4.5　相似三角形判定定理的证明教学设计2026-2027学年北师大版数学九年级上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

4.5　相似三角形判定定理的证明

教材分析

本节是第四章第5节“相似三角形判定定理的证明”（节次标有 * 号），教材第99—102页。

前三节通过画图、测量、比较，探索并归纳出三个判定方法；本节把它们作为待证命题，用“在边上截取相等线段 + 过截点作平行线”的办法造出一个既与原三角形相似、又与目标三角形全等的三角形，从而把三个判定方法证明为定理。

教材依次证明：两角分别相等的两个三角形相似（图4—23）、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（图4—24）、三边成比例的两个三角形相似（图4—25），三处证明共用一套辅助线思路，最后在习题4.9中巩固。

本节是全章由“探索”走向“演绎证明”的关键一课，也是初中阶段“相似”与“全等”两种关系配合使用的一次集中训练。

核心素养目标

1. 推理能力：能说清三个判定定理的证明思路，按“已知—求证—证明”的格式写出完整推理，做到每一步有依据。

2. 几何直观：能在图形上作出辅助线（截取 、作 ），看懂“把待证的相似转化为已证的相似加全等”。

3. 模型观念：把“求证两个三角形相似”转化为“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”这一基本模型。

4. 语言表达：规范使用“∵…∴…”“∽”“≌”等符号，书写与教材一致。

教学重点

1. 三个判定定理的证明思路：截取—作平行线—得相似—证全等—传递；

2. 用“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”搭建证明桥梁。

教学难点

1. 辅助线的产生：为什么截 、为什么过 作平行线；

2. 三边成比例情形中 的推证（连续使用比例性质）；

3. 证明中“相似”与“全等”两种关系的配合。

学情分析

1. 已有基础：学生已通过画图、度量归纳出三个判定方法，能用来判断相似；学过全等三角形与平行线分线段成比例。

2. 可能困难：习惯于“用定理”，不习惯“证定理”；辅助线显得凭空出现，说不清为什么要这样作；比例式变形时漏步。

3. 教学对策：先解决“往哪个方向证”的思路问题，再由教师完整示范一个、学生仿写其余；用几何画板演示“平移后不能重合”，让辅助线自然产生。

教学方法

问题驱动与示范模仿相结合：思路分析—教师示范—学生仿写—对照互评；板书严格按“已知—求证—证明”三段式呈现。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

多媒体课件、几何画板演示文件、三角板、学案、教材第99—102页（习题4.9）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

明确任务
回顾判定

复习（教材第99页引入语）：在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明。

问题1：三个判定方法分别是什么？（两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例）

问题2：它们是怎样得到的？（画图、测量、比较，属于“探索—归纳”）

问题3：归纳出来的结论能不能直接当定理使用？还缺什么？

板书三个判定方法，指出“探索得到的结论要经过证明才能成为定理”，明确本节任务并板书课题。

口答三个判定方法及其发现方式；讨论“为什么必须证明”，提出“能否先造一个既与 △ABC 相似、又与 △A′B′C′ 全等的三角形”。

能否准确说出三个判定方法；能否说出“证明就是把未知转化为已知”。

设计意图：用“探索的结论要不要证明”制造认知冲突，把注意力从“会用”引到“会证”，为辅助线的出现提供动机。

环节二

分析思路
作出辅助线

教材第99页图4—23：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。求证：△ABC∽△A′B′C′。

难点：判定方法本身待证，直接证相似无定理可用。

办法：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 ，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，得 △ADE。

由基本事实得 △ADE∽△ABC。

追问：△ADE 与 △A′B′C′ 有什么关系？（∠ADE=∠B=∠B′，∠A=∠A′， → 全等）

问题4：为什么要截 ？（为了造出“大小相等”的一对三角形，为全等准备条件）

用几何画板把 △A′B′C′ 平移、旋转到 △ABC 上，演示“怎么摆都重合不了”；示范作辅助线并标注 D、E；追问“为什么截 ”。

在学案上作图；观察演示；小组讨论“为什么这样作辅助线”，说出“先造相似、再造全等”的用意。

能否在图上正确作出 D、E；能否说出作辅助线的目的，而不是只记住作法。

教材原图

图4—23　在 △ABC 的边 AB 上截取 ，作

设计意图：辅助线是本节最大难点，先给“平移后仍不重合”的直观，再讲“截一段相等的边”的想法，让学生看见辅助线的来历。

环节三

完成两角情形的证明

证明（教材第99—100页）：

在 △ABC 的边 AB 上截取 ，过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 E，过 D 作 AC 的平行线交 BC 于 F。

∵，，∴四边形 DFCE 是平行四边形，∴。

由平行线分线段成比例得 ，，

∴，即 ，∴。

又 ∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC。

∴∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，，∴△ADE≌△A′B′C′。∴△ABC∽△A′B′C′。

定理　两角分别相等的两个三角形相似。

示范完整书写，每一步后面注明依据（“平行线分线段成比例”“平行四边形的对边相等”）；强调“△ADE 是桥梁”。

跟随板书标注依据；在学案上补全省略的步骤；同桌互查“依据是否写全”。

能否分清“相似”与“全等”各自用在哪一步；依据是否写全。