专题04 相似三角形的判定与性质［挑战压轴题］导图知识卡片+11个题型讲练+优选题拔尖练2026-2027学年北师大版数学九年级上册典型题培优系列

专题04 相似三角形的判定与性质［挑战压轴题］ 「思维导图+11个题型讲练+优选题拔尖练 共48题」 【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 【高频压轴题型举一反三变式训练】 2 题型一 由平行判断成比例的线段 2 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 3 题型三 利用平行判定相似 4 题型四 证明三角形的对应线段成比例 5 题型五 利用相似三角形的性质求解 7 题型六 相似三角形的判定与性质综合 9 题型七 利用相似求坐标 10 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 14 题型九 相似三角形动点问题 16 题型十 相似三角形实际应用 18 题型十一 相似三角形的综合问题 20 【优选题拔尖练】 22 题型一 由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，，，． (1)填空：的值为______； (2)若，求的长． 【变式训练1】请阅读以下材料，并完成相应的问题． 证明角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作．交的延长线于E．… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)结论应用：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是_________； (3)如图4，已知四边形，，，，，对角线相交于点E，则的周长是_________． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，已知直线、分别交直线于点A，C，E，B，D，F，，则为（     ） A． B． C．6 D． 【变式训练1】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 【变式训练2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，，则下列结论中正确的有__________． ①四边形是矩形．②．③．④当时，点是上的一动点，则的最小值为． 题型三 利用平行判定相似 【典例精讲】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． (1)求证：． (2)如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． (3)如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求的值． 题型四 证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【变式训练1】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图1，梯形，， (1)若延长，交于点，过点的一条直线交、于点、（如图2），则线段、、、之间必有如下比例式：（结论1），请证明此结论； (2)简单模仿： 若连接、交于点，过点的一条直线交、于点、（如图3），请直接写出线段、、、之间必成立的比例式：________（结论2） (3)拓展应用： 请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线（直线与梯形上下底的交点分别为点和点），该直线把梯形的面积平分，并说明理由．（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论） 【变式训练2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，且，动点从点出发沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动．连接，，过点作的平行线交射线于点，设点的运动时间为秒（不考虑，，在一条直线上的情况）．    (1)当时，求的长； (2)当时，求证； (3)当时，若与相似，求的值； (4)过点作，交于点，当不小于时，直接写出点运动的时长． 题型五 利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，． (1)求的长； (2)运用你所学过的知识，求． 【变式训练1】（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，．点E、F分别在线段、上，且，连接、交于点P，若与的面积比为，则的所有可能长度为_________． 【变式训练2】（26-27九年级上·四川宜宾·期中）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动．请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则__________；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点在线段上，，，则的度数为__________； (2)应用规律： 如图3，点，，，在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 题型六 相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 【变式训练1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是正方形，点在对角线的延长线上，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，分别交于点，交于点． (1)直接写出和的数量关系_________； (2)猜想的形状，请说明理由； (3)若，，求的值． 【变式训练2】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，且，点在内部，，，． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，以为边作菱形，延长交于点，交边于点，且为的中点，求菱形的面积． (3)如图3，当时，点在线段上，且，求的长． 题型七 利用相似求坐标 【典例精讲】（26-27九年级上·湖南湘潭·期中）教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本页有这样一道练习题： 如图，在中，，，垂足为．找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴① ∵ ∴(依据② ) ∴③ ∴ 请完成填空：①______；②依据是______；③______； (2)数学兴趣小组的同学又对本题提出猜想：．请判断猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． (3)结论运用：如教材上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点坐标为______； (4)拓展提升：如图，在中，，，垂足为为线段上一点，连接并延长至点，连接．若，，，求的长． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【变式训练2】（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（26-27九年级上·河北张家口·期中）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形边长为，其顶点称为格点，的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，保留作图痕迹： (1)在图①中画出，使与相似，且相似比为； (2)在图②的边上找一点，使． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B，C均为格点，请利用正方形网格及无刻度的直尺画出符合条件的图形（保留必要的痕迹）． (1)在图1中，画出，使得，相似比是． (2)在图2中，过点A作边上的高． 题型九 相似三角形动点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，点是的中点，连接，，动点从点出发沿边运动，速度为，到点停止，动点从点出发沿边运动，速度为，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，； (2)在运动过程中，点，，组成的三角形能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式训练1】（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿的方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为（单位：），解答下列问题： (1)___________；___________；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【变式训练2】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)当t取何值时，四边形的面积等于； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十 相似三角形实际应用 【典例精讲】（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践： 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上，现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【变式训练1】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）海宝塔，俗称北塔，坐落于银川市北塔湖（海宝公园）内，是全国重点文物保护单位．相传始建于北朝时期，现存塔体为清代乾隆年间地震后重修，造型独特，是宁夏知名的古代佛塔．湖畔中学数学兴趣小组的同学决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量北塔的高度．北塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且北塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上． (1)根据题意，证明 ，写出对应边成比例的关系式． (2)请你根据以上测量数据，如果设，帮助兴趣小组求出北塔的高度． 【变式训练2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 题型十一 相似三角形的综合问题 【典例精讲】如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【变式训练2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 1．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，，，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（     ） A．