精品解析：甘肃省陇南市西和县2025-2026学年九年级上学期周期学业能力评鉴数学试卷

2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称以及中心对称，根据轴对称以及中心对称的定义依次判断选项即可．　 【详解】A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标都互为相反数，即点关于原点对称的点的坐标为，直接计算即可得出结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均取相反数．因此，对称后的坐标为，对应选项B．其他选项均不符合原点对称的坐标变化规律． 故选：B． 3. 抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线y＝x2﹣4，是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4）， 故选：A． 【点睛】本题是对抛物线顶点坐标的考查，熟练掌握抛物线解析式的顶点式的顶点坐标是解决本题的关键. 4. 如图，绕点A逆时针旋转后得到，点D落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转的性质可知，旋转前后对应角相等、对应边相等，利用这些性质结合三角形内角和定理来求解的度数即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键， 根据中心对称图形的特点得到，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D ． 6. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … -5 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 7. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 8. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 9. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 10. 已知二次函数． （1）根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； … 0 1 2 3 … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 【答案】（1） 解： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2） 解：根据上表，画出这个二次函数的图象： （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）直接根据函数图象得出y的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据表格图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】 （1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 13. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 14. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线，确定动点轨迹是解题的关键．在上截取，连接，先证明，再证明，得到，故当时，最小，则． 【详解】解：在上截取，连接，     由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，如图：     ∵, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期周期学业能力评鉴 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 4. 如图，绕点A逆时针旋转后得到，点D落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（　　） A. 3 B. 5 C. D. 6. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … -5 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 7. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 8. 方程的解是______． 9. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 10. 已知二次函数． （1）根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； … 0 1 2 3 … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 11. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 13. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 14. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $