专题01 菱形、矩形、正方形的性质与判定［挑战压轴题］导图知识卡片19个题型讲练+优选题拔尖练2026-2027学年北师大版数学九年级上册典型题培优系列
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专题01 菱形、矩形、正方形的性质与判定［挑战压轴题］
「思维导图+19个题型讲练+优选题拔尖练 共53题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（解析版）】
【高频压轴提醒举一反三变式训练】 2
题型一 根据菱形的性质与判定求角度 2
题型二 根据菱形的性质与判定求线段长 5
题型三 根据菱形的性质与判定求面积 9
题型四 矩形与折叠问题 13
题型五 斜边的中线等于斜边的—半 17
题型六 根据矩形的性质与判定求角度 19
题型七 根据矩形的性质与判定求线段长 21
题型八 根据矩形的性质与判定求面积 26
题型九 正方形折叠问题 30
题型十 求正方形重叠部分面积 35
题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 39
题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 44
题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 48
题型十四 根据正方形的性质与判定证明 52
题型十五 中点四边形 56
题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 61
题型十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 64
题型十八 四边形中的线段最值问题 66
题型十九 四边形其他综合问题 69
【优选题压轴练】 73
题型一 根据菱形的性质与判定求角度
【典例精讲】（2026·海南·中考真题）如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，和，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据作图步骤得出，判定四边形为菱形，利用菱形对角线平分对角的性质求解．
【规范解答】解：由作图步骤可知，
，，
，
四边形为菱形，
平分，
，即，
．
【变式训练】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在 中， 点 D在边上（不与点A， C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接．
(1)若求证：与互余；
(2)连接，若平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明： ，
，
∵平移线段得到线段，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
，
中，
，
∵点 D在边上，
∴，
∴，
∴和互余．
(2)；
证明：连接，交于点O，延长至F，使，连接，
由（1）可得，四边形为平行四边形，则．
∵，，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，即O为的中点，
∴是的中线，
由三线合一得
∵连接，交于点O，，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，
在中，，
∴，
∴.
【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，得，，再根据三角形内角和定理和平行四边形的性质即可解答；
（2）连接，交于点O，延长至F，使，连接，证明，结合平行四边形的性质得，再证明四边形为菱形，得继而求得，即可解答．
题型二 根据菱形的性质与判定求线段长
【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中）综合与实践
【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度．轴于点，连接．设点，两点移动的时间是秒，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止．
(1)【解决问题】填空：若，则_______；若，______（用含的式子表示）；
(2)【深入研究】证明：四边形为平行四边形；
(3)若，当四边形为菱形时，求的值；
(4)【能力拓展】在（）的条件下，连接，若为直角三角形，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)证明：∵轴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴四边形为平行四边形；
(3)
(4)或
【思路引导】（）由坐标得，，由直角三角形的性质得，即得，即得到，即可求解；
（）证明且即可求证；
（3）当时，，，根据菱形的性质得，列方程解答即可；
（）分三种情况，分别画出图形解答即可．
【规范解答】（1）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴当时，；
（2）略
（3）解：根据（）可得：当时，，，
∵菱形中，，
∴，
解得；
（4）解：当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得；
当时，如图所示：
由（）知，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，点运动到点处，此时，
∵，
∴此时点运动到点处，
∵轴，
∴此时点与点重合，不存在；
综上，为直角三角形，的值为或．
【变式训练】如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质、含度角的直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积计算．先证明四边形是菱形，得出，从而判断①；利用勾股定理计算判断②；分别计算和的面积判断③；利用等腰三角形三线合一判断④．
【规范解答】解： ，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
在中，，，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，故③错误；
，，
，
平分，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，共3个．
题型三 根据菱形的性质与判定求面积
【典例精讲】（2026·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在边上，连接交于点O，连接，．有以下条件：①，②．
(1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形为菱形；
(2)在（1）的结论下，若平分，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明：情况一：选条件①：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形；
情况二：选条件②：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形；
(2)．
【思路引导】（1）情况一：根据平行四边形的性质得到，可知，根据角平分线的定义得到，即，根据等角对等边得到，证明，得到，即，证明四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形为菱形；
情况二：根据平行四边形的性质得到，可知，根据角平分线的定义得到，即，根据等角对等边得到，证明，得到，即，证明四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形为菱形；
（2）根据菱形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质及角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，则，根据菱形的面积公式计算即可．
【规范解答】（1）略；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【变式训练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，．
(1)当点在对角线上．
①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积；
②如图2，若，，，求平行四边形的周长；
(2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【思路引导】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解；
②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解；
（2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论．
【规范解答】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点．
∴．
∵四边形是平行四边形， ，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∵，∴，
∴．
②如图2，连接交于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即．
∴是菱形．
∴，，
∴．
设，则．
由勾股定理，得，
∴，解得，
∴．
∴菱形的周长．
（2）证明：如图3，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
根据等底同高，得，，
∴，
∴，
∴．
题型四 矩形与折叠问题
【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）综合与实践：折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．
实践操作：如图1，马藤同学将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内的点处，和相交于点，连接．
解决问题：
(1)在图1中，求证：；
(2)子宸同学将图1中的矩形变为平行四边形（），如图2，若，，当的长度为多少时，恰好为直角三角形．请直接写出的长．
【答案】(1)证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
(2)8或12
【思路引导】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，易得，，进而证明均为等腰三角形，进而证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质以及折叠的性质，可知，，，，同理（1），可知，；若是直角三角形，可分和两种情况，分别求解即可．
【规范解答】（1）略
（2）∵四边形为平行四边形，，，
∴，，
由折叠可知，，，，，
同理（1），可知，，
∵是直角三角形，
当且时，如图，
∵，
∴，
在中，可得，
即，解得（负值舍去），
∴，，
∴，
∴；
当且时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，可得，
即，解得（负值舍去），
∴．
综上所述，当的长为8或12时，是直角三角形．
【变式训练】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为___________．
【答案】
【思路引导】连接，结合折叠的性质可得，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【规范解答】解：如图，连接，
由折叠的性质得：垂直平分，
∴，
∵，
∴点F，M，C共线，
∴，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
题型五 斜边的中线等于斜边的—半
【典例精讲】（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若的延长线于点，求线段的长．
【答案】(1)证明：在平行四边形中，，
．
平分，
，
，
，
四边形为菱形
(2)8
【思路引导】（1）根据平行四边形的性质可得，即可证明，推出四边形为菱形；
（2）根据菱形的性质求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【规范解答】（1）略
（2）解：在菱形中，，
．
，
．
为的中点，
．
【变式训练】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，点为的中点，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【思路引导】由矩形的性质和三角形中位线定理求出的长，则可求出的长，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【规范解答】解：∵矩形的对角线相交于点，，，
∴，点为的中点，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
又∵点为的中点，
∴．
题型六 根据矩形的性质与判定求角度
【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的周长为，求四边形的面积．
【答案】(1)证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，
是矩形，
，
，
∴平行四边形是菱形；
(2)
【思路引导】（1）先证四边形是平行四边形，是矩形，进而得到，得到，即可得证；
（2）根据菱形的周长求出菱形的边长，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，再利用矩形的面积公式进行求解即可.
【规范解答】（1）略
（2）解：由（1）可知四边形为菱形，且，
，，
∵在中，，
，
，
，
，
．
【变式训练】（25-26九年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、交于点，且．过点作线段的垂线，分别交边和的延长线于点、．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若的长为，，求的长．
【答案】(1)
证明：，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形；
(2)5
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，三角函数，勾股定理．
（1）先证明四边形为平行四边形，再根据可证四边形为矩形；
（2）根据矩形的性质得到，即，进而根据得到，根据三角函数求出，最后根据勾股定理计算即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：四边形为矩形，
，即．
，
，
即，
，
，
，即，
在中，，即，解得（负值已舍去），
的长为5．
题型七 根据矩形的性质与判定求线段长
【典例精讲】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，于点E，于点F，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长以及矩形的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∴是矩形；
(2)；矩形的面积为
【思路引导】（1）先证明，得出，即可证明结论；
（2）设，则，在中，列方程求出，再求出，，即可求出面积．
【规范解答】（1）略
（2）解：∵，
∴设，则，
，
∵在中，，，
∴，
解得：（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
在中，，
在矩形中，，
，
∴矩形的面积．
【变式训练】（26-27九年级上·重庆开州·期中）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接．
(1)如图1．若，，求的长；
(2)如图2，若点为线段的中点，求证：；
(3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明：如图2：过点F作的延长线于点G，作于点H，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵点E为线段的中点，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
(3)解：存在最小值；最小值为；理由如下：
如图3：在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的轨迹在如图4与夹角为的直线l上，作点D关于直线l的对称点，延长交直线l于点P，连接，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴当取最小值时，A、F、三点共线，最小值为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴在中，．
【思路引导】（1）利用含的角直角三角形的性质设，则，利用勾股定理可求得，进而求得，最后再利用勾股定理求得即可；
（2）如图2：过点F作的延长线于点G，作于点H，证明，
得到，，证明四边形是矩形，得到，，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可证明结论；
（3）如图3：在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，证明可得到，即可推出点F的轨迹在如图4与夹角为的直线l上，作点D关于直线l的对称点，延长交直线l于点P，连接、，由，可得到当取最小值时，A、F、三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可．
【规范解答】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，即，
∴．
题型八 根据矩形的性质与判定求面积
【典例精讲】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，是等腰三角形，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积．
【答案】(1)证明：∵是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，是中点，
∴，即，
∴四边形是矩形；
(2)
【思路引导】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，再证明，从而可证四边形是矩形；
（2）先证明是等边三角形，得出，在中，勾股定理求出，即可解答；
【规范解答】（1）略
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴矩形的面积．
【变式训练】（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接．
(1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
(2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接．
①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明；
②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由．
【答案】(1)
解： ，．
理由：四边形是矩形，
，
由翻折变换的性质可知，
，
，
，
，
；
(2)
①结论：四边形是矩形．
理由：取的中点，连接．
，
，
是等边三角形，
，
，
同法可得，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
②四边形的面积不变，四边形的面积
【思路引导】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可；
（2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论；
②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可．
【规范解答】（1）略
（2）①略
②四边形的面积不变．
理由：如图过点D作于点J，于点K，
，
∴四边形是矩形，
，
，
矩形的面积，
由平移变换的性质可知，
，
的面积的面积，
∴四边形的面积矩形的面积．
【考点剖析】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
题型九 正方形折叠问题
【典例精讲】（26-27九年级上·湖北鄂州·期中）在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探究．
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接．
根据以上操作，当点在上时，写出图中________；
(2)【类比应用】
小丽将矩形卡纸换成边长为的正方形彩纸，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图，当点在上时，________；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当时，请求出的长．
【答案】(1)30
(2)①；
②，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∴，
∵，
∴均为直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴；
(3)或
【思路引导】（1）连接，结合折叠的性质可得为等边三角形，即可求解；
（2）①连接，结合折叠的性质可得为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，，再证明，可设，则，再由勾股定理求出x的值，即可求解；
②证明，即可求解；
（3）设，则，然后分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，结合勾股定理，即可求解．
【规范解答】（1）解：如图，连接，
由折叠的性质得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
∵四边形为正方形，且边长为，
∴，，
由折叠的性质得：，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴均为直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②略
（3）解：设，则，
根据题意得：，
由（2）得：，
当点Q在点F的下方时，如图，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即；
当点Q在点F的上方时，如图，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即；
综上所述，的长为或．
【变式训练】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）如图，正方形的边长为9，点E在边上，，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得，点G在边上， 则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】根据正方形性质和折叠性质，利用勾股定理求出的长，过点 作于，证明四边形为矩形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可．
【规范解答】解： 四边形 是正方形，且边长为 ，
，
，
，
在 中，，
由折叠性质可知： ，
，
在中， ，
，
设，则 ，
在 中，，即，
解得：，
，
过点 作于，如图所示：
则，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴．
题型十 求正方形重叠部分面积
【典例精讲】（26-27九年级上·湖北鄂州·期中）在校园手工节中，小华用边长为的正方形彩纸制作拼贴画．如图，他先沿对角线把彩纸剪成两个三角形，再把沿方向平移，得到．若平移后与的重叠部分面积为，则平移距离为________．
【答案】
【思路引导】设交于点H，交于点G，根据平移的性质得到四边形是平行四边形，通过证明是等腰直角三角形，设，列出关于平行四边形面积的方程，解方程即可得到答案．
【规范解答】解：如图，设交于点H，交于点G，
由平移的性质知，，
四边形是平行四边形，．
将边长为的正方形沿对角线剪开，
和均是等腰直角三角形，．
．
是等腰直角三角形．
设，则阴影部分的底长为，高，根据题意可列方程：
，
解得：，即．
【变式训练】（25-26七年级下·江西吉安·期末）追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系．
(1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ；
(2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积；
(3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2027
【思路引导】（1）连接，设交于点N，利用正方形的性质证明，得，从而有，即可求解；
（2）设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N，由正方形的性质可证明，从而有，即可求解；
（3）设边长为2的正方形的面积为S，则，分析得n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为，根据题意列出方程即可求解．
【规范解答】（1）解：连接，设交于点N，如图，
∵正方形的顶点与正方形的中心重合，
∴，,，
∴，
∵正方形的边与垂直，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴
∵,
∴
而正方形的边长为1，则其面积为1，
∴；
（2）解：如图，设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N，
∴，
∵四边形都是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E点是正方形的中心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
而四边形的面积为，
∴，
∴；
（3）解：设边长为2的正方形的面积为S，则，
由（2）知，两个正方形重叠，其重叠面积为，
三个正方形有两处重叠部分，其重叠面积和为，
四个正方形有三处重叠部分，其重叠面积和为，
…
一般地：n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为，
由题意得：，
解得，
即n的值为2027．
题型十一 根据正方形的性质与判定求角度
【典例精讲】（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足．
(1)求点的坐标．
(2)求证：四边形为正方形．
(3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明：由（1）可得点的坐标为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴矩形为正方形；
(3)的大小为定值，恒为
【思路引导】（1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果；
（2）由（1）可得，再结合正方形的判定定理证明即可；
（3）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果．
【规范解答】（1）解：∵，，，
∴，，
解得，，
∴点的坐标为；
（2）略
（3）解：的大小为定值，恒为，
如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的大小为定值，恒为．
【变式训练】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，的面积为 ；
(3)当为等腰直角三角形时，求线段的长；
(4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值．
【答案】(1)
证明：∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)
(4)
【思路引导】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出，
（2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积，
（3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解，
（4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得．
【规范解答】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴的面积．
（3）解：当为等腰直角三角形时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴
∵在中，，
∴，
解得：，（不合题意舍去），
即．
（4）解：延长、交于点，延长、交于点，
∵线段的垂直平分线，
∴、是关于对称，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴点、相互重合，
∴、是关于对称，
∵作点关于的对称点，
∴点在上，如图所示，
∴，
当时，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
设，，
则，
∴，，
由（3）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【考点剖析】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出．
题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长
【典例精讲】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，点，分别是，边上的点，，，
(1)求证：；
(2)若，求矩形的周长．
【答案】(1)证明：四边形是矩形，
又，
在和中
；
(2)矩形的周长为
【思路引导】（1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到；
（2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：由(1)知，
∴，
四边形是矩形
四边形是正方形
∴矩形的周长．
【变式训练】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作．
(1)证明是菱形；
(2)若，连接，求的度数；
(3)若，，，M是的中点，连接，请直接写出的长．
【答案】(1)证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形为菱形．
(2)
(3)
【思路引导】（1）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出和是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得；
（3）先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质求出，从而可得，然后过作于，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【规范解答】（1）略
（2）解：四边形是平行四边形，
∴，，，
，
，，
由（1）知，四边形是菱形，
，，，
，，
∵，
，
是的平分线，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
．
（3）解：，四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，，
∴， ，
又由（1）可知，四边形为菱形，
四边形为正方形．
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
如图，过作于，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，．
题型十三 根据正方形的性质与判定求面积
【典例精讲】．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．
【答案】B
【思路引导】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答．
【规范解答】解：过点E作于点P，于点Q，
∵正方形的边长为3，
∴，，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，，
又，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴．
【变式训练】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点．
(1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________；
(2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论；
(3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少．
【答案】(1)
(2)解：四边形的面积不发生变化．证明如下：
四边形和四边形都为正方形，
，，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
重叠部分四边形的面积为
，
即四边形的面积不发生变化．
(3)
【思路引导】（1）先得出四边形是正方形，再求出的长即可；
（2）证出，则，进而可得重叠部分四边形的面积等于的面积，由此即可得；
（3）先求出的长，再取的中点，连接，，则，，然后根据（当且仅当三点共线时，等号成立）求解即可．
【规范解答】（1）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1，
∴，，，，
∵，即，
∴四边形是矩形，
又∵，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴重叠部分四边形的面积是．
（2）解：略．
（3）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1，
∴，，，
∴在中，，
∴，
如图，取的中点，连接，，，
∴在中，；在中，，
又∵，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴，即，
∴的最短长度是．
题型十四 根据正方形的性质与判定证明
【典例精讲】（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践
如图，四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接．
(1)如图1，当点E是线段的中点时，以为邻边作矩形，求证：矩形是正方形；
(2)如图2，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段于点F，以为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，连接．试探究的数量关系，直接写出结论．
【答案】(1)证明：∵四边形为正方形，点E是线段的中点，
∴，
∴矩形是正方形；
(2)解：四边形还是正方形，证明如下：
如图所示，过点E作于点Q，于点P，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
(3)
【思路引导】（1）由正方形的性质得到，据此可证明矩形是正方形；
（2）过点E作于点Q，于点P，可证明四边形是正方形，得到；证明，得到，则可证明矩形是正方形；
（3）证明，得到，由勾股定理得，则，即．
【规范解答】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，
由（2）知四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，即．
【变式训练】（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）已知点为矩形的对角线交点，，射线交于点，射线交于点．
(1)如图1，若，连接，求证：；
(2)如图2，若，连接．
①证明：；
②若，，，求的长．
【答案】(1)证明：∵点为矩形的对角线交点，，
∴矩形为正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)①证明：如图，延长交于点，连接，
∵点为矩形的对角线交点，，
∴，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴；
②
【思路引导】（1）证明矩形为正方形得，，，继而推出，再根据即可得证；
（2）①如图，延长交于点，连接，根据矩形的性质得，，，证明得，，推出垂直平分，得，再根据勾股定理即可得证；
②根据矩形的性质及已知得，，，根据勾股定理及①的结论推出，代入数据列出方程即可．
【规范解答】（1）略．
（2）①略．
②解：∵在矩形中，，，，
∴，，，
∴，
由①知：，
∴，
即，
解得：．
题型十五 中点四边形
【典例精讲】（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．
【概念理解】
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【性质探究】
(2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且．
【拓展应用】
(3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点．
①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
②若线段的长为，请直接写出的最小值．
【答案】(1)④
(2)证明：∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，，，，
∴，；
(3)解：①．（或．）
理由如下：四边形是“中方四边形”，
四边形是正方形，
，，
．
，分别是，的中点，
，
．（或）；
②
【思路引导】（1）根据当原四边形对角线互相垂直且相等时得到的四边形是正方形分析即可；
（2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论；
（3）①由题意得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论．
②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解
【规范解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，
理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；
（2）略
（3）解：①略；
②连接、；
由①可知，．
当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，
的最小值，
由题意可知；为正方形，
，
，，
，
∵，分别是，的中点，
∴，，
，
的最小值，
即时，最小，即最小；
∵线段的长度为6，
∴，
∴．
【变式训练】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】根据四边形是正方形，得出，，结合，F分别是，的中点，得出，，即可证明，故①正确；根据全等三角形的性质证明，设正方形的边长为，则，勾股定理求出，等面积法求出，勾股定理求出，即可得出，故②正确；根据题意得出为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线，证出四边形是平行四边形，由①②可知，，，即可证明平行四边形是正方形，故③错误；如图，延长交的延长线于点H，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，结合，即可得出④正确．
【规范解答】解：四边形是正方形，
，．
，F分别是，的中点，
，，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
．
设正方形的边长为，则，
，
，
，
，故②正确；
，Q，M，N分别是，，，的中点，
为的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
由①②可知，，，
，，
平行四边形是正方形，故③错误；
如图，延长交的延长线于点H，
，
，
在和中，
，
，
，
点C是的中点，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上①②④正确，
正确的个数为3．
题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题
【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．
(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？
【答案】(1)证明：连接、、、，如下图所示，
设时间为t，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
(2)当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形．
【思路引导】（1）平行四边形的对角线互相平分，得到，，结合已知条件得到，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）矩形的对角线相等，利用对角线相等的性质进行求解．
【规范解答】（1）证明：略；
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，
所以，当时，四边形为矩形，
第一种情况，当E在上时，
，
，
，
，
，
第二种情况，当E在上时，
，
，
，
，
，
综上所述，当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形．
【变式训练】（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】根据图象转折点确定直线的位置，结合及菱形性质求出菱形边长与高的关系，利用最大面积求出的值，进而求出．
【规范解答】解：设直线的运动速度为，
由图象可知，当时，直线经过点在上的垂足，连接，
∴运动距离；
当时，直线经过点，此时运动距离；
，
．
四边形为菱形，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
菱形的高． 当时，取得最大值，此时点与点重合，，
．
由图②可知，
，解得（负值舍去）．
当时，直线经过点， 此时运动总距离为，
过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
．
题型十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积
【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【思路引导】根据正方形中心对称性，判断出每一个阴影部分的面积等于正方形面积的即可求解．
【规范解答】解：∵点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，
∴点、、、分别是正方形的中心．
设第一个正方形的中心为点,第二个正方形的一个顶点刚好与点重合，
连接和，
，
则在和中，
由，
∴，
∴，
∴阴影面积=，
∴ 每一个阴影部分的面积等于对应正方形面积的．
∵ 正方形边长为，
∴ 正方形面积为（平方厘米），
∴ 一个阴影部分的面积为（平方厘米），
∴ 四块阴影面积的总和为（平方厘米）．
故选D．
【变式训练】（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在正方形中，是正方形内部一点，过点作于点，于点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】12
【思路引导】证明为等腰直角三角形，可设，，则，，，再由阴影部分的面积为 ，即可求解．
【规范解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，，
∵，
∴，
阴影部分的面积为
题型十八 四边形中的线段最值问题
【典例精讲】（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，正方形的边长为，点是对角线上一动点，过点作于，于，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】先证明四边形是矩形，利用矩形对角线相等得到，把求最小值转化为求最小值，根据“垂线段最短”，当时最短，再结合正方形对角线的性质算出最小值，即为最小值．
【规范解答】解：四边形是正方形，点是对角线上一动点，
，，，
，
，，
四边形是矩形，
如图，连接，
，
点是对角线上一动点，
当时，取最小值，此时是的中线，，
的最小值为．
【变式训练】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）按要求解答下列问题：
（选做一）如图，在矩形中，E，F分别为，上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为_________．
（选做二）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】
【思路引导】（选做一）连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小．
（选做二）连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【规范解答】（选做一）解：连接，，，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵为的中点，，
∴，，
∴，
∵ ，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当点在上时，最小，即最小．
（选做二）如图，连接与相交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O是菱形的中心，
连接，取中点M，连接，，则，为定长，
∵菱形的边长为8，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵M是的中点，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，，
∵，
当A，M，G三点共线时，最小为．
题型十九 四边形其他综合问题
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”．
(1)【概念理解】
在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号）
(2)【性质探究】
如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长．
(3)【判定探究】
如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形为“圆满四边形”．
【答案】(1)①
(2)14
(3)证明：平分，于点，于点，
，，
，
，
，
，
，
四边形为“圆满四边形”．
【思路引导】（1）根据“圆满四边形”定义即可解决问题；
（2）证明，得，根据“圆满四边形”定义和勾股定理即可解决问题；
（3）证明，得，然后证明，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解“圆满四边形”定义．
【规范解答】（1）解：矩形的四个内角都是，
矩形的两组对角的和为，
矩形是“圆满四边形”；
菱形的对角相等，若内角不是，则对角和不为，故菱形不一定是“圆满四边形”，
因此选①；
（2）解：，，，
，
，
四边形是“圆满四边形”，
，
，
，，
，
四边形的周长；
【变式训练】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号）
(2)【类比学习】如图1，若，，则________；
(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明．
(4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长．
【答案】(1)③④
(2)
(3)，证明见解析
(4)
【思路引导】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求．
（2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算．
（3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系．
（4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算．
【规范解答】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形．
（2）解：
；
（3）解：数量关系：，证明如下：
设对角线、交于点，
由勾股定理： ，，
∴；
同理，，，
∴，
∴．
（4）解： ∵，分别是，的中点，
∴，，，且．
又∵，四边形是垂美四边形，
由（3）的结论得： ，
代入，，，得 ，
整理得，
解得（边长为正，舍去负根）．
1．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图，菱形中，点在轴上，点在轴上，若点的坐标为，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】设，由菱形的性质得到，根据勾股定理求两点间距离列方程并解方程即可．
【规范解答】解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
解得
∴．
2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，．点E、F分别是边的中点，连接、、．有下列四个结论：
①是等边三角形；②，且；
③；④四边形的面积是．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】根据菱形的性质以及，可判断结论①；根据中位线的性质可判断结论②；先求解出，再结合角的关系判断结论③；先求解的面积，以及菱形的面积，再由面积的关系判断结论④．
【规范解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴是等边三角形，结论①正确；
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，结论②正确；
∵是等边三角形，为中点，
∴平分，即，
∵在菱形中，，，
∴是等边三角形，
∵为中点，同理可得，
∵，
∴，结论③错误；
∵在等边中，点E是的中点，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，结论④正确，
综上所述，正确的结论有3个．
3．（26-27九年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组对边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【答案】D
【规范解答】解：A.四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误；
B.对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误；
C.平行四边形对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误；
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定条件，正确．
4．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，正方形的边长是，是边上一动点，连接，过点作于点，是边上另一动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引导】作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，由直角三角形的性质可得，由轴对称的性质可得，根据，可得当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，据此可得答案．
【规范解答】解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，
∵，O为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∵，
∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为．
5．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】连接，证明是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得度数．
【规范解答】解：如图，连接，
∵在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∵为中点，
∴，即，
∴，
又由折叠的性质得：，
∴，
在中，由三角形的内角和定理得：
．
6．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，则的长为_______．
【答案】
【思路引导】先利用勾股定理求出对角线的长，再根据菱形四边相等，设未知数，结合勾股定理求出菱形边长，最后利用菱形对角线互相垂直平分，借助勾股定理求出，进而得到．
【规范解答】解：在矩形中，，，
．
四边形是菱形，
，，．
设，则．
在中，，
，
，
，
，
．
在中，
，
．
7．（26-27九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在中，，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______________．
【答案】
【思路引导】连接，根据矩形的判定与性质得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可求解．
【规范解答】解：连接
，，
四边形是矩形
当时，的值最小，即的值最小
在中，，
的最小值为
故答案为：
8．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别与交于点，连接．若．则四边形的周长为_________．
【答案】20
【思路引导】利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长．
【规范解答】解：由作法得垂直平分，
，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，即，
同理可得，
四边形的周长为．
9．（26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形…，依此类推，则平行四边形的面积为________．
【答案】
【思路引导】因为平行四边形的对边互相平行，且平行四边形的对角线都互相平分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底乘以高，所以第一个平行四边形是矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去．
【规范解答】解：四边形是矩形，
，，
夹在和，和之间的距离相等，
第一个平行四边形的面积是矩形面积的一半即，
依此类推第二个平行四边形是第一个平行四边形面积的一半即，
…，依此类推，第个平行四边形的面积为，
则平行四边形的面积为．
10．（26-27九年级上·上海金山·期中）在矩形中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交于点．如果，，那么____________．
【答案】12
【规范解答】解：在矩形中，，
将沿直线翻折，得到，
，，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
11．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：四边形是矩形，
，，，
，，
，
于，
，
在和中，
，
，
，
；
(2)
【思路引导】（1）根据矩形的性质可得，，，证明得到，即可得证；
（2）由（1）可知，，根据勾股定理求出，即可求解．
【规范解答】（1）略
（2）解：由（1）可知，，
由勾股定理可得，
．
12．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)为上一点，连接，若，求菱形的面积．
【答案】(1)证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
(2)
【思路引导】（1）先由对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再结合角平分线和平行线的性质，推得一组邻边相等，从而证明平行四边形为菱形．
（2）由菱形的性质得，得到、都是直角三角形，先用勾股定理求出，再求出，得到对角线、的长，代入菱形面积公式计算．
【规范解答】（1）略
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，，
∴．
13．（26-27九年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】
(1)如图1，在矩形中，，，点是边上的动点（不与端点重合），连接，在右侧作，且，连接，设．
①用含的代数式表示的长为；
②当的面积为18时，求的长．
【问题解决】
(2)如图2，正方形是某小区的一块空地示意图，现物业工作人员要对这块空地进行绿化改造，在、边上分别找一点、（均不与端点重合），并沿、、铺设三条小路，要求，在的中点处修建一口灌溉水井，并从点向点铺设地下水管．已知，设，，求的长度最大（即最大）时，铺设地下水管的长度．（小路和地下水管的宽度及水井的大小均忽略不计）
【答案】(1)①；②
(2)
【思路引导】①根据线段的和与差即可得到；②过作交于，可证，得到，然后结合三角形面积列方程求解，再由勾股定理计算即可；
（2）先证，再由相比可得，然后由二次函数的性质得到最值，再结合勾股定理和在直角三角形中中线等于斜边的一半求解．
【规范解答】（1）解：①在矩形中，，，
，
；
②过作交于，
则，
，
，
则，又，
，
在和中，
，
，
，
整理得：，
解得，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
当时，有最大值，
此时，
，
在中，由勾股定理得：
，
是的中点，，
，
答：铺设地下水管的长度为．
14．（26-27九年级上·广东清远·期中）学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独到的见解：
已知：如图，在中，，，垂足为点，是的外角的平分线，点在上，连接．
小强说：若，则四边形是矩形；
小明说：若，则四边形是矩形；
小丽说：连接，若，则四边形是矩形．
请对其中一人的说法进行判断并证明．
【答案】三人的说法都是正确的，证明如下：
小强的说法的证明：
，，
，，
是的外角的平分线，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
小明的说法的证明：
，，
，，，
是的外角的平分线，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
小丽的说法的证明：
，，
，，，
是的外角的平分线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【思路引导】小强：先证，结合、得到四边形三个内角为直角，判定矩形；
小明：先证，结合，，得到，证得平行四边形，再加一个直角得矩形；
小丽：先证，由得到平行四边形，推出，，则，可证是平行四边形，结合直角判定矩形．
【规范解答】略
15．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究．
如图，为正方形的一条对角线，点为上任意一点（点不与点，重合），点为中点，过点作交边于点，延长交于点．
(1)问题探究：
如图①，连接，则与的位置关系为_______，与的数量关系为______；
(2)问题解决：
如图②，连接，，求证：；【如需（1）中的结论，请先证明】
(3)拓展延伸：
如图③，延长交于点、交于点，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．【如需（1）中的结论，请先证明】
【答案】(1)，
(2)证明：∵正方形，矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
(3)解：，理由如下：
连接，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，由（2）知：，
∴．
【思路引导】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论；
（2）证明，即可得出结论；
（3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论．
【规范解答】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点G为中点，
∴，；
∴；
（2）略
（3）略
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专题01 菱形、矩形、正方形的性质与判定［挑战压轴题］
「思维导图+19个题型讲练+优选题拔尖练 共53题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版）】
【高频压轴提醒举一反三变式训练】 2
题型一 根据菱形的性质与判定求角度 2
题型二 根据菱形的性质与判定求线段长 3
题型三 根据菱形的性质与判定求面积 4
题型四 矩形与折叠问题 5
题型五 斜边的中线等于斜边的—半 6
题型六 根据矩形的性质与判定求角度 7
题型七 根据矩形的性质与判定求线段长 8
题型八 根据矩形的性质与判定求面积 9
题型九 正方形折叠问题 10
题型十 求正方形重叠部分面积 11
题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 12
题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 13
题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 14
题型十四 根据正方形的性质与判定证明 16
题型十五 中点四边形 17
题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 18
题型十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 19
题型十八 四边形中的线段最值问题 20
题型十九 四边形其他综合问题 20
【优选题压轴练】 22
题型一 根据菱形的性质与判定求角度
【典例精讲】（2026·海南·中考真题）如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，和，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在 中， 点 D在边上（不与点A， C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接．
(1)若求证：与互余；
(2)连接，若平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
题型二 根据菱形的性质与判定求线段长
【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中）综合与实践
【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度．轴于点，连接．设点，两点移动的时间是秒，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止．
(1)【解决问题】填空：若，则_______；若，______（用含的式子表示）；
(2)【深入研究】证明：四边形为平行四边形；
(3)若，当四边形为菱形时，求的值；
(4)【能力拓展】在（）的条件下，连接，若为直角三角形，直接写出的值．
【变式训练】如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型三 根据菱形的性质与判定求面积
【典例精讲】（2026·贵州贵阳·二模）如图，在平行四边形中，平分交于点E，点F在边上，连接交于点O，连接，．有以下条件：①，②．
(1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形为菱形；
(2)在（1）的结论下，若平分，，，求四边形的面积．
【变式训练】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，．
(1)当点在对角线上．
①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积；
②如图2，若，，，求平行四边形的周长；
(2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：．
题型四 矩形与折叠问题
【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）综合与实践：折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．
实践操作：如图1，马藤同学将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内的点处，和相交于点，连接．
解决问题：
(1)在图1中，求证：；
(2)子宸同学将图1中的矩形变为平行四边形（），如图2，若，，当的长度为多少时，恰好为直角三角形．请直接写出的长．
【变式训练】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为___________．
题型五 斜边的中线等于斜边的—半
【典例精讲】（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若的延长线于点，求线段的长．
【变式训练】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，点为的中点，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
题型六 根据矩形的性质与判定求角度
【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，四边形的周长为，求四边形的面积．
【变式训练】（25-26九年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、交于点，且．过点作线段的垂线，分别交边和的延长线于点、．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若的长为，，求的长．
题型七 根据矩形的性质与判定求线段长
【典例精讲】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，于点E，于点F，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长以及矩形的面积．
【变式训练】（26-27九年级上·重庆开州·期中）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接．
(1)如图1．若，，求的长；
(2)如图2，若点为线段的中点，求证：；
(3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
题型八 根据矩形的性质与判定求面积
【典例精讲】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，是等腰三角形，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积．
【变式训练】（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接．
(1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
(2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接．
①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明；
②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由．
题型九 正方形折叠问题
【典例精讲】（26-27九年级上·湖北鄂州·期中）在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探究．
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕为；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接．
根据以上操作，当点在上时，写出图中________；
(2)【类比应用】
小丽将矩形卡纸换成边长为的正方形彩纸，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图，当点在上时，________；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当时，请求出的长．
【变式训练】（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）如图，正方形的边长为9，点E在边上，，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得，点G在边上， 则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型十 求正方形重叠部分面积
【典例精讲】（26-27九年级上·湖北鄂州·期中）在校园手工节中，小华用边长为的正方形彩纸制作拼贴画．如图，他先沿对角线把彩纸剪成两个三角形，再把沿方向平移，得到．若平移后与的重叠部分面积为，则平移距离为________．
【变式训练】（25-26七年级下·江西吉安·期末）追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系．
(1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ；
(2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积；
(3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值．
题型十一 根据正方形的性质与判定求角度
【典例精讲】（26-27九年级上·广东梅州·阶段检测）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足．
(1)求点的坐标．
(2)求证：四边形为正方形．
(3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【变式训练】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，的面积为 ；
(3)当为等腰直角三角形时，求线段的长；
(4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值．
题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长
【典例精讲】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，点，分别是，边上的点，，，
(1)求证：；
(2)若，求矩形的周长．
【变式训练】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作．
(1)证明是菱形；
(2)若，连接，求的度数；
(3)若，，，M是的中点，连接，请直接写出的长．
题型十三 根据正方形的性质与判定求面积
【典例精讲】．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．
【变式训练】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点．
(1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________；
(2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论；
(3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少．
题型十四 根据正方形的性质与判定证明
【典例精讲】（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践
如图，四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接．
(1)如图1，当点E是线段的中点时，以为邻边作矩形，求证：矩形是正方形；
(2)如图2，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段于点F，以为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，连接．试探究的数量关系，直接写出结论．
【变式训练】（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）已知点为矩形的对角线交点，，射线交于点，射线交于点．
(1)如图1，若，连接，求证：；
(2)如图2，若，连接．
①证明：；
②若，，，求的长．
题型十五 中点四边形
【典例精讲】（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．
【概念理解】
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【性质探究】
(2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且．
【拓展应用】
(3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点．
①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
②若线段的长为，请直接写出的最小值．
【变式训练】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题
【典例精讲】（26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．
(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？
【变式训练】（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积
【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在正方形中，是正方形内部一点，过点作于点，于点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
题型十八 四边形中的线段最值问题
【典例精讲】（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，正方形的边长为，点是对角线上一动点，过点作于，于，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）按要求解答下列问题：
（选做一）如图，在矩形中，E，F分别为，上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为_________．
（选做二）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值为_________．
题型十九 四边形其他综合问题
【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”．
(1)【概念理解】
在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号）
(2)【性质探究】
如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长．
(3)【判定探究】
如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形为“圆满四边形”．
【变式训练】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号）
(2)【类比学习】如图1，若，，则________；
(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明．
(4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长．
1．（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图，菱形中，点在轴上，点在轴上，若点的坐标为，点坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，．点E、F分别是边的中点，连接、、．有下列四个结论：
①是等边三角形；②，且；
③；④四边形的面积是．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（26-27九年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组对边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，正方形的边长是，是边上一动点，连接，过点作于点，是边上另一动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，则的长为_______．
7．（26-27九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在中，，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______________．
8．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，在矩形中，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别与交于点，连接．若．则四边形的周长为_________．
9．（26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为两邻边作平行四边形…，依此类推，则平行四边形的面积为________．
10．（26-27九年级上·上海金山·期中）在矩形中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交于点．如果，，那么____________．
11．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)为上一点，连接，若，求菱形的面积．
13．（26-27九年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】
(1)如图1，在矩形中，，，点是边上的动点（不与端点重合），连接，在右侧作，且，连接，设．
①用含的代数式表示的长为；
②当的面积为18时，求的长．
【问题解决】
(2)如图2，正方形是某小区的一块空地示意图，现物业工作人员要对这块空地进行绿化改造，在、边上分别找一点、（均不与端点重合），并沿、、铺设三条小路，要求，在的中点处修建一口灌溉水井，并从点向点铺设地下水管．已知，设，，求的长度最大（即最大）时，铺设地下水管的长度．（小路和地下水管的宽度及水井的大小均忽略不计）
14．（26-27九年级上·广东清远·期中）学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独到的见解：
已知：如图，在中，，，垂足为点，是的外角的平分线，点在上，连接．
小强说：若，则四边形是矩形；
小明说：若，则四边形是矩形；
小丽说：连接，若，则四边形是矩形．
请对其中一人的说法进行判断并证明．
15．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究．
如图，为正方形的一条对角线，点为上任意一点（点不与点，重合），点为中点，过点作交边于点，延长交于点．
(1)问题探究：
如图①，连接，则与的位置关系为_______，与的数量关系为______；
(2)问题解决：
如图②，连接，，求证：；【如需（1）中的结论，请先证明】
(3)拓展延伸：
如图③，延长交于点、交于点，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．【如需（1）中的结论，请先证明】
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$2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
专题01菱形、矩形、正方形的性质与判定[挑战压轴题]
「思维导图+19个题型讲练+优选题拔尖练共53题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材九年级上册（原卷版)】
山且录导航
【高频压轴提醒举一反三变式训练】
...2
题型一根据菱形的性质与判定求角度.
2
题型二根据菱形的性质与判定求线段长..
3
题型三根据菱形的性质与判定求面积....
题型四矩形与折叠问题…
…5
题型五斜边的中线等于斜边的一半.··
6
题型六根据矩形的性质与判定求角度..·.·.
7
题型七根据矩形的性质与判定求线段长..·.·
8
题型八根据矩形的性质与判定求面积...
9
题型九正方形折叠问题..。
10
题型十求正方形重叠部分面积.…
11
题型十一根据正方形的性质与判定求角度。
12
题型十二根据正方形的性质与判定求线段长....
13
题型十三根据正方形的性质与判定求面积...14
题型十四根据正方形的性质与判定证明.……
16
题型十五中点四边形..17
题型十六（特殊)平行四边形的动点问题…
18
题型十七利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积…
19
题型十八四边形中的线段最值问题
20
题型十九四边形其他综合问题.………
20
【优选题压轴练】
…22
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教杜]
山思维导图技巧点拔
挑战压轴题专题01
菱形、矩形、正方形的性质与判定思维导图
菱形的性质
1.四条边相等
ABCD是菱形
判定蔓形的方法
图
菱形
1.四条边都相等的四边形是菱形，
2.对角线互相睡直的平行四边形是菱无
3.对角线互相平分
3.对角线互相平分的平行四边形是蔓形。
对角线垂直
对角线平分)
（一般菱形)
设对角线AC.BD交于点O,
则OA=OC=5AC,
4,有一坦邻边相等的平行四边形是菱形
相关公式
OB =OD-BD.
·菱彩的面积：S=三山d山《山，山为两条对角线长
4.每条对角线平分
,菱彩的周长：C=n(a为边长)
∠BOC=∠cOD.
专题01
矩形的性质
菱形、矩形、
矩形
正方形
定正方形的方法
1.四个角都是直角
正方形的性质
有一个角是直角
∠A=∠B=∠C=∠D=90r
的平行四边形是正方形。
2.对边平行且相等
判定矩形的方法
与判定
正方形的性质
2对角线相等且互相重直的矩形是
ARCDADBC
1具有菱形和矩形的所有性圆
正方形。
AB-CD AD-BC
1.有一个角是直角的平行四边形
是矩形
2,四条边相等，四个角韧是直角
3对角线相等且互相平分
设对角线AC、BD交于点O.
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3对角线相等且互相垂直平分
4对角线互相垂直平分且相等的四边形
同AC=BD
3.有三个角是直角的四边形是矩形
4,每案对角线平分一组对角
是正方形
0A=OC=专AC
4.对角线互相平分且相等的四边形
是矩形
OB=OD-号BD
相关公式
相关公式
典型周形
·正方形的面积：S=a2(a为边长)
正方形的长：C=如
☐风☒
·矩形的面积：S=b(a,b分别为长和宽】
·对角线长：d=v2
《显正方彩)（时角经重平分1（时角性解
·矩形的周长：C=2(a+b
·对角线长：d=√+6（由勾股定理
一叔矩形
(对角相等
(对角线平分】
压轴题解题技巧
综会美系图
易错查援
1问图联想：看到四条边相等联想差形：有直角”联地矩形：“边相等+直角“联塑正方衫。
1,菱形与正方影的区分：有一增第功相等的平行四边形是菱形，但不是正方形
之性B姑合：融该后用对角想的性酒（香直，平分，阳等）和角的性质，构障等量关系
蔓形
矩形
2,时角线性居的程调：矩形的对角线相等。菱形的对角线希直。正方形具备两者
1精响战法：透到复杂图形，常通过连对角线、作桑线、延长线等构殖金等或直角三角形
3.条件：判定定理中的泰件需同时满足。不能只看部分条件
正方形
分论：及点的或位置不镜空时
,生分类讨论，避免通调情不
垂直与平分满：菱形的对角线互相直，矩形的对角丝不一定直
5,泛向思推：从结论出发，反向得视条件，灵活运用判定定理.
5图形不缓范：西图时注直标注直角行号。相等标记，整免因面形蜡误身玫解聪失误
山高频压轴题型举。反三变式训练
题型一根据菱形的性质与判定求角度
【典例精讲】(2026·海南·中考真题)如图，按如下步骤作四边形ABCD:①作∠MAN=60°；②以点A
为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径
画弧，两弧交于点C;④连接BC,DC,BD和AC,则∠BAC等于(
)
M
A.15
B.22.5°
C.30°
D.45°
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
【变式训练】(25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)在△ABC中，AB=AC,∠A<60,点D在边AC
上（不与点A,C重合），连接BD,平移线段BD,使点B移到点C得到线段CE,连接DE.
图1
备用图
(1)若∠BAC=2∠E,求证：∠CBD与∠CDE互余；
(2)连接AE,若AC平分∠BAE,用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明.
题型二根据菱形的性质与判定求线段长
【典例精讲】(26-27九年级上·山东青岛·期中)综合与实践
【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)在x轴正半轴上，点B(0,b)在y轴正半轴上，∠BA0=30°，
点P是线段AB上一动点，从点A向点B移动，速度为每秒2个单位长度，点Q是线段BO上一动点，从点B向点
O移动，速度为每秒1个单位长度.PC1x轴于点C,连接CQ.设点P,Q两点移动的时间是t秒，当其中一
个点到达终点停止运动时，另一个点也停止.
y
备用图
(1)【解决问题】填空：若b=1,则a=
;若b≠1，a=
(用含b的式子表示a);
(2)【深入研究】证明：四边形BQCP为平行四边形：
(3)若b=9,当四边形BQCP为菱形时，求t的值：
(4)【能力拓展】在(3)的条件下，连接PQ,若△PQC为直角三角形，直接写出t的值.
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜]
【变式训练】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,AE∥CD交BC于E,AE平分∠BAC,AO=CO,
AD=DC=2,下面结论：①AC=2AB;②AB=V3;③S△ADC=3S△ABE:④B01AE.其中正确的有(
)
D
E
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型三根据菱形的性质与判定求面积
【典例精讲】(2O26·贵州贵阳·二模)如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,点F
在BC边上，连接AF交BE于点O,连接EF,CE.有以下条件：①AF⊥BE,②∠BAO=∠BFO.
E
(1)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形ABFE为菱形：
(2)在(1)的结论下，若EC平分∠BED,AB=10,BC=16,求四边形ABFE的面积.
【变式训练】(25-26八年级下·辽宁鞍山·期中)己知点P是口ABCD内一点，连接PA,PC.
图1
图2
图3
(1)当点P在对角线BD上.
①如图1，若□ABCD的面积为12，△PAD的面积为4，求△PBC的面积；
②如图2，若PA=PC,BD=6,∠BAD=120°，求平行四边形ABCD的周长：
第4页共28页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
(2)如图3，对角线AC与BD相交于点O,点P不在对角线上，连接PB,PD,PB与AC交于点E,PC与BD交于
点F.求证：S△APE十S△DPF=S△BEO+S△CFO·
题型四矩形与折叠问题
【典例精讲】(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)综合与实践：折纸是一项有趣的活动，同学们小时
候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.
实践操作：如图1，马藤同学将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内的点B
处，BC和AD相交于点E,连接B'D
4
B
图1
图2
解决问题：
(1)在图1中，求证：B DIAC:
(2)子宸同学将图1中的矩形变为平行四边形(AB<BC),如图2，若∠B=30°，AB=4V5,当BC的长
度为多少时，△ABD恰好为直角三角形.请直接写出BC的长.
第5页共28页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
【变式训练】(26-27九年级上·山东青岛·期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12cm,BC=20cm,
E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM L BE,垂足
为点M,取AF的中点N,连接MN,则MN的长为
cm
D
M
B
题型五斜边的中线等于斜边的一半
【典例精讲】(26-27九年级上·湖南长沙·期中)如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O,AC平分∠BAD.
D
B
(1)求证：四边形ABCD为菱形：
(2)若AB=10,AC=12,DE1BC的延长线于点E,求线段0E的长.
【变式训练】(26-27九年级上·山东青岛·期中)如图，矩形ABCD的对角线相交于点0，AB=4,AD=5,
点E为BC上一点，连接DE,点F为DE的中点，若OF=1.5,则CF的长为(
)
E
B
F
A.2
B.V5
c.月
D.25
第6页共28页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜」
题型六根据矩形的性质与判定求角度
【典例精讲】(25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，在☐0ACB中，AB=0C,分别延长A0,B0
至点E,D,且OE=AO,OD=OB,连接AD,BE,DE.
E
D
B
(1)求证：四边形ABED是菱形：
(2)若∠DA0=60°，四边形ABED的周长为16V3,求四边形0ACB的面积.
【变式训练】(25-26九年级上·甘肃甘南·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AB Il CD,AD II BC,连
接AC、BD交于点O,且AC=BD.过点O作线段AC的垂线，分别交边AD和AB的延长线于点E、F.
B
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(②)若AE的长为V34,tan∠F=号求0A的长.，
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题型七根据矩形的性质与判定求线段长
【典例精讲】(26-27九年级上·四川成都·阶段检测)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD
相交于点O,BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F,BE=CF.
(1)求证：四边形ABCD是矩形：
(2)若OF:DF=2:1,CF=V5,求BD的长以及矩形ABCD的面积.
【变式训练】(26-27九年级上·重庆开州·期中)如图，在矩形ABCD中，点E为直线BC上一动点，连接AE,
作等腰直角三角形AEF,使∠AEF=90°，AE=EF,连接DF.
D
B
B
F
图1
图2
图3
(1)如图1.若∠BAE=30°，AB=V3,求AF的长；
(2)如图2，若点E为线段BC的中点，求证：DF=V2(AB-CE):
(3)如图3，若AB=6,BC=8.请思考AF+DF是否存在最小值，若存在，请直接写出AF+DF的最小值，
若不存在，请说明理由。
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题型八根据矩形的性质与判定求面积
【典例精讲】(26-27九年级上·山西运城·阶段检测)如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC,点D,E
分别是AB,AC的中点，连接DE并延长至点F,使EF=DE,连接CD,CF,AF.
B
(1)求证：四边形ADCF是矩形：
(2)若∠B=60°，AC=10,求矩形ADCF的面积.
【变式训练】（23-24八年级下·广东珠海·期中)在矩形ABCD中，CD=3,连接BD,且∠CBD=30°，
将三角形BDC沿BD翻折得△BDC',BC'交AD于G,连接AC'·
D
(1)
(2)
(3)
(1)如图(1)判断AC'与BD的位置关系和数量关系，并证明：
(2)如图若△BDC'沿线段BD由B向D运动，速度每秒1个单位，连接AC'.
①如图(2)当t=1.5时，判断四边形AB'DC的形状，并证明：
②如图(3)在运动过程中，四边形AB'DC′的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由
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题型九正方形折叠问题
【典例精讲】(26-27九年级上·湖北鄂州·期中)在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探
究
图1
图2
图3
备用
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF;
操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM.
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠ABP=
(2)【类比应用】
小丽将矩形卡纸换成边长为6cm的正方形彩纸ABCD,按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,
连接BQ,
①如图2，当点M在EF上时，MQ=_一_：
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
(3)【拓展延伸】
在(2)的探究中，当QF=1cm时，请求出AP的长.
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【变式训练】(26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为9，点E在边AD上，
DE=2,连接CE,点F在边BC上，连接EF,将△CEF沿EF翻折得△GEF,点G在AB边上，则EF的长为
D
B
A.25
B.√10
C.210
D.3v10
题型十求正方形重叠部分面积
【典例精讲】(26-27九年级上·湖北鄂州·期中)在校园手工节中，小华用边长为2cm的正方形彩纸ABCD
制作拼贴画.如图，他先沿对角线AC把彩纸剪成两个三角形，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A'B'C.若
△ABC平移后与△ACD的重叠部分面积为0.8cm2,则平移距离AA'为
cm.
B
B
【变式训练】(25-26七年级下·江西吉安·期末)追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课
本P113的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的项点E
与正方形ABCD的中心重合.在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系.
图1
图2
图3
(1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到边EF与AB垂直的位置，此时两个正方形重
叠部分的面积为：
(2)问题解决：当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积；
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(3)延伸探究：将n个边长都为2cm的正方形按如图3所示的方式摆放，A1,A2,A3,A4,…An,分别是正
方形的中心，n个这样的正方形重叠部分的面积之和为2026，请你计算出n的值.
题型十一根据正方形的性质与判定求角度
【典例精讲】(26-27九年级上·广东梅州·阶段检测)如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B
与原点重合，点A,C分别在y轴和x轴上，顶点D(a,b)的坐标a,b满足Q-4+(b-4)2=0.
D
O(B)
(1)求点D的坐标
(2)求证：四边形ABCD为正方形.
(3)若E点为正方形BC边上的动点，连接AE,过E点作EF L AE,且AE=EF,连接CF,∠DCF的大小是否
为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由.
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【变式训练】(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=3,点
P在边CD上，连接AP,当点P不与点D、C重合时，作线段AP的垂直平分线EF,点E在边AD上，点F在边BC
上，连接EP,过点P作PQ⊥EP,交边BC于点Q,连接EQ
0
A
D
B F
B
备用图
(1)求证：△EDP~△PCQ:
(2)当AE=2DE时，△PEQ的面积为：
(3)当△PQE为等腰直角三角形时，求线段AE的长：
(4)作点Q关于EF的对称点Q',连接Q'P.当Q'PIBC时，直接写出tan∠PEQ的值.
题型十二根据正方形的性质与判定求线段长
【典例精讲】(26-27九年级上·广东佛山·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是AD,CD边
上的点，AE=DF,AF⊥BE,
D
G
B
(1)求证：AF=BE:
(2)若AB=V5,求矩形ABCD的周长.
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【变式训练】(26-27九年级上·广西南宁·阶段检测)如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,
交DC的延长线于点F,以EC、CF为邻边作口ECFG.
(1)证明口ECFG是菱形：
(2)若∠ABC=120°，连接BD,DG,BG,CG,求∠BDG的度数：
(3)若∠ABC=90°，AB=6,AD=10,M是EF的中点，连接DM,请直接写出DM的长.
题型十三根据正方形的性质与判定求面积
【典例精讲】.(25-26八年级下·河南安阳·期末)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AC=3AE,
Rt△FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N.若正方形ABCD的边长为3，则重叠部分（即四边形
EMCN)的面积为(
)
G
D
E
M
C
A.3
B.4
C.8
D.4v2
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【变式训练】(25-26八年级下·河北秦皇岛·期末)正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形A1B1C1D1
的顶点A1与点O重合，且这两个正方形的边长都是1.已知A1D1,A1B1与正方形ABCD的边分别交于M,N
两点
O()N
6
O(A)
6
M
D M
D
图1
图2
C
(1)如图1，若A1D11DC,则重叠部分四边形0MCN的面积是
(2)当正方形A1B1C1D1绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形0MCN的面积是否发生变化？证明你的结
论；
(3)在正方形A1B1C1D1绕着点O旋转的过程中，请直接写出MN的最短长度是多少.
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题型十四根据正方形的性质与判定证明
【典例精讲】(26-27九年级上·山西太原·阶段检测)综合与实践
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE.
B
F
F
0
图1
图2
备用图
(1)如图1，当点E是线段AC的中点时，以DE,EC为邻边作矩形DECG,求证：矩形DECG是正方形：
(2)如图2，当点E不是线段AC的中点时，过点E作EF1DE,交线段BC于点F,以DE,EF为邻边作矩
形DEFG,四边形DEFG还是正方形吗？如果是，请证明你的结论，如果不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接CG.试探究CG,EC,CD的数量关系，直接写出结论
【变式训练】(26-27九年级上·福建三明·阶段检测)已知点O为矩形ABCD的对角线交点，∠EOF=90°，
射线OE交AB于点E,射线OF交BC于点F.
图1
图2
备用图
(1)如图1，若AB=BC,连接B0,求证：△A0E兰△B0F;
(2)如图2，若AB≠BC,连接EF.
①证明：AE2+CF2=EF2;
②若AB=3,BC=4,AE=2,求BF的长.
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题型十五中点四边形
【典例精讲】(26-27九年级上·福建漳州·阶段检测)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边
中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这
个原四边形叫作“中方四边形”.
G
图1
图2
【概念理解】
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是
(填序号)
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.
【性质探究】
(2)如图1，若四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，证明AC=BD且AC1BD
【拓展应用】
(3)如图2，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,E,N,F分别是AB,AD,CD,BC的中点，对角线AC
BD交于点O
①试探究线段BD与MN之间的数量关系，并说明理由
②若线段BD的长为6，请直接写出AB+CD的最小值，
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【变式训练】(26-27九年级上·四川达州·阶段检测)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC
的中点，DE,AF交于点G,连接CG,EF,DF,则下列说法正确的个数为()
①△ADE≌△BAF;②DG:DE=4:5;③依次连接AE,EF,DF,AD的中点P,Q,M,N,则四边形MNPQ
为等腰梯形；④2∠ADE+∠BCG=90°.
B
A.1
B.2
C.3
D.4
题型十六（特殊）平行四边形的动点问题
【典例精讲】(26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测)如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,AC=20cm,BD=12cm,两动点E,F同时以2cm/s的速度分别从点A,C出发在线段AC上相
对运动，点B到点C,点F到点A时停止运动.
(1)求证：当点E,F在运动过程中不与点O重合时，以点B,B,D,F为顶点的四边形为平行四边形：
(2)当点E,F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
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【变式训练】(26-27九年级上·河南郑州·期中)如图①，菱形ABCD中，点A为y轴正半轴上一点，AB1y
轴，直线L∥y轴交菱形两边于E,F两点（点E在点F下方），直线从y轴出发，沿AB以每秒2个单位长度的
速度向右平移，设运动时间为x(秒)，△OEF的面积为y,y与x的大致图象如图②，若b=2a,则c的值为
(
以
D
43
A
a
61
①
②
A.3
B.6
C.9
D.12
题型十七利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积
【典例精讲】(26-27九年级上·广东深圳·阶段检测)如图，将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆
放，点A、B、C、D分别是这四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的总和是(
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式训练】(26-27九年级上·河北保定·阶段检测)如图，在正方形ABCD中，M是正方形ABCD内部一
点，过点M作MN1AB于点N,MP1AD于点P,连接NP,ND,NC,若∠APN=45,CD2-AP2=24,
则图中阴影部分的面积为一-一·
D
M
B
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题型十八四边形中的线段最值问题
【典例精讲】(26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为3V2,点P是对角线BD
上一动点，过点P作PE L BC于E,PF LCD于F,连接EF,则EF的最小值为(
D
E
A.1.5
B.6
C.v2
D.3
【变式训练】(26-27九年级上·陕西西安·阶段检测)按要求解答下列问题：
E
选做
一
选做二
(选做一)如图，在矩形ABCD中，E,F分别为BC,CD上的动点，且EF=CD,O为EF的中点，OQ1AD
于点Q,OP⊥AB于点P,连接PQ.若AB=4,AD=6,则PQ的最小值为
(选做二)如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，点E,F分别是AB,CD边上的动点，且BE=DF,
连接EF,过点B作BG⊥EF于点G,连接AG,则AG长度的最小值为
题型十九四边形其他综合问题
【典例精讲】(24-25八年级下·浙江杭州·期末)综合与实践
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180），则称这个四边形为“圆满四边形”.
y
HF
B
C
图1
图2
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(1)【概念理解】
在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是
一一；（请填写序号）
(2）【性质探究】
如图1，已知四边形ABCD是“圆满四边形”，若AB=AD=3,CB=CD,对角线AC=5,求四边形ABCD
的周长。
(3)【判定探究】
如图2，己知OD平分∠AOB,点C在射线OD上，CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,点G在射线EA上，点H在
线段OF上，EG=FH,连接CG,CH.求证：四边形GOHC为“圆满四边形”.
【变式训练】(25-26八年级下·贵州黔南·期中)小新学习了特殊的四边形一一平行四边形后，对特殊四
边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形一一垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形
叫做垂美四边形
图1
(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是
(填写相应
的序号)
(②)【类比学习】如图1，若AC=3V6,BD=4W2,则S四边形ABcD=
(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边AB,BC,CD,AD之间的数量关系，并加以证明，
(4)【问题解决】如图2，在△ABC中，点D,E分别是边BC,AC的中点，且AD⊥BE,垂足为O.若AC=6,
BC=8,求AB的长.
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D
O
E
C
图2
山优迭题拔尖练
1.(26-27九年级上·贵州贵阳·期中)如图，菱形ABCD中，点A在x轴上，点D在y轴上，若点A的坐标为
(2,0),点C坐标为(2.2)，则点D的坐标为(
D
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(W5,0)
D.(0,5)
2.(26-27九年级上·广东深圳·期中)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4.点BF分别是边
BC、CD的中点，连接AE、AF、EF.有下列四个结论：
①△ABC是等边三角形；②EF N BD,且EF=BD;
③∠EAF=30°；④四边形AECF的面积是4W3.
其中正确结论的个数是(
D
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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3.(26-27九年级上·广东深圳·期中)下列说法正确的是(
A.四条边相等的四边形是正方形
B,对角线相等的四边形是矩形
C.有一组对边相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.(26-27九年级上·北京东城·期中)如图，正方形ABCD的边长是2，E是AD边上一动点，连接BE,过
点A作AF 1 BE于点F,P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为(
D
A.5+5-1
B.V13-1
C.V5+√2-1
D.2W13-2
5.(26-27九年级上·山东青岛·期中)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是CD上一点，将△ADE沿AE
折叠，点D的对应点为D',AD'与BC交于点F,若F为BC中点，则∠AED的度数为(
)
A.70°
B.75°
C.80°
D.85
6.(26-27九年级上·四川达州·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E,F分别在AD,BC
上，连接BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF是菱形，则EF的长为
7.(26-27九年级上·甘肃酒泉·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,D是
AB上一点，DE L AC于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值为
cm.
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8.(26-27九年级上·湖南长沙·期中)如图，在矩形ABCD中，连接BD,分别以B,D为圆心，大于BD
的长为半径画弧，两弧交于P,Q两点，作直线PQ,分别与AD,BC交于点M,N,连接BM,DN.若
AD=8,AB=4.则四边形MBND的周长为
P
M
9.
(26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测)如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1,以
AB,A01为两邻边作平行四边形ABC1O1,平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2,同样以AB,A02为两
邻边作平行四边形ABC202,依此类推，则平行四边形ABC202602026的面积为一一一·
0
C
C2
B
10.(26-27九年级上·上海金山·期中)在矩形ABCD中，P是边BC上一点，将△APB沿直线AP翻折，点
B落在PD上的点E处，AE的延长线交BC于点F.如果BP=4,PF=5,那么AB=」
E
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11.(26-27九年级上·陕西咸阳·期中)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AD=DE,AF1DE于F.
(1)求证：AB=AF;
(2)若AB=3,AD=5,求EF的长.
12.(26-27九年级上·宁夏银川·期中)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，A0=C0,B0=D0,
BD平分∠ABC.
D
E
B
(1)求证：四边形ABCD是菱形：
(2)E为0B上一点，连接CE,若OE=1,CE=V3,BC=2V3,求菱形ABCD的面积.
第25页共28页
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13.(26-27九年级上·陕西榆林·期中)【问题探究】
图1
图2
(1)如图1，在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,点E是BC边上的动点（不与端点重合），连接AE,在AE
右侧作EF L AE,且EF=AE,连接CF,设BE=m.
①用含m的代数式表示CE的长为：
②当△CEF的面积为18时，求AE的长.
【问题解决】
(2)如图2，正方形ABCD是某小区的一块空地示意图，现物业工作人员要对这块空地进行绿化改造，在BC、
CD边上分别找一点E、F(均不与端点重合)，并沿AE、EF、AF铺设三条小路，要求AE L EF,在AF的中
点M处修建一口灌溉水井，并从点D向点M铺设地下水管DM.已知AB=40m,设BE=xm,CF=ym,
求CF的长度最大（即y最大）时，铺设地下水管DM的长度.（小路和地下水管的宽度及水井的大小均忽略
不计)
第26页共28页
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14.(26-27九年级上·广东清远·期中)学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独
到的见解：
己知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点D,AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，点E在AG
上，连接CE
F
A
小强说：若CE⊥AG,则四边形ADCE是矩形：
小明说：若AE=BD,则四边形ADCE是矩形：
小丽说：连接DE,若DE II AB,则四边形ADCE是矩形.
请对其中一人的说法进行判断并证明。
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15.(26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测)小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究.
如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为BD上任意一点（点E不与点B,D重合)，点G为DE中点，过
点E作EF⊥BC交BC边于点F,延长FE交AD于点H
H
H
A
D
A
N
G
M
E
E
F
F
图①
图②
图③
(1)问题探究：
如图①，连接HG,则HG与EG的位置关系为
。,HG与EG的数量关系为
(2)问题解决：
如图②，连接AG,FG,求证：∠AGH=∠FGE;【如需(1)中的结论，请先证明】
(3)拓展延伸：
如图③，延长AG交CD于点M、交HF于点N,连接FM,请写出线段DM,FM,BF之间的数量关系，并说明
理由，【如需（1)中的结论，请先证明】
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