95 B．96 C．97 D．98 4．（26-27九年级上·陕西西安·期中）将矩形和矩形按照如图所示的方式摆放，其中，，连接，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江西抚州·期中）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）已知：中，点、分别在和上，且，，则________． 7．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形中，对角线和交于点，点为上一点，，连接并延长交于点，连接，，且，交于点，若，，则的长为________． 8．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，， ，则的长为________． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形为菱形，对角线、交于点，是的中点，连接并延长交于点，下列结论：①；②；③；④若的面积为2，则菱形的面积为48，其中正确的有___________．（填所有正确结论的序号） 10．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，是斜边上的高线，过边上的点作，，过边上的点作，．若，，则的长为___________． 11．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，与相交于点，且，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 12．（26-27九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，过边的中点作的垂线，交于点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 13．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如图，在中，，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图3，若，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 14．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，点在边上，将沿折叠，使点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当时，点在延长线上，若，，求的长； (3)如图，当时，点在边上，若，求出的值． 15．（26-27九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)【特例感知】 如图1，当时，点在延长线上，求证：； (2)【问题探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； (3)【拓展延伸】 如图2，当时，点在边上，若，直接写出的值，的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」 专题04相似三角形的判定与性质[挑战压轴题] 「思维导图+11个题型讲练+优选题拔尖练共48题」 【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版)】 山且录导航」 【高频压轴题型举一反三变式训练】 ….2 题型一由平行判断成比例的线段.… 题型二由平行截线求相关线段的长或比值 3 题型三利用平行判定相似...... 又 题型四证明三角形的对应线段成比例 题型五利用相似三角形的性质求解. 7 题型六相似三角形的判定与性质综合… …9 题型七利用相似求坐标. 10 题型八在网格中画与已知三角形相似的三角形 14 题型九相似三角形动点问题 16 题型十相似三角形实际应用.·· 18 题型十一相似三角形的综合问题 20 【优选题拔尖练】 22 昌山思维导图技巧点拨 ①两角分别相等的两个三角形相似 己知：∠A=∠.∠B=∠B 学习目标 相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形 求证：△ABC∽△ABrC 表示：△ABC∽△M'BC 1,掌握相似三角形的三条判定定理 2.远用相似三角形的性质解决问题： (对应角：∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C 3.能解决与相似三角形有关的棕合问题 ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 相似三角 相似三角形模型图： 求证：△ABC△ABC 本概念与模型 D 的判定定 对应边平行（或共线） 对应边共线（气延长线 ③三边成比例的两个三角形相似 已知： AB BC B 挑战压轴题专题04 ①测量问题（不可直接测量） 求证 利用构造相似三角形，转化为可测量的线段。 相似三角形的 。对应边减比例 判定与性质 若△ABC∽△ABC,相似比为太 2面积问题 应边成比例！ 相以三角影名积比等子相银比的平方 对应角相等 角形的 若△4BC△ABC,相似比为 角 ∠A=∠A∠B=∠B,∠C=∠C 对应角相等 自周长的等于榴比 压轴题解题技巧 ③实际问题 △ABC∽△A'BC,相似比为k, 周长比等于相似此： Q面积的此等于相拟比的平方 2构流相似模型：通过作平行线、廷长找。我取线段等方法 例：测高度，测距高分找段成比例等。 把复杂问题转化为相似三角形问随。 ☆ 期△分仁，和比为面积比等于相比的平为 3灵活运用性质：根据题目需束，选择比创式。面积比 数学好玩 易错点拨 生考中处处有三角形 周长比等性项建立方程或比例解 1,对应关系错误：判定相似时，对应填点一一对应，不可随意对应 2.比例式书写错误：书写比倒式时注意顺序一致，进免“交义相来”得误 ☆核心总结 5.检龄与反思：解题后注意检验答案的合理性，反思解通 3,相似批与线段此混清：相粼比是对应边的比，不是任意边的比 相似三角形判定是基础，性质是工具，应用是目的。 题思路是吾最优 4面积比公式记错：面积比等于相似此的平方，不能当成相似比本身 练提判定定理灵活运用性质，才能攻克压轴题！自 5.忽视隐含条件：如平行线。角平分线等隐含条件，客易遗漏 A 记住：图形相似。思相通，方法得当，问题不难 第1页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 售山高频压轴题型举二反三李式训练 题型一由平行判断成比例的线段 【典例精讲】(26-27九年级上·山东青岛·期中)如图，l1Il2I3,AB=2,BC=3. B C F (1)填空：器的值为.一一： (2)若DF=12,求EF的长. 【变式训练1】请阅读以下材料，并完成相应的问题. 证明角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则=D AC CD E D D 图1 图2 图1 图4 下面是这个定理的部分证明过程 证明：如图2，过C作CE‖DA.交BA的延长线于E.… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)结论应用：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,则△ABD的周 长是 (3)如图4，己知四边形ABCD,∠BCD=∠BAD=90,BC=CD,AB=4,AD=3,对角线AC、BD相交 于点E,则△AED的周长是 第2页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 【变式训练2】(25-26八年级下·浙江绍兴·期末)平行四边形ABCD的面积为60，点E,H在边AD上， 点F,G在边BC上，EFI‖HG II AB,连接对角线BD,分别交EF,HG于点N,Q,连结AQ交EF于点M连结CN, CQ,若AE=EH=HD,则图中△BMQ与△CNQ的面积和为 E H D B F G 题型二由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】(26-27九年级上·四川成都·期中)如图，己知直线a∥b∥c、分别交直线m,n于点A,C,E, B,D,F,AC=4,CE=6,DB=3,则BF为( n B Db A号 a.9 C.6 n月 【变式训练1】(26-27九年级上·河南南阳·阶段检测)如图，☐ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E 的直线MN分别交边AB,BC于点F,G,交射线DA,DC于点M,N.若MF=3,EF=2,则EG·EN的值为 【变式训练2】(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,AC=BD,延长BC至点C,连接DG,∠CDG=∠A0B,点E为DC的中点，连接OE交CD于点F, A0=5EF,则下列结论中正确的有 ①四边形ABCD是矩形.②BD=BG.③OF:BG=2:5.④当DE=V10时，点Q是DG上的一动点，则AQ+BQ 的最小值为历 3 第3页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」 D B G 题型三利用平行判定相似 【典例精讲】(2O26·浙江杭州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AD II BC,直线EF分别交DA,BC 的延长线于点E,P,分别交AB,BD,DC于点G,H,,已知BG=GH=H1=IP,求铝的值. 【变式训练1】(25-26九年级上·广东梅州·阶段检测)综合与探究：如图①，己知四边形ABCD是正 方形，点E,F分别在边BC,CD上，AE=BF,AE⊥BF,AE与BF交于点O. M O B H E B H E 图① 图② 图③ (1)求证：BE=CF. ②如图②，若日是边BC的中点，连接D0并延长交BC于点片求的值. (3)如图③，在(2)的条件下，延长BF交AD的延长线于点M若BH=1,求OM的长 第4页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,点E在边AB 上（点E与端点A、B不重合），连接DE,过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于点F,连接EF,与对角线AC、 边CD分别交于点G、H.设AE=x,DH=y. B (1)求证：△ADE~△CDF: (2)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域： (3)连接BG,当△BGE与△DEH相似时，求x的值. 题型四证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后， 对三角形的相似进行了深入研究.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D. D 图1 图2 (1)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB.理由如下： .∠ACB=90° ∠A+∠B=90° .∠A=∠A△ CD⊥AB ABC∽△ACD ·∠ADC=90° .9=_② AC ∴.∠A+∠ACD=90° .AC2=AD·AB. ·.∠B=_① 请完成填空：①】 ② 第5页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E连接CE,当∠ACE=∠AFC时， ①若AF=2,AC=3,求S△ACB:S△AFC的值； ②求证：5=4” AB AE 【变式训练1】(26-27九年级上·上海浦东新·期中)已知：如图1，梯形ABCD,AD II BC, B 图1 图2 图3 (1)若延长BA,CD交于点G,过点G的一条直线交AD、BC于点E、F(如图2)，则线段AE、ED、BF、FC 之间必有如下比例式：铝=是（结论1），请证明此结论； (2)简单模仿： 若连接AC、BD交于点G,过点G的一条直线交AD、BC于点E、F(如图3)，请直接写出线段AE、ED、BF、 FC之间必成立的比例式： (结论2) (3)拓展应用： 请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线EF(直线与梯形上下底的交点分别为点E和点F)，该直线把 梯形ABCD的面积平分，并说明理由.（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论） 第6页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 【变式训练2】(23-24九年级上·河北邯郸·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=9,E为BC 上一点，且BE=4,动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位长度的速度运动.连接DF,EF,过点E 作DF的平行线交射线AB于点H,设点F的运动时间为t秒（不考虑D,E,F在一条直线上的情况）， BH ◇ 备用图 (1)当AF=CE时，求BH的长； (2)当t=2时，求证△DAF△FBE: (3)当t>2时，若△BEF与△BEH相似，求t的值： (4)过点F作FG1DF,交BC于点G,当EG不小于2时，直接写出点F运动的时长. 题型五利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】(26-27九年级上广西贵港·期中)如图，D,E分别在△ABC的边BA,CA的延长线上，DE II BC, AD=3,AB=5,DE=5,SAABC=50. E B (1)求BC的长； (2)运用你所学过的知识，求S△4DE: 第7页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 【变式训练1】(26-27九年级上·广东深圳·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8.点R、F 分别在线段AB、BC上，且AE=CF,连接DE、AF交于点P,若△ABP与△DCP的面积比为3：20，则DE的 所有可能长度为 P F B 【变式训练2】(26-27九年级上·四川宜宾·期中)综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了 数学探究活动.请解决下列问题： 图1 图3 图4 (1)探究规律： ①如图1，∠A=∠B=∠ECF=90°，则△ACE △BFC;(填“∽”或“≌”，且直接填写) ②如图2，点C在线段AB上，∠A=∠B=60°，△ACE~△BFC,则∠ECF的度数为 (2)应用规律： 如图3，点A,D,C,B在同一条直线上，∠EGF=∠A=∠B,求证：△ACE∽△BFD: (3)拓展应用： 如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1,CD=2,BC=2V5,AB=5,求线段BD的长， 第8页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 题型六相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】(26-27九年级上·广东深圳·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，E为CD 中点，过点C作CF II AB交AE延长线于点F,连接BF. (1)证明：四边形DCFB为菱形； (2)AF与BC相交于点G,若AC=12,BF=10,求GC的长. 【变式训练1】(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)如图，四边形ABCD是正方形，点P在对角线BD的延 长线上，连接AP,CP,过点P作PE1AP,交BC的延长线于点E,过点C作CF L PC,分别交AB于点F,交BD 于点H. ☑ B C E (1)直接写出PA和PC的数量关系 (2)猜想△PCE的形状，请说明理由： (③)若BD=3DP,BP=8N2,求的值. 第9页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」 【变式训练2】(26-27九年级上·四川成都·期中)如图，已知△ABC,AB=AC,且AB=AC=nBC(n≥1)， 点D在△ABC内部，AD⊥CD,∠ADB=2∠ABC,BD=2. D H 图1 图2 图3 (1)如图1，当n=1时，求证：△ABQ△BDQ; (2)如图2，当n=1时，以AB为边作菱形ABEC,延长AD交BC于点Q,交边BE于点M,且M为BE的中点， 求菱形ABEC的面积， (③)如图3，当n=时，点H在线段AD上，且AH=DB,求Ac的长. 题型七利用相似求坐标 【典例精讲】(26-27九年级上·湖南湘潭·期中)教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本67页有这 样一道练习题： 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D.找出图中所有的相似三角形，并说明理由. 第10页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 D (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出AC2=AD·AB,理由如下： ,∠ACB=90° .∠A+∠B=90° ,∠A=∠A ,CD⊥AB ∴.△ABC∽△ACD(依据②) ∴.∠ADC=90° 是-@ ∴.∠A+∠ACD=90° .AC2=AD·AB ∴∠B=① 请完成填空：①】 ；②依据是 ③ (2)数学兴趣小组的同学又对本题提出猜想：CD2=AD·BD.请判断猜想是否正确，如果正确，请证明： 如果不正确，请说明理由. (3)结论运用：如教材上图，若以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点，当A(-V3,0), C(0,2)时，则点B坐标为一一一； (4)拓展提升：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D,F为线段CD上一点，连接AF并延长 至点E,连接CE.若∠ACF=∠AEC,AE=6,BE=2,求AB的长. 第11页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教杜」 【变式训练1】(25-26八年级下·山东烟台·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分 别交于点A、点B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C点D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一 元二次方程x2-18x+72=0的两根(0A>0C),BE=5,0B=40A E D (1)求点AC的坐标： (2)求直线CD的解析式： (3)在x轴上是否存在点P,使以点CRP为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标： 如不存在，请说明理由. 第12页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 【变式训练2】(26-27九年级上·上海虹口·阶段检测)材料一：课本47页告诉我们一个基本结论一 平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图 将线段三等分”的方法. 已知：线段AB,如图1. 求作：点C点D,使点CD在线段AB上，且AC=CD=BD 作法：①作射线AO.(如图2)： ②在射线AO上依次截取线段AM、MN、NL,使AM=MN=NL,连接LB; ③分别过点MN作平行于LB的直线交AB于点CD.则点CD为所求的点， D B 图1 图2 图3 【问题解决】 (1)如图3，在△ABC中，点DF在AB上，R、G在AC上，DE IFGI‖BC.若AD=2,AE=1,DF=6,则 EG-_, 一一器 GC_ (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线AC对折一 次，得到图5，对角线AC分别与折痕EH、FI、G的交点K、L、M即为对角线AC的四等分点.请在图5中画 出AB的三等分点W(不写作法，保留作图痕迹) AE FGB A 图4 图5 (3)如图6，AO是△ABC的一条中线.用与上面不同的方法，用尺规作图作出AO的一个三等分点N,使得A0= 30N.(不写作法，保留作图痕迹) 第13页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 B 图6 图7 (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A(2,3)和B(8,-1).设点P是线段AB的一点， 且AP:PB=k:1,请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）· 题型八在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】(26-27九年级上·河北张家口·期中)图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形 边长为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上.请仅用无刻度直尺按下列要求作图，保留作图痕迹： 的 图① 图② (1)在图①中画出△ADE,使△ADE与△ABC相似，且相似比为2： (2在图②的BC边上找一点F,使S△ABc=3S△ABF, 第14页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」 【变式训练1】(25-26八年级下·江苏苏州·期末)如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，A、B、C、 D均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段AD与BC交于点P 图1 图2 图3 (①)图1中路的值为 (2)请仅用无刻度的直尺作图. ①请在图2中以线段BD为一边，画一个格点△DBE,使它与△ABC相似： ②请在图3中画一个最大的格点△A1B1C1,使它与△ABC相似. 【变式训练2】(25-26九年级上·浙江金华·阶段检测)如图，在6×6的正方形网格中，A,B,C均为 格点，请利用正方形网格及无刻度的直尺画出符合条件的图形（保留必要的痕迹）· B B (图1) (图2) (1)在图1中，画出△ADE,使得△ADE∽△ABC,相似比是1：2. (2)在图2中，过点A作BC边上的高AD. 第15页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜」 题型九相似三角形动点问题 【典例精讲】(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10V7cm, 点D是AB的中点，连接CD,CD=20cm,动点E从点A出发沿AD边运动，速度为4Cm/s,到点D停止，动点 F从点C出发沿CA边运动，速度为3cm/s,当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t(s) D F (1)当t为何值时，EF CD: (2)在运动过程中，点A,E,F组成的三角形能否与△CFD相似？若能，求出CF的长；若不能，请说明理由. 【变式训练1】(26-27九年级上·湖南永州·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm, 点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s,同时点Q由A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速 度为1cm/s,连接PQ.设运动的时间为t(单位：s)(0<t≤8)，解答下列问题： B B P Q←—A 备用图1 备用图2 (1)AP= AQ (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？ 第16页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 【变式训练2】(26-27九年级上·山东青岛·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,点P 从点B出发，沿BA方向匀速运动，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，两点同时出发，速度均为1cms, 设运动时间为t(s)(0<t<4). D P一B (1)当△ABD∽△PBQ时，求t的值： 2)当t取何值时，四边形PBCQ的面积等于号cm2: (3)是否存在某一时刻t,使CQ1PQ？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由 第17页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 题型十相似三角形实际应用 【典例精讲】(26-27九年级上·贵州铜仁·期中)综合与实践： 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 探究晒衣架的相关问题 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面 示意图，立杆AB,CD相交于点O,B、D两点置于地面 上，现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链 EF成一条直线起稳固作用，且EF∥BD. 模型抽象 活动过程 B 过点O作OG L BD于点G,交EF于点H,经测量与比对， 数据信息 有0C=80cm,0D=120cm,8治-=子20E=EB, 0H=24cm. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接AC,求证：ACI‖BD: (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到118cm,则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明. 第18页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 【变式训练1】(26-27九年级上·宁夏银川·期中)海宝塔，俗称北塔，坐落于银川市北塔湖（海宝公园） 内，是全国重点文物保护单位.相传始建于北朝时期，现存塔体为清代乾隆年间地震后重修，造型独特， 是宁夏知名的古代佛塔，湖畔中学数学兴趣小组的同学决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行 测量的原理，来测量北塔的高度.北塔的高度为AB,选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂 直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为46m,并且北塔AB、标杆EF和GH在同一竖直 平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED=2m),从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退 4m到C处（即CG=4m),从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上. H B E D G (1)根据题意，证明△FED~△ABD,写出对应边成比例的关系式， (2)请你根据以上测量数据，如果设BD=xm,帮助兴趣小组求出北塔AB的高度. 【变式训练2】(26-27九年级上·陕西西安·阶段检测)西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某 数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板CEF,CE1EF,使得CE=02米， EF=01米，小华手持三角板调整角度，使长直角边CE与水平地面BD平行，当她站在D处时其眼睛在C处， 此时看到C,F及城墙顶端A在一条直线上，小亮在B,D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当 平面镜在点G处时，小华在D处恰好能从平面镜中看到城墙顶端A的像，通过测量发现，CD=1.6米，DG=2.4 米，求城墙AB的高度， B G 第19页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 题型十一相似三角形的综合问题 【典例精讲】如图，△ABC是等边三角形，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转 90°，得到线段EF,当D点运动时，若AF的最小值为2√5+2，那么等边三角形△ABC的边长为( A B A.10 B.8 C.6 D.4 【变式训练1】【问题背景】(1)如图1，∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC,AD=DE.求证：BE=V2CD; 【变式迁移】(2)如图2，E为正方形ABCD外一点，∠E=45°，过点D作DF1BE,垂足为F,连接CR求 2票的值： 【拓展创新】(3)如图3，A是△BEF内一点，BE=BF,AF=V6,∠EAB=90°，∠FEA=∠BFA,AE=2AB, 直接写出AB的长. B 图1 图2 图3 第20页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 【变式训练2】(2025九年级上·全国·专题练习)如图①，已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB 上方旋转，连接BC,以BC为边在BC上方作Rt△BDC,且∠DBC=30. D D B 图① 图② (1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE,用等式表 示线段AC与DE的数量关系是 (2)如图②，在(1)的条件下，若DE⊥AB,AB=4,AC=2,求BC的长 第21页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 山优迭题拔尖练 1.(26-27九年级上广西贵港期中)如图，L1‖2Il3,AB=3,DE=5,BC=6,则EF的长度是( A/、D B A.14 B.12 C.10 D.8 2.(26-27九年级上·贵州贵阳·期中)如图，在四边形ABCD中，AB II CD,对角线AC与BD相交于点0.图 中与△DOC一定相似的三角形是( D Q B A.△DOA B.△BOA C.△COB D.△DCB 3.(26-27九年级上·广东深圳·阶段检测)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 Q,点8在BC延长线上，0E与CD相交于点R若∠ACD=2∠0EC,器-各则菱形ABCD的面积为 A.95 B.96 C.97 D.98 4.(26-27九年级上·陕西西安·期中)将矩形ABCD和矩形GCEF按照如图所示的方式摆放，其中AD=CG, CD=GR,连接ED,A.若铝-=手DB=6V万，则AF的长为( ) A.8V7 B.8V2 C.10v7 D.10V2 第22页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜」 5.(26-27九年级上·江西抚州·期中)如图，在正方形ABCD中，F是边BC上一点，连接AF,以AF为对 角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.以下结论错误的是( ) O B A.∠EAB=∠GAD B.∠ADG=45° C.FC=V2DG D.V2AE2=AH·AC 6。(26-7九年级上·辽宁铁岭·期中)已知：△ABC中，点D、E分别在AB和AC上，且DEI8C,号-克 则S△ABC S四边形DBCE 7.(26-27九年级上·辽宁沈阳·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O,点E为BD上一 点，AB=BE,连接并延长AE交CD于点F,连接OF,CE,且OF,CE交于点H,若AB=10,AC=12,则CH 的长为 8.（26-27九年级上·广东深圳·期中)如图，L1Ⅱl2‖l3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为 A/\D F 9.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC、BD交于点O,E是OA 的中点，连接BE并延长交AD于点F,下列结论：①∠DEF=2∠OBE;②DF=3AF;③△AEF∽△CED: ④若△AEF的面积为2，则菱形ABCD的面积为48，其中正确的有」 (填所有正确结论的序号) 第23页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 A E 10.(26-27九年级上·上海浦东新期中)如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，过AB边上的点E作EF1AD EG1BC,过AC边上的点H作HI⊥AD,H1CD.若EF=EG=7,HI=H=5,则AD的长为 E B G D 11.(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)如图，AB与CD相交于点0，且AC∥BD,AE1DC,BF1DC, 垂足分别为E,F D B E (1)求证：AE·BD=AC·BF; ②)若AC=7,BD=4,求器的值. 12.(26-27九年级上·北京顺义·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，过边BC的中点N作BC的垂线， 交AB于点M,点P,Q在射线CA上，PQ=MN. B M P A Q (1)求证：四边形MPQN是平行四边形； (2)若∠CNQ=60°，CN=2,MN=3,求PA的长. 第24页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 13.(26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，以BC为直角 边，向上作Rt△BCD,BD<BC,∠CBD=90°，连接AD,过点A作AE⊥CD交BC于点E,交CD于点F D G E E B E 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=2,∠BDC=∠CAE,求BE的长度； (2)如图2，点G为线段DF上一点，连接AG,若∠BDC=∠AGF,请用等式表示线段AG,BD,CE的数量关 系并证明： (3)如图3，若AB=V2,连接DE,当AD+AE取得最小值时，请直接写出S△ADB的值. 第25页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」 14.(26-27九年级上·上海浦东新·期中)如图，在☐ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使 点B的对应点F落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CEQ∽△FEP; (2)如图2，当CE=BE时，点P在BC延长线上，若CG=3,QG=5,求AB的长： (3)如图3，当CE=2BE时，点P在BC边上，若器=子求出的值. 第26页共27页 2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」 15.(26-27九年级上·辽宁阜新·期中)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F 落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. D E 图2 G 图1 (1)【特例感知】 如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ: (2)【问题探究】 在(1)的条件下，若CG=3.5,GQ=5.5,求AB的长； (3)【拓展延伸】 如图2，当CE=288时，点P在BC边上，若号-是直接写出票的值，二的值. 第27页共27页 专题04 相似三角形的判定与性质［挑战压轴题］ 「思维导图+11个题型讲练+优选题拔尖练 共48题」 【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（解析版）】 【高频压轴题型举一反三变式训练】 2 题型一 由平行判断成比例的线段 2 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 6 题型三 利用平行判定相似 10 题型四 证明三角形的对应线段成比例 15 题型五 利用相似三角形的性质求解 22 题型六 相似三角形的判定与性质综合 26 题型七 利用相似求坐标 35 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 44 题型九 相似三角形动点问题 47 题型十 相似三角形实际应用 53 题型十一 相似三角形的综合问题 57 【优选题拔尖练】 63 题型一 由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，，，． (1)填空：的值为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）用平行线分线段成比例，直接写出对应线段的比值； （2）根据比值设参数，得出，再结合列关系求出． 【规范解答】（1）解： ，，， ． （2）解：据（1）可知，， 设，， 可得， 则． 【变式训练1】请阅读以下材料，并完成相应的问题． 证明角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作．交的延长线于E．… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)结论应用：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是_________； (3)如图4，已知四边形，，，，，对角线相交于点E，则的周长是_________． 【答案】(1)∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【思路引导】（1）先推导出，，得到，求出，再根据平行线，得到，即可解答． （2）由勾股定理，得到，根据角平分线定理，得，求出，再根据勾股定理，求出，进而根据三角形的周长公式求解即可． （3）先推导出点A、B、C、D四点共圆，且为圆的直径，得到，即平分，再由角平分线定理，得到，求出过点A作于点F，根据三角形的面积求出，继而根据勾股定理，求出， ，即可解答． 【规范解答】（1）略 （2）解：在中，，，， 由勾股定理：， 平分， ∴根据角平分线定理，得， ∴， 在中，， 的周长：； （3）解：， ∴，四边形对角互补，点A、B、C、D四点共圆，且为圆的直径，如图， ， ∴， ∴，即平分， 在中，由角平分线定理，得 ， ∴， 过点A作于点F，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【思路引导】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【规范解答】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，已知直线、分别交直线于点A，C，E，B，D，F，，则为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【思路引导】根据平行线分线段成比例可得，即可求出，再根据得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式训练1】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 【答案】 10 【思路引导】根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，，则下列结论中正确的有__________． ①四边形是矩形．②．③．④当时，点是上的一动点，则的最小值为． 【答案】①②③ 【思路引导】对角线相等的平行四边形是矩形，判断①；设，则，利用矩形的性质和已知条件得到，等角对等边，判断②；设，则，矩形的对角线相等且平分，得到，利用三角形中位线定理和线段之间的关系得到，利用比值化简判断③，最小值用将军饮马模型，结合勾股定理求出和的值，利用平角得到A、D、三点共线，进行计算，判断④． 【规范解答】解：四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形；故①正确； 设，则， 四边形是矩形； ，， ， ， 在中，，， ， ， 即， ，故②正确； 设，则， ， ， 又是中点，O是中点， 是的中位线， ， ， ，故③正确； 是的中位线（前面已证）， ， ， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ，，，， ， ， ， 在中，，，， ， 点B关于的对称点为，连接，则的最小值为，如下图所示， ，是中点， ，平分， ， ， ， 点B关于的对称点为， ，， ，， ， ， 、D、三点共线， ，故④错误． 题型三 利用平行判定相似 【典例精讲】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【思路引导】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． (1)求证：． (2)如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． (3)如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 【答案】(1) 证明：在正方形中，， ， ， ； (2) (3) 【思路引导】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行证明两个三角形相似是解题的关键． （1）利用“HL”证明，根据全等三角形的性质证得； （2）设，先把用表示出来，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据求得，，在中，根据勾股定理求得，最后求得的值． 【规范解答】（1）略 （2）解：， ， 在中，，设， ， ， ，， 在中，， ，即， ， ； （3）解：由（2）知，， ，, ， ， ，， 在中，， ，即, 解得，(舍去）， ． 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在矩形中，，，点在边上（点与端点、不重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接，与对角线、边分别交于点、．设，． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，当与相似时，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形，，， ，，， ， ，即， ， ， ； (2) (3)或 【思路引导】（1）根据矩形的性质以及，利用同角的余角相等得到，从而可证明； （2）根据得到，从而用，表示出、、、，易证，得到，将对应线段长代入整理即可得解； （3）延长交于点，根据，得到，，进而得到，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，结合正切的定义，分别列出比例式求出的值即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， ， ， ，，， 在矩形中，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，延长交于点， ， ， ， ， ， ， 若， ， ，即， 化简得， ， ， 化简得， 解得或（舍去）， 若，则有， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得：， ， ，整理得：， ，（不符合题意，舍去）； 综上，当与相似时，或． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数关系式，正切的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题． 题型四 证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． (2)①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【思路引导】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练1】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图1，梯形，， (1)若延长，交于点，过点的一条直线交、于点、（如图2），则线段、、、之间必有如下比例式：（结论1），请证明此结论； (2)简单模仿： 若连接、交于点，过点的一条直线交、于点、（如图3），请直接写出线段、、、之间必成立的比例式：________（结论2） (3)拓展应用： 请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线（直线与梯形上下底的交点分别为点和点），该直线把梯形的面积平分，并说明理由．（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2)； (3)解：连接，交于点，延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，则即为所求，如图： 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 设梯形的高为，则梯形和梯形的高为， ∵ ∴， ∴平分梯形的面积． 【思路引导】（1）根据相似三角形的判定与性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定与性质可得出答案； （3）连接，交于点，延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，则即为所求，证明，，根据梯形的面积公式得到，可得答案． 【规范解答】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 【变式训练2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，且，动点从点出发沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动．连接，，过点作的平行线交射线于点，设点的运动时间为秒（不考虑，，在一条直线上的情况）．    (1)当时，求的长； (2)当时，求证； (3)当时，若与相似，求的值； (4)过点作，交于点，当不小于时，直接写出点运动的时长． 【答案】(1) (2) 证明：当时，， ∴， ∵，， ∴， 又∵是矩形， ∴， ∴； (3)t或 (4) 【思路引导】（1）根据正方形的性质证明解题即可； （2）运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； （3）若与相似，要分两种情况：点在点的左边和点在点的左边，根据对应线段成比例即可求得t的值； （4）可以证明，得到，利用二次函数的性质进行解题即可． 【规范解答】（1） ， ∵ ，即: ， ， ∴ 又∵是矩形， ∴ ， ，即: ， 解得： ； 故答案为： ； （2）证明：略； （3）由 得 又 ， ，即 ， ， 当点在点的左边时， 即时, 当时，则，即 解得： （舍去） 当 时， 有，即 ， 解得：t； 当点在点的右边时，即 时, 当时,则，即 解得： 或（舍去）； 综上所述，当t或时，与相似； （4）如图， ∵G在上， ∴点在边上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴最大为4， ∴点G在E点或E点的下方， 又∵不小于时， ∴， 令，即 解得：，， 结合二次函数的图象和性质，可知当时，t的取值范围为或， 即点运动的时长为．    【考点剖析】此题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质. 题型五 利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，． (1)求的长； (2)运用你所学过的知识，求． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据，证明，进而得出，代入数据，即可求解； （2）根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而得出，代入数据，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ，， ， ， ，，， ∴， ． 答：所求的长是． （2）解：由（1）可知，， ， 又，，， ， ． 答：所求的面积是18． 【变式训练1】（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，．点E、F分别在线段、上，且，连接、交于点P，若与的面积比为，则的所有可能长度为_________． 【答案】或 【思路引导】过点作，延长、交于点，利用三角形面积公式，推出，证明，得出，设，再证明，求出，再证明，得到，进而列方程求出的值，最后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：在矩形中，． ，，，， 如图，过点作，延长、交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 综上可知，的所有可能长度为或． 【变式训练2】（26-27九年级上·四川宜宾·期中）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动．请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则__________；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点在线段上，，，则的度数为__________； (2)应用规律： 如图3，点，，，在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)证明：过C作交于H，如图， 则，，， ∵，， ∴， ∴； (3) 【思路引导】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余和余角性质得到，再根据相似三角形的判定可得结论； ②根据相似三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）过C作交于H，根据平行线的性质可得，，，利用三角形的外角性质可得，然后利用相似三角形的判定可得结论； （3）先求得，再利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，证明，根据相似三角形的性质求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴ ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴； （2）略 （3）解：连接，过作交延长线于点E，则， 在中，，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，， ∴． 题型六 相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接． (1)证明：四边形为菱形； (2)与相交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明： ， ，， 为中点， ， ， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形； (2) 【思路引导】（1）先证明得，可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得，据此即可得出结论； （2）连接，交于点，根据菱形性质得，，，进而得，，根据勾股定理得，继而得，再利用勾股定理求出，然后证明，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形为菱形， ，，， ，即，为中点， ，， ， ， ， ， ， ，即， ． 【变式训练1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是正方形，点在对角线的延长线上，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，分别交于点，交于点． (1)直接写出和的数量关系_________； (2)猜想的形状，请说明理由； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)是等腰三角形； 理由如下：由（1）得， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 【思路引导】（1）证明，得到； （2）由，得到，设，求出即可得到，是等腰三角形； （3）过点作于，根据等腰直角三角形求出，结合得到，，求出，再证明，得到，求出，最后证明，得到． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过点作于， ∵； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，且，点在内部，，，． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，以为边作菱形，延长交于点，交边于点，且为的中点，求菱形的面积． (3)如图3，当时，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)证明：当时，，是等边三角形， ， ， ， ， ， ． (2) (3) 【思路引导】（1）根据等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定，证明即可； （2）设则，，过点B作于点H，利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解答即可． （3）设，则，证明，得到，设，则，得到；过点A作于点M，则，过点B作于点N，过点A作交的延长线于点E，利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，解答即可． 【规范解答】（1）证明：略． （2）解：菱形， ，， 根据（1）得是等边三角形， ，是等边三角形， 根据（1）得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设则， ， 过点B作于点H， ， ，， 根据勾股定理，得， ， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ， ， ， 解得（负值已舍）， 经检验，是原方程的根， ， ， 连接， ， ， ， 故菱形的面积为：． （3）解：当时， ，设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ； 过点A作于点M，则，， 过点B作于点N， 根据三角形面积相等，得， ， ， ； 过点A作交的延长线于点E， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型七 利用相似求坐标 【典例精讲】（26-27九年级上·湖南湘潭·期中）教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本页有这样一道练习题： 如图，在中，，，垂足为．找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴① ∵ ∴(依据② ) ∴③ ∴ 请完成填空：①______；②依据是______；③______； (2)数学兴趣小组的同学又对本题提出猜想：．请判断猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． (3)结论运用：如教材上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点坐标为______； (4)拓展提升：如图，在中，，，垂足为为线段上一点，连接并延长至点，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角对应相等的两个三角形相似；． (2)正确． ∵，垂足为， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． (3)． (4)． 