一元二次方程； B、不是整式方程，故不是一元二次方程； C、符合一元二次方程的定义； D、中未知数的最高次数不是，故不是一元二次方程． 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后，给等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可解答． 【详解】解：移项，得． 两边同时加，得． 即． 3. 下列各点中，在函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，∴点不在函数图像上，选项A不符合题意； ∵，∴点不在函数图像上，选项B不符合题意； ∵，∴点在函数图像上，选项C符合题意； ∵，∴点不在函数图像上，选项D不符合题意． 4. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 5. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟记平移规律是解题的关键． 根据抛物线平移规则，“左加右减”针对x，“上加下减”针对常数项，即可解答． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移3个单位可得； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移2个单位可得． 故选：A． 6. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入变形即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， ∴． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 8. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 9. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤当时，，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得，，，可判断①；根据图象可得抛物线与轴有两个交点，可判断②；用表示，可判断③；抛物线开口向下，抛物线上的点越靠近对称轴，函数值越大，据此可判断④；求出抛物线与轴的另一个交点，可判断⑤． 【详解】解：根据图象可得抛物线开口向下，与轴交于正半轴， 则，， 对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 根据图象可得抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 图象过点， ， ， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下， 抛物线上的点越靠近对称轴，函数值越大， ，， ， 到对称轴的距离比到对称轴的距离大， ，故④错误； 图象过点，对称轴为直线， 根据轴对称的性质可得图象过点， 抛物线开口向下， 当时，，故⑤正确． 综上，其中正确的结论是②③⑤． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，确定对应各项的系数，再计算二次项系数、一次项系数、常数项的和． 【详解】解：∵方程已经是一元二次方程的一般形式． ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． ∴三者的和为． 12. 下表是某同学求代数式（a，b为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于x的一元二次方程的一个根为______． x … 0 1 2 3 … … 0 3 8 15 … 【答案】2 【解析】 【分析】将目标方程变形为，从表格中定位代数式取值为8时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：∵ 方程等价于， ∴ 满足该等式的值就是方程的根， 根据表格对应数据：当时，， ∴ 是该方程的一个根． 13. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入求值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 14. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过点A作轴，垂足为B．若的面积为3，则______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∵反比例函数图像过第一象限， ∴． 15. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距x（米）的反比例函数，其图象如图所示，小明经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则他的眼镜度数减少了______度． 【答案】150 【解析】 【分析】求得反比例函数的解析式，再代入求值，相减即可． 【详解】解：近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数， 设， 把代入可得， 解得， ， 把代入可得， ， 则他的眼镜度数减少了度． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用配方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ，． 18. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ，． 19. 老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题： ．下面是小明的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） （1）小明的解题方法是从第______步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确地解出这道题． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：当时，两边不能同时约去，小明没考虑这个情况， 小明的解题方法是从第一步开始出现错误的； 【小问2详解】 解： ， ， ∴或， ∴，． 20. 已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【答案】证明：对于二次函数， 当时，， 这个关于的一元二次方程根的判别式为 ， ∴无论为何实数值，这个方程总有实数根， ∴无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 【解析】 【分析】利用这个二次函数对应的一元二次方程根的判别式可得无论为何实数值，这个方程总有实数根，由此即可得证． 【详解】略． 21. 已知点在反比例函数的图象上． （1）a的值为______； （2）点，在反比例函数的图象上，比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由（1）可知反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限中，y的值随x的增大而增大，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图像上 ∴把点代入 得 解得； 【小问2详解】 解：反比例函数的解析式为． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限中，y的值随x的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 22. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）M为抛物线上一点，若的面积是8，求此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）根据三角形的面积公式求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，， ∴， ∴的面积， ∴或， 当时，解得， ∴； 当，此时为抛物线的顶点即； 综上：或. 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 24. 综合与实践 掷实心球是中招体育考试的选考项目，某数学兴趣小组发现实心球行进路线是抛物线的一部分．如图是一名男生掷实心球的情境，实心球行进高度y（m）与其在行进过程中与抛出点的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，抛出时起点处高度为，当实心球与抛出点的水平距离为时，其行进至最高点处． （1）求实心球行进高度y（m）与在行进过程中与抛出点的水平距离x（m）之间的函数解析式； （2）根据中招体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从抛出点到落地点的水平距离大于或等于，此项考试得分为满分10分．问该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能得满分，理由如下： 由题意，令， 解得或（不合题意，舍去）． ∴实心球从抛出点到落地点的水平距离为． ∵， ∴该男生在此项考试中不能得满分． 【解析】 【分析】（1）由题意，得到抛物线的顶点为，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出自变量的值，进行判断即可； 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴可设函数解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴实心球行进高度y（m）与其在行进过程中与抛出点的水平距离x（m）之间的函数解析式为． 【小问2详解】 略 25. 阅读与思考 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“合和点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合和点”． （1）已知点，，点T是点A，B的“合和点”，求出点的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合和点”，试求出y关于x的函数表达式． 【答案】（1）点T的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“合和点”的定义直接进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，点满足，， ∴点T的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上一点， ∴， ∵点是点A，B的“合和点”， ∴， 将①变形得，， 代入②得，． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； （3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 【答案】（1） （2）或． （3）或 【解析】 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于数形结合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴， ， 设， 由题意， 解得， ∴或． 【小问3详解】 解：观察图象可得：不等式的解集为：或． 27. 如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为． （1）求该二次函数的关系式； （2）是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的值有最大值，此时点的坐标为 （3）存在，的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： 【小问2详解】 作轴交于，如图， 设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 【小问3详解】 ∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇南市2026-2027学年第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，所有试题均要求在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤当时，，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． 12. 下表是某同学求代数式（a，b为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于x的一元二次方程的一个根为______． x … 0 1 2 3 … … 0 3 8 15 … 13. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______． 14. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过点A作轴，垂足为B．若的面积为3，则______． 15. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距x（米）的反比例函数，其图象如图所示，小明经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则他的眼镜度数减少了______度． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 用配方法解方程：． 18. 用公式法解方程：． 19. 老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题： ．下面是小明的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） （1）小明的解题方法是从第______步开始出现错误的； （2）请你用因式分解法正确地解出这道题． 20. 已知二次函数（是常数），求证：无论为何实数值，该二次函数图象与轴一定有交点． 21. 已知点在反比例函数的图象上． （1）a的值为______； （2）点，在反比例函数的图象上，比较，的大小． 22. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）M为抛物线上一点，若的面积是8，求此时点M的坐标． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 24. 综合与实践 掷实心球是中招体育考试的选考项目，某数学兴趣小组发现实心球行进路线是抛物线的一部分．如图是一名男生掷实心球的情境，实心球行进高度y（m）与其在行进过程中与抛出点的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，抛出时起点处高度为，当实心球与抛出点的水平距离为时，其行进至最高点处． （1）求实心球行进高度y（m）与在行进过程中与抛出点的水平距离x（m）之间的函数解析式； （2）根据中招体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从抛出点到落地点的水平距离大于或等于，此项考试得分为满分10分．问该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由． 25. 阅读与思考 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点T是点A，B的“合和点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合和点”． （1）已知点，，点T是点A，B的“合和点”，求出点的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合和点”，试求出y关于x的函数表达式． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； （3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 27. 如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为． （1）求该二次函数的关系式； （2）是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $