1.4　正方形的性质与判定教学设计2026-2027学年数学北师大版九年级上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

1.4　正方形的性质与判定

教材分析

本节是第一章第3节“正方形的性质与判定”，教材第20—25页。

教材从图1—17（边长分别为2、2.5、3的三个正方形）出发，给出定义“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”；再用“议一议”提出“正方形是矩形吗？是菱形吗”，从而把正方形的性质归结为“矩形与菱形性质的总和”，得到两条性质定理；例1（图1—18、图1—19）以“E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF”为背景，用全等三角形研究BE与DF的关系；

接着用“议一议”得到四条判定定理，例2（图1—21）给出判定的综合应用，最后“做一做”（图1—22）研究以正方形各边中点为顶点组成的图形。

本节是特殊平行四边形的“顶点”，既综合了菱形、矩形的性质与判定，又集中体现“一般与特殊”的关系。

核心素养目标

1. 推理能力：能说明正方形既是矩形又是菱形，并由此推出正方形的性质，完成性质定理的证明。

2. 逻辑推理：能在“矩形＋一组邻边相等”“菱形＋一个角是直角”的条件组合中辨析正方形的判定，规范书写例2的证明。

3. 几何直观：能从图1—17、图1—23中看出正方形与菱形、矩形的联系，画出四者关系图。

4. 运算能力：能在正方形中运用全等三角形与勾股定理进行计算（如AC＝√2·AB）。

教学重点

1. 正方形的性质定理；

2. 正方形的四条判定定理。

教学难点

1. 判定条件的组合与选择（“先证矩形再加一组邻边相等”还是“先证菱形再加一个角是直角”）；

2. 性质与判定的综合运用。

学情分析

1. 已有基础：学生已学完菱形、矩形的性质与判定，对“定义—性质—判定”的研究路径比较熟悉，也积累了用全等三角形证明线段相等、用勾股定理计算的经验。

2. 可能困难：正方形的判定条件多、易混，学生常把“对角线互相垂直的矩形”与“对角线相等的菱形”张冠李戴；也容易忽略“先证明是矩形（或菱形）”这一中间步骤，直接由几个条件跳到结论。

3. 例1中“BE⊥DF”的证明需要两次转化（全等→角相等→两锐角互余），学生书写时容易漏掉“∠DCF=90°”这一关键。

教学方法

类比迁移（由菱形、矩形类比得出正方形的性质与判定）与问题链驱动相结合；采用“独学—合学—展示—点评”的小组合作探究模式。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

正方形纸片、长方形纸片、剪刀、多媒体课件、几何画板、导学案、北师大版《数学》九年级上册教材（第20—25页）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境导入，得出定义

情境（教材第20页图1—17）：观察三个四边形（边长分别为2、2.5、3，都标有直角符号）。

问题1：它们都是正方形吗？你依据什么判断？

问题2：正方形与平行四边形、菱形、矩形有什么关系？

定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（square）。

追问：定义中有几个条件？这两个条件分别“借用”了谁的？（“一组邻边相等”来自菱形，“一个角是直角”来自矩形）

投影图1—17，引导学生用“边、角”两条线索描述；板书定义并标注两个条件。

观察图形、说出判断依据；在定义上圈出“一组邻边相等”“一个角是直角”“平行四边形”。

能否指出定义中的两个附加条件及其来源。

教材原图

图 1—17  三个正方形：边长分别为 2、2.5、3

设计意图：用“两个条件的叠加”揭示正方形的本质，为“性质是矩形与菱形性质的总和”“判定要分两步”作铺垫。

环节二

议一议：性质从哪里来

议一议（教材第20页）：

（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？

（2）你认为正方形具有哪些性质？

结论：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质。

性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分。

想一想（第20页）：正方形有几条对称轴？（4条）

追问：为什么正方形有4条对称轴，而菱形、矩

引导学生用“正方形＝矩形∩菱形”解释性质的来源；组织学生说出证明思路，教师板书规范表述。

小组讨论并展示“性质来源表”（矩形提供什么、菱形提供什么、正方形兼有什么）；折纸数对称轴。

能否说清“性质由矩形、菱形继承而来”，并写出两条性质定理的证明思路。

形只有2条？

证明思路：由“正方形是矩形”得四个角都是直角、对角线相等；由“正方形是菱形”得四条边相等、对角线互相垂直。

设计意图：用“继承”的观点把三条性质串起来，避免死记硬背；折纸数对称轴再次落实“特殊化”的观念。

环节三

例1：用全等研究线段关系

例1（教材第21页图1—18、图1—19）：在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。

结论：BE=DF，且BE⊥DF。

证明（1）：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，∴∠DCF=180°−∠BCE=90°，∴∠BCE=∠DCF。又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF。

证明（2）：延长BE交DF于点M。∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF。∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°，∴∠CBE+∠F=90°，∴∠BMF=90°，∴BE⊥DF。

追问：为什么必须先说明∠DCF=90°？如果F在BC上，结论还成立吗？

示范“先猜关系、再分两问证明”的书写结构；追问辅助线的想法（为什么要延长BE）。

独立完成（1），板演（2）；用几何画板拖动点E，观察BE与DF始终相等且垂直。

证明是否写全三个条件（BC=DC、∠BCE=∠DCF、CE=CF）；能否用“两角互余”推出垂直。

教材原图

图 1—18  E 在 CD 上，F 在 BC 的延长线上，CE＝CF