【思路引导】（1）按题面给出的推导骨架，用同角的余角相等补全角，再由两角分别相等判定相似并写出对应边的比； （2）在直角三角形中用同角的余角相等找出另一组相等角，判定两个小三角形相似，由对应边成比例得到乘积式； （3）由题设坐标读出两条线段的长，利用（2）的乘积式求出，再按点所在的位置写出坐标； （4）由已知等角与公共角先证一组三角形相似得到，再结合（1）的结论转移比例，证出为直角后用勾股定理求． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴(依据：两角对应相等的两个三角形相似)． ∴． ∴． （2）略 （3）解：∵，点为坐标原点， ∴． 由（2）知， ∴． ∵点在轴正半轴上， ∴． （4）解：∵， ∴． ∴． ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，点在上， ∴． ∴． 在中，， ∴（负值舍去）． 【考点剖析】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理；关键是由与公共角证得，再用把乘积式换成，从而把两组边配成，得到． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)A的坐标是，C的坐标是； (2)； (3)存在，P的坐标是和. 【思路引导】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． （2）解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ，    解得： . 则直线的解析式是. （3）解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 【变式训练2】（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)3，， (2) (3)如图3.1，点N即为所求； (4) 【思路引导】（1）通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决； （2）连接，分别过点K、L作的平行线，交于点，； （3）先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； （4）过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D，得出，根据相似三角形性质求出，设，从而求解点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，即， 得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴，， ∴； （3）证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图， 过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D， ∴， ∴， ∴， 设， ∵和， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴． 【考点剖析】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（26-27九年级上·河北张家口·期中）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形边长为，其顶点称为格点，的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺按下列要求作图，保留作图痕迹： (1)在图①中画出，使与相似，且相似比为； (2)在图②的边上找一点，使． 【答案】(1)如图，即为所求作． (2)如图，边上的点即为所求． 【思路引导】（1）相似比为，以为公共顶点把、都放大为原来的倍，、便分别是、的中点； （2）与同高，面积比等于底边之比，把“面积三倍”化成上的，再用网格中的平行线分线段成比例定出这个分点． 【规范解答】（1）解：∵在直线上，在直线上，， ∴，且， ∴，相似比为． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵与的底边、在同一条直线上，且高相同， ∴，即． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【思路引导】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B，C均为格点，请利用正方形网格及无刻度的直尺画出符合条件的图形（保留必要的痕迹）． (1)在图1中，画出，使得，相似比是． (2)在图2中，过点A作边上的高． 【答案】(1) 解：如图所示，为所求： (2) 解：如图所示，为所求： 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的高及网格作图的几何原理． （1）根据题意要构造且相似比为，需让的边长是对应边长的，且对应角相等，作的平行线与交点D，此时点D为的中点，使，过点D作的平行线，与交点E，此时点E为的中点，使，由于均以点A为公共顶点，所以，根据边角边相似判定定理可得出； （2）观察在网格中的走向，此时从B到C横向1格，纵向4格，则，同理从点A出发横向4格，纵向1格，得到线段，使与有交点D， 过点C作的垂线交于点F，与交点H，由，得，再由，得到，可推出，从而得出为边上的高． 题型九 相似三角形动点问题 【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，点是的中点，连接，，动点从点出发沿边运动，速度为，到点停止，动点从点出发沿边运动，速度为，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，； (2)在运动过程中，点，，组成的三角形能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）根据直角三角形的斜边中线定理可得，，根据勾股定理求出，由题意得，，，则，根据得到，，即，即可求解； （2）由得到，分两种情况：当时，当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，，点是的中点，， ，， ， ， 由题意得，，， ， ， ，即， 解得； （2）能， ， ， 当时，即， 即， 解得（舍去），， ， 当时，，即， 解得（舍去），， ， 的长为或． 【变式训练1】（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿的方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为（单位：），解答下列问题： (1)___________；___________；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)； (2)为或 【思路引导】（1）先根据勾股定理求得，结合题意用t表示出、即可解答； （2）分两种情况：①当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可；②当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， 根据题意可知，， ∴． （2）解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当t为或时，以为顶点的三角形与相似． 【变式训练2】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为． (1)当时，求t的值； (2)当t取何值时，四边形的面积等于； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【思路引导】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据，可得， 再进一步求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，的值为； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 同（1）得，， 同（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 题型十 相似三角形实际应用 【典例精讲】（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践： 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上，现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)小红的连衣裙不会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙不会碰到地面． 【思路引导】（1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【变式训练1】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）海宝塔，俗称北塔，坐落于银川市北塔湖（海宝公园）内，是全国重点文物保护单位．相传始建于北朝时期，现存塔体为清代乾隆年间地震后重修，造型独特，是宁夏知名的古代佛塔．湖畔中学数学兴趣小组的同学决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量北塔的高度．北塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且北塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上． (1)根据题意，证明 ，写出对应边成比例的关系式． (2)请你根据以上测量数据，如果设，帮助兴趣小组求出北塔的高度． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， 对应边成比例的关系式： (2) 【思路引导】（1）先由垂直得到两组直角相等，再结合公共角，证三角形相似，写出比例式； （2）设，由（1）中得，同（1）证得，进而得，联立方程求出x，即可求塔高． 【规范解答】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式训练2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 【答案】城墙的高度为米． 【思路引导】延长交于点，得到矩形，则，，证明，所以，代入可得，设米，则米，米，（米），（米），根据镜面反射的等角性质，证得，然后通过相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交于点， ∵直角边与水平地面平行， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， ∴米，（米）， ∴（米）， 由题意得， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（米）， 答：城墙的高度为米． 题型十一 相似三角形的综合问题 【典例精讲】如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值，设的边长为a，则，，计算即可； 【规范解答】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值， 设的边长为a，则，， ∴，， ∵，，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【考点剖析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 【变式训练1】【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】 （1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）； （3） 【思路引导】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【规范解答】解：（1）略 （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 【变式训练2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【规范解答】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，，，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线分线段成比例定理，从而列出比例式，求得的长度． 【规范解答】解：已知，根据平行线分线段成比例的性质可得， 将，，代入比例式可得， ，解得． 2．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，对角线与相交于点．图中与一定相似的三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据，利用平行线的性质得出内错角相等，结合对顶角相等，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．也可以根据平行线直接判定相似． 【规范解答】∵， ∴，． ∴． 3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（     ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】B 【思路引导】取的中点M，连接，由菱形的性质得出，，，，，，得出是的中位线，，由中位线的性质得出，由平行线的性质得出，进而求出，由角的关系以及三角形外角的定义和性质进一步得出，根据等角对等边得出，求出，利用勾股定理求出，，最后根据菱形的性质求面积即可． 【规范解答】解：取的中点M，连接， ∵四边形是边长为10的菱形， ∴，，，，，， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴菱形ABCD的面积． 4．（26-27九年级上·陕西西安·期中）将矩形和矩形按照如图所示的方式摆放，其中，，连接，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接和，先证，根据相似三角形的性质得，，再证明，，再在中利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接和， 在矩形和矩形中，． ， ， ， ， ， ，即． ， ， ， ． 在中， ，令，则， ， ， ． 5．（26-27九年级上·江西抚州·期中）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用正方形性质证判断B、C，利用角度和差判断A，利用特值法判断D． 【规范解答】解： 四边形、是正方形，是对角线， ，，， ，故A正确； 、分别是正方形、的对角线， ，，， ， ，， ， ， ，故B正确； ，即 ，故C正确； 当点与点重合时，与重合，， 此时 ，， ， ， ，故D错误． 6．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）已知：中，点、分别在和上，且，，则________． 【答案】 【思路引导】由已知线段比例关系可求得与的相似比，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积关系，再通过面积的和差关系推导与四边形的面积比值． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形中，对角线和交于点，点为上一点，，连接并延长交于点，连接，，且，交于点，若，，则的长为________． 【答案】 【思路引导】过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J，由，，和四边形是菱形，可得， ，，多次利用相似三角形的性质最后得，求得，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 8．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，， ，则的长为________． 【答案】6 【思路引导】根据平行线分线段成比例定理，解答即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 解得． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形为菱形，对角线、交于点，是的中点，连接并延长交于点，下列结论：①；②；③；④若的面积为2，则菱形的面积为48，其中正确的有___________．（填所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【思路引导】①证明，得出，根据等边对等角得出，然后结合三角形外角的性质即可判断；②证明，根据相似三角形的性质和菱形的性质即可判断②；根据相似三角形的传递性即可判断③；根据相似三角形的性质求出的面积，进而求出的面积，然后根据平行四边形的性质即可判断④. 【规范解答】解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵的面积为2，，， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴的面积为， ∴菱形的面积为，故④正确； 故正确的有：①③④． 10．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，是斜边上的高线，过边上的点作，，过边上的点作，．若，，则的长为___________． 【答案】 12 【思路引导】由垂直关系和邻边相等判定四边形和为正方形，得出，然后证明，得到，设，则，代入比例式解得的值，即可求得的长． 【规范解答】解：∵由题意得 ，， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可得四边形为正方形， ∴； 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，与相交于点，且，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【规范解答】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，过边的中点作的垂线，交于点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【思路引导】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作于，可得四边形是矩形，得到，，由含角直角三角形的性质可得，利用勾股定理及平行四边形的性质得到，再由平行推出是的中位线，得到，最后根据线段的和差关系即可求出的长． 【规范解答】（1）略 （2）解：过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边的中点，， ∴， ∴，即是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如图，在中，，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图3，若，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)．理由如下： 过A作于M，交于N． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵交于点E， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点分别是边的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． ∵， ∴． (3) 【思路引导】（1）先得，则．由等腰三角形的性质得，由勾股定理可得．可求的长度； （2）过A作于M，交于N，先证，再证，可得，再证，则； （3）作点E关于的对称点，连接，取的中点S，连接，作于P，先得出当取得最小值时，．过A作于M，得出与同底等高．设，则，设．建如图所示的平面直角坐标系：则，，，，，延长与y轴交于点Q，设直线为，解得，可得的值． 【规范解答】（1）解∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作点E关于的对称点，连接，，取的中点S，连接，作于P，如图， ∴，． ∵中，， ∴S、A、共线时，，此时最小，即取最小值． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴与同底等高． ∴， 设，则， 设．建如图所示的平面直角坐标系：则，，，，，延长与y轴交于点Q， 设直线解析式为， 将，分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵于F， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 对于， 当时，． 解得， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，点在边上，将沿折叠，使点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)如图，求证：； (2)如图，当时，点在延长线上，若，，求的长； (3)如图，当时，点在边上，若，求出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； (2)； (3)． 【思路引导】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再证明，结合，即可得证； 先证明得出，，再证明，得出，，证明，由相似三角形的性质求出，即可得出结果； 延长，交于点，设，则，则，由四边形为平行四边形，得，，，，证明，求出，，再证明，，求出，，最后再证明即可得出结果． 【规范解答】（1）略； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（26-27九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)【特例感知】 如图1，当时，点在延长线上，求证：； (2)【问题探究】 在（1）的条件下，若，，求的长； (3)【拓展延伸】 如图2，当时，点在边上，若，直接写出的值，的值． 【答案】(1)由轴对称的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)； 【思路引导】（1）由轴对称的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由轴对称的性质得：，再根据，可得； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull