专题02 一元二次方程的解法［挑战压轴题］导图知识卡片+10个题型讲练+优选题拔尖练 共45题-2026-2027学年北师大版数学九年级上册典型题培优系列
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内容正文：
专题02 一元二次方程的解法［挑战压轴题］
「思维导图+10个题型讲练+优选题拔尖练 共45题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（解析版）】
【高频压轴题型举一反三变式训练】 2
题型一 解一元二次方程-直接开平方法 2
题型二 解一元二次方程-配方法 7
题型三 配方法的应用 11
题型四 公式法解一元二次方程 15
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 19
题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 22
题型七 因式分解法解一元二次方程 25
题型八 换元法解一元二次方程 30
题型九 解分式方程（化为一元二次) 33
题型十 一元二次方程的根与系数的关系 36
【优选题拔尖练】 39
题型一 解一元二次方程-直接开平方法
【典例精讲】（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【规范解答】（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：
，
，
或，
∴，；
（3）解：
，，，
，
，
∴，；
（4）解：
，
，
，
或，
∴，．
【变式训练1】（26-27九年级上·广东深圳·期中）阅读材料并完成任务
【阅读材料】对一元二次方程，交换二次项系数与常数项，得到，我们称后一个方程为前一个方程的“倒根伴随方程”．例如：的“倒根伴随方程”为．
【理解应用】
(1)写出的“倒根伴随方程”；
(2)若的“倒根伴随方程”有一个根为，求以及这个倒根伴随方程的另一个根；
【探究扩展】
(3)若与它的“倒根伴随方程”有一个公共实根，且，求的值，并写出推理过程．
【答案】(1)
(2)，另一个根为
(3)解：，推理过程如下：
方程的“倒根伴随方程”为，
由题意可知，这两个方程根的判别式，
∴，
设这两个方程的公共根为，
则，，
∴，
解得，
当时，则，解得，且，符合题意；
当时，则，解得，不符合题意，舍去；
综上，的值为5．
【思路引导】（1）根据“倒根伴随方程”的定义即可得；
（2）先求出“倒根伴随方程”，再将代入可得的值，然后解方程即可得；
（3）先求出“倒根伴随方程”，再设这两个方程的公共根为，代入化简，结合求解即可．
【规范解答】（1）解：的“倒根伴随方程”为．
（2）解：方程的“倒根伴随方程”为，
∵的“倒根伴随方程”有一个根为，
∴，
解得，
∴这个倒根伴随方程为，
解得或，
综上，，这个倒根伴随方程的另一个根为．
【变式训练2】（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到．
(1)如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：；
(2)如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积．
【答案】(1)证明：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为的中点，
，
∵将沿翻折后得到．
，，
，
∵，，
∴，
∴；
(2)，
理由：点是的中点，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
，，
．
(3)
【思路引导】（1）连接，根据矩形的性质得出， ，根据点为的中点，得出，根据折叠得出， ，则，即可证明 ，从而得出；
（2）根据矩形的性质和折叠的性质，证明四边形是平行四边形，则，即可证明；
（3）根据（1）的结论以及折叠的性质可得，，设，证明求得，进而证明，设，根据勾股定理建立方程，解方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【规范解答】（1）略
（2）略
（3）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，，
，
∵折叠，
∴，，
∴，，
，
设，
∴，
又，
∴，
解得：，
∴ ，，
设，
在中，，
在中，，
在中，，
，
解得：（负值舍去），
．
题型二 解一元二次方程-配方法
【典例精讲】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）解决问题：
(1)解方程：．
(2)已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形．
【规范解答】（1）解：原方程可变为
方程两边同时加一次项一半的平方得：
左边写成完全平方式：
两边同时开平方得：
；
【变式训练1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，点D为线段上动点，点E为线段上动点，且满足，则的最小值为______；当取得最小值时，的长为______．
【答案】
【思路引导】设，根据题意用含的代数式表示，进而表示；过点作于点，构造，利用勾股定理表示； 第一空利用二次函数配方法求的最小值； 第二空设，转化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求W的最小值及对应的，进而求出即可．
【规范解答】解：设，
，
．
，
，+
．
过点作于点，
在中，，
∴，
，
，
在上，，
，
在中，，
在线段上，
，
即．
解得．
，
，，
当时，取得最小值．
②设，
则．
两边平方得，
整理得．
为实数，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
此时方程可变形为，
解方程得，
．
【变式训练2】（25-26八年级下·重庆·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：）
(1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？
【答案】(1)点B与点C之间的距离为千米
(2)此时甲无人机离B处千米
【思路引导】（1）易得为等边三角形，得到，进而得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可；
（2）设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可.
【规范解答】（1）解：由图和题意，可知，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
过点作于点E，则，
在中，由勾股定理得，
∴；
答：点B与点C之间的距离为千米；
（2）解：如图，设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则，
∵乙无人机的速度是甲的2倍，
∴，
∴，
作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
整理，得，
∴，
∴，
解得或；
当时，，不符合题意，舍去；
答：此时甲无人机离B处千米.
题型三 配方法的应用
【典例精讲】（26-27九年级上·甘肃天水·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值．
解：，
，，
，即的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式，求它的最小值；
(2)已知代数式，求它的最大值；
(3)知识迁移：如图，在中，， ，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．
【答案】(1)4
(2)
(3)20
【思路引导】（1）参照题干利用配方法求解；
（2）利用配方法将所求式子变形为，即可求解；
（3）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可．
【规范解答】（1）解：，
，，
，即的最小值是4．
（2）解：，
，，，
，即的最大值是．
（3）解： ，，点运动速度为，点运动速度为，
点从点移动到点所需时间为：，
点从点移动到点所需时间为：，
，
，
的最小值为20．
【变式训练1】（26-27九年级上·湖南常德·期中）下面是某同学在“一元二次方程”单元检测中解答的部分填空题：①方程的解是；②把二次三项式配成的形式，则；③若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是；④若是一元二次方程的一个根，则的值为或．你认为该同学答对的题有 ___________．（只填序号）
【答案】②③
【思路引导】结合一元二次方程的求解、配方法、根的判别式、方程根的定义及一元二次方程的概念，逐一判断该同学的作答正误，筛选出答对的序号．
【规范解答】解：
① 求解方程，
移项得，
因式分解得，
∴ 方程的解为或，
该同学仅给出解，漏了，故①错误；
② 对二次三项式配方，
，
与该同学的结果一致，故②正确；
③ 一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式，
即，
解得，
当时，满足，符合要求，故③正确；
④ 将代入方程，
得，
整理得，即，
因式分解得，解得或，
∵ 该方程为一元二次方程，
∴ 二次项系数，即，
∴ 的取值只能为，
该同学未舍去不符合一元二次方程定义的，故④错误．
该同学答对的题有②③．
【变式训练2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【思路引导】利用为正整数的条件，结合系数和为4的限制，分类讨论各系数的可能取值，逐一判断说法正误．
【规范解答】解：由题设知，为自然数，为正整数，且．
①判断：为正整数，
当时，至少含和两项，不可能为单项式．
当时，，
若为单项式，则，此时，即，仅1个，故①正确．
②判断：当时，
为正整数，
，
．
当时，，对应整式为．
当时，，正整数解为，对应整式为，，．
所有整式的和为，
与不符，故②错误．
③判断：二次三项式需满足且含3项，
为正整数，
项与项必存在，
需，即．
结合，，，得可能的组合：
时，，对应整式，；
时，，对应整式．
共3个二次三项式．
配方判断非负性：，，，
均为非负数，共3个，与“共有2个”不符，故③错误．
综上，正确的个数为1．
题型四 公式法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）解下列一元二次方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）．
【答案】(1)，
(2)，
【规范解答】（1）解：，
两边加 1 得 ，
即 ，
所以 ，
解得：，．
（2）解：
这里，，，，
，
所以 ，
解得：，．
【变式训练1】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，某海军基地位于处，在其正南方向处有一重要目标，在的正东方向处有一重要目标，小岛位于的中点处，岛上有一补给码头；小岛位于的中点处．一艘军舰从出发，经到匀速巡航：一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
(1)小岛D与小岛F相距多少海里？
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，则相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到；参考数据：）
【答案】(1)即小岛D与小岛F相距海里
(2)相遇时补给船航行了海里
【思路引导】（1）根据中位线定理可得；
（2）设补给船航行路程为x，根据速度关系表示军舰路程，在中用勾股定理列方程求解．
【规范解答】（1）解：如图，连接，
∵小岛位于的中点处，小岛位于的中点处，
∴是的中位线，
∴，
答：小岛D与小岛F相距海里；
（2）解：设相遇时补给船航行了，则，
∵军舰速度是补给船2倍，航行时间相同，
∴，
∵小岛位于的中点处，小岛位于的中点处，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∵在、之间，
∴，
解得，
∴，
答：相遇时补给船航行了海里．
【变式训练2】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为．
(1)当 时，四边形为菱形；
(2)是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由；
(3)在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)解：不存在某一时刻t使得；理由如下：
过Q作，交于M，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得；
(3)
【思路引导】（1）证明四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t；
（2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，根据勾股定理列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论；
（3）根据折叠的性质得到，，进而得到，根据等角对等边得到，过点作于，在中，由勾股定理：，求解后舍去不合要求的解即可．
【规范解答】（1）解：由题意可知，，
∴，即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（2）略
（3）解：如图，
∵沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于，
同（2）可知，．
在中，由勾股定理：，
∴
解得（此时与重合，是端点，舍去），．
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】（26-27九年级上·河北廊坊·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是_____；
(2)求证：一元二次方程的倒方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)证明：由题意得，原方程的倒方程为．
∵ 该方程的二次项系数为，
∴ 该方程是一元二次方程，
其根的判别式
，
∵ ，
∴ ，即，
∴ 一元二次方程的倒方程总有两个不相等的实数根．
【思路引导】（1）根据倒方程定义，交换原方程二次项系数与常数项的位置，一次项系数不变，直接写出倒方程；
（2）先写出倒方程的表达式，确认其为一元二次方程后，计算根的判别式，通过配方证明判别式恒大于0，即可得证．
【规范解答】（1）解： 根据定义，一元二次方程的倒方程为．
原方程中，，，，
∴倒方程为；
【变式训练1】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程：（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长．
【答案】(1)证明：在一元二次方程中，
，，，
判别式
，
∵ 对任意实数，，即，
∴ 不论为何值，方程总有两个实数根；
(2)的周长为7或8．
【思路引导】（1）通过判别式恒非负证明方程总有两个实数根；
（2）求出方程的两根，结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系后求周长．
【规范解答】（1）略
（2）解：对
因式分解， 得，
解得，，
∵ 等腰中，，另外两边长为方程的两根，
∴ 分两种情况讨论： ①当3为腰长时，，
解得，
此时三边长为3，3，2，满足三角形三边关系， 周长为；
② 当3为底边长时，，
解得，
此时三边长为3，2，2，满足三角形三边关系， 周长为；
综上所述，的周长为7或8．
【变式训练2】（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【思路引导】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果．
【规范解答】根据定义，原方程的“倒方程”为．
① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误；
② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确；
③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确；
④ 若是的根，则，
，
，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确；
⑤ 原的“倒方程”为，
是“倒方程”的根，
，
对所求式变形：，故⑤正确．
综上，正确结论共4个，故选C．
题型六 根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．
(1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”．
当时，求该幸运方程的“幸运数”；
若该幸运方程的“幸运数”是，求的值；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”．
【答案】(1) ； 或；
(2)，．
【思路引导】 把代入一元二次方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解；
根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得的值；
通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，然后按照“幸运数”定义求解即可．
【规范解答】（1）解：当时，代入一元二次方程得到方程，
∴“幸运数”为；
∵的“幸运数”是，
∴，整理得，
，
解得，，
∴的值为或；
（2）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∵关于的一元二次方程是“幸运方程”，
∴是完全平方数，即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴，
当时，一元二次方程化为，
∴，
∴方程的“幸运数”为．
【变式训练1】（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【思路引导】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式非负两个条件．
【规范解答】解：方程是关于的一元二次方程，
，
方程有实数根，
，即，解得，
综上，的取值范围是且．
【变式训练2】（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值．
(2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”．
(3)已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值．
【答案】(1)或5
(2)
(3)2
【思路引导】（1）根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可；
（2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可；
（3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可．
【规范解答】（1）解：一元二次方程中，
由题意得，
解得：，
则当或5时，该全整根方程的“关爱码”是；
（2）解：∵，
，
，
，
其中完全平方数只有，
当时，，
当时，原方程为，
则，
综上所述：该方程的“关爱码”为；
（3）解：方程的“关爱码”，
方程的“关爱码”，
∵方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
，
或，
∵均为正整数，
∴不合题意，
．
题型七 因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·重庆·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，．
(2)，．
【规范解答】（1）解：．
因式分解，得．
∴或．
∴．
（2）解：．
把右边写成，移项，得．
提取公因式，得．
∴．
∴或．
解得，．
【变式训练1】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)直线：与x轴交于点A，直线l过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和（），且点在的内部（不包含边界），则的取值范围是_________．
【答案】(1)四
(2)或
(3)
【思路引导】（1）利用因式分解法求出方程的解，结合“n倍根方程”的定义分析即可得出结果；
（2）先求出方程的解为，，再分两种情况，分别结合“n倍根方程”的定义计算即可得出结果；
（3）先求出，直线的解析式为，由题意可得，从而可得，即点在直线上，求出直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，画出函数图象，结合函数图象分析即可得出结果．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，
解得，，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵，
∴或，
∴，，
∵关于x的方程是“三倍根方程”，
∴当时，，
当，即时，，
综上所述，的值为或；
（3）解：在中，当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵一个五倍根方程的两个根为和（），
∴，
∴，
∴点在直线上，
联立，
解得，
∴直线与直线的交点为，
联立，
解得，
∴直线与直线的交点为，
画出函数图象如图所示：
∵点在的内部（不包含边界），
∴由图象可得．
【变式训练2】（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图 1，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接．
(1)与的数量关系是________，与的位置关系是________．
(2)当点在线段的延长线上运动时，
①如图 2，探究三条线段之间的数量关系，并说明理由；
②如图 3，连接，若，求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)①，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
②
【思路引导】（1）证明得到，，即可得到；
（2）①由正方形得到，再证明，得到，最后根据证明即可；
②连接交于，设正方形的边长为，则，，，，，在中根据列方程解得，再求出，最后根据计算即可．
【规范解答】（1）解：∵ 四边形、都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴ ，，
∵，
∴，
∴，即；
（2）解：①略；
②连接交于，
设正方形的边长为，则，，，
∵，，
∴，，
∴中，
∵中，，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），
∴，，
∴．
题型八 换元法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中）请阅读下列材料：
已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，称为“换根法”．请利用材料中的“换根法”，解决下列问题．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】（1）根据换根法，将原方程的根用所求方程的根表示，代入原方程化简即可；
（2）根据换根法，将原方程的根用所求方程的根表示，代入原方程后整理即可．
【规范解答】（1） 解：设所求方程的根为，
∵所求方程的根是已知方程根的倒数，
∴（），即，
把代入，得 ，
两边同乘（），
得 ，
整理得；
（2）解：设所求方程的根为，
∵所求方程的根是已知方程根的平方，
∴，
代入，
得 ，
移项得，
两边平方，得
即，
整理得．
【变式训练1】（26-27九年级上·广东汕尾·阶段检测）【问题背景】配方法、公式法和因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次是解一元二次方程的基本思路，此外还可以用换元法来研究某些特殊方程．
(1)【实例解析】已知实数m，n满足，将“”看作一个整体，令，则原方程可化为．可得＝______．＝______．即的值为______．
(2)【举一反三】若实数m，n满足．则的值为______．
(3)【解决问题】解方程：．
【答案】(1)；5；或5
(2)3；
(3)
【思路引导】（1）令，先解出关于y的方程，进而即可求解；
（2）令，先解出关于y的方程，进而即可求解；
（3）令，先解出关于y的方程，进而即可求解．
【规范解答】（1）解：令，则原方程可化为，
解得：，
∴或5；
（2）解：令，则原方程可化为，
解得：，
∵，
∴；
（3）解：令，则原方程可化为，
解得：，
∴，解得：
【变式训练2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则，从而
把代入已知方程，得，
化简，得，
因此所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换根法”，请你用上述思路解决下列问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于y的一元二次方程的两个实数根是_________．
【答案】(1)
(2)
(3)1025和1022
【思路引导】（1）设所求方程的根为y，则，将代入已知方程，化简即可得到答案；
（2）设所求方程的根为y，则，将代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案；
（3）所给方程整理可得，令可得，结合（2）中结论可得的根，进而即可求解．
【规范解答】（1）解：设所求方程的根为y，则，
，
将代入，得：，
化简，得，
所求方程为；
（2）解：设所求方程的根为y，则，
，
将代入，得：，
去分母，得，
若，则化为，有一个根为0，不合题意，
，
所求方程为；
（3）解：，
整理，得，
令，
则，
的两个实数根分别为1和，
结合（2）中结论可得，的两个实数根为1和的倒数，
，，
，，
即的两个实数根是1025和1022．
题型九 解分式方程（化为一元二次)
【典例精讲】（26-27九年级上·云南昆明·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感、即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．如果雕像的高为，那么腰部以下应设计为多少（结果保留根号）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】设腰部以下应设计为，则腰以上设计为，根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设腰部以下应设计为，则腰以上设计为，
由题意得，，
解得：，（舍），
即腰部以下应设计为．
【变式训练1】（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）观察下列方程及其解的特征
第个方程：的解为，
第个方程：的解为，，
第个方程：的解为，．
解答下列问题：
(1)猜想第个方程的解为________；
(2)关于的第个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于的分式方程：．
【答案】(1)，
(2)（为正整数）；，
(3)，
【思路引导】（1）利用已知方程的解与右边分式的对应规律直接求解；
（2）归纳前个方程的形式与解的共性，推导一般规律；
（3）将原方程变形为符合规律的形式，通过整体代换求解．
【规范解答】（1）解：，
故方程的解为，．
（2）解：第个方程：，
第个方程：，
第个方程：，
则关于的第个方程为（为正整数），
故其解为，．
（3）解：已知，
则，
可得或，
解得，，
根据题意可知，
当时，，
当时，，
故，是原方程的根．
【变式训练2】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____．
【答案】或
【思路引导】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零．
【规范解答】由，得．
代入，
分子，
所以，
即．
两边乘以2，得．
所以，
整理得，
因式分解得，
解得或．
检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足．
故答案为：或．
题型十 一元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在使得成立
B．的值为或
C．的值为
D．的值为
【答案】D
【思路引导】先利用判别式求出的取值范围，再结合根与系数的关系和已知条件建立方程求解的值．
【规范解答】解：∵ 一元二次方程有两个实数根，
∴ ．
整理得，即．
由根与系数的关系，得，．
∵ ，
∴ ．
代入得，
整理得.
解得.
∵ ，不符合题意，舍去，
∴ .
【变式训练1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“紫金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“紫金方程”，并说明理由：
(2)已知是关于的“紫金方程”，若，是此方程的两个根，求的值．
【答案】(1)解：是，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴一元二次方程是“紫金方程”；
(2)0
【思路引导】（1）根据“紫金方程”定义判断即可；
（2）根据“紫金方程”得到，，再根据根与系数的关系，，最后代入求值即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：∵是关于的“紫金方程”，
∴，
解得，
∵，是方程的两个根，
∴，，
∴．
【变式训练2】（26-27九年级上·广东东莞·期中）如图，矩形的两条邻边，（）．
(1)若，是关于的方程的两个根，且，求的值；
(2)若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长；
(3)点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)解：设，则，，，，
，
，即，
化简得，即，
，
，
，
．
【思路引导】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合得到，即可求解；
（2）由（1）可求出，，设，则，，，根据勾股定理可得，即，即可求解；
（3）设，则，，，，根据勾股定理可得，即，化简得，根据一元二次方程根的判别式即可得证．
【规范解答】（1）解： ，是关于的方程的两个根，
，，
，
，
即，
解得或，
，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，，
，，
设，则，，，
，
，即，
整理得，
解得，
；
（3）略
1．（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为2，则k的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
【答案】B
【思路引导】把代入方程即可解答．
【规范解答】解：将代入方程得，即，
解得，
，
，
．
2．（26-27九年级上·山西大同·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【思路引导】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，确定各项系数后计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况．
【规范解答】解：将原方程移项，得．
∵，，，
∴．
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
3．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）在菱形中，对角线、相交于点，和的长是关于的方程的两个根，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【思路引导】先求解方程得两根，结合菱形对角线互相垂直的性质，根据直角三角形斜边大于直角边确定与的长度，再由勾股定理求；
【规范解答】解：解方程，得，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵在中，为斜边，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，
∴．
4．（26-27九年级上·山东青岛·期中）定义：是一元二次方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【思路引导】先根据倒方程的定义写出对应方程，再结合方程的解、根的判别式及一元二次方程的二次项系数不为的条件逐一判断．
【规范解答】解：①的倒方程为，
将代入得，解得，故①正确；
②∵，
∴，，两个方程均为一元二次方程，两者的判别式均为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴两个方程都有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵一元二次方程无解，
∴，
∴，
∴，其倒方程为一元二次方程，
倒方程的判别式，
∴倒方程也无解，故③正确；
④∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
当时，倒方程为，是一元一次方程，只有个实数根，
∴倒方程不一定有两个不相等的实数根，故④错误；
综上，正确的是①②③．
5．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【思路引导】分一元一次、一元二次方程两种情况，结合整数解条件利用约数性质求解.
【规范解答】解：分两种情况讨论：
①当时，方程为一元一次方程，
解得或，
时，方程化为，解得，为整数，符合条件；
时，方程化为，解得，为整数，符合条件.
②当时，方程为一元二次方程，
因式分解得，
解得，，
方程的解均为整数，为整数，
是4的整数约数，即，
对应，
结合，代入验证：
时，，非整数，排除；
时，，非整数，排除；
时，，为整数，符合条件；
时，，非整数，排除；
时，，为整数，符合条件.
综上所述，符合条件的整数共个.
6．（26-27九年级上·内蒙古包头·期中）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_____．
【答案】
【思路引导】先求解给定一元二次方程得到两个边长的可能取值，再结合等腰三角形的边长特征分类讨论，依据三角形三边关系排除无法构成三角形的组合，最终计算符合要求的三角形周长．
【规范解答】解：，
，
∴，，
∴方程的两个根为，，
当腰长为，底边长为时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，
∴该组合无法构成三角形，舍去；
当腰长为，底边长为时，，满足三角形三边关系，
∴该组合可构成三角形，此时三角形的周长为．
7．（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）若方程可以配方成，则____．
【答案】1
【思路引导】先将方程配方，再结合已知条件求出m，n的值，最后代入求值即可；
【规范解答】解：∵，
∴，
∴．
∵方程可以配方成，
∴，，
∴，
∴．
8．（26-27九年级上·天津和平·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】
【思路引导】根据一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质，推导与的数量关系，即可求出的值．
【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
展开整理得，
即，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
9．（26-27九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，，．点是边上一个动点，点是边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，当时，的长为________．
【答案】或
【思路引导】用勾股定理求出，设，借同高三角形的面积比把、用表示；由折叠的等长关系与判定点、、共线，再按点在点的上方与下方两种情形，分别在直角三角形中用勾股定理列方程求解．
【规范解答】解：∵．
∴．
∵点是的中点．
∴．
设)，把点翻折后的对应点记为点．
由折叠可知．
连接，过点作于点．
∵与同高，底分别为、．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∵在直角三角形中，．
∴．
∴．
∵．
∴．
∵，且、都过点．
∴点、、在同一条直线上．
①当点在点上方时(如图)，点在点与点之间．
∴．
∵在直角三角形中，．
∴．
整理得．
∴或(不合题意，舍去)．
②当点在点下方并越过点时(如图)，点在点与点之间．
∴．
由勾股定理得．
∴．
整理得．
∴或(不合题意，舍去)．
综上所述，的长为或．
10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）对于一元二次方程（a，b，c为常数，且），下列条件：①；②；③；④；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是________．
【答案】①③④
【思路引导】根据一元二次方程有实数根的条件，只需判断每个条件能否推出判别式，逐个验证即可．
【规范解答】解：一元二次方程（）有实数根的条件是判别式．
① 若，则，又，
，方程有实数根，①符合要求．
② 若，举反例：取 ，，，满足，
此时，方程无实数根，②不符合要求．
③若，则．代入判别式得，
，方程有实数根，③符合要求．
④若，则．代入判别式得．
，，又，
，方程有实数根，④符合要求．
综上，正确条件的序号是①③④．
【考点剖析】判断一元二次方程是否有实数根，关键是看判别式的符号；当条件能直接推出时，方程有实数根；不能推出的条件可举反例排除．
11．（26-27九年级上·四川达州·期中）用适当的方法解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
，
(2)
，
【思路引导】（1）将方程整理为一元二次方程一般形式，采用公式法求解．
（2）将方程展开整理为一般形式，采用因式分解法求解．
【规范解答】（1）解： ，
移项得 ，
确定，， ，
计算判别式 ，
代入求根公式得 ，
即，．
（2）解： ，
展开左边得，
移项整理得 ，
因式分解得 ，
即或 ．
解得，．
12．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）已知：如图，在中，对角线与相交于点，，且和的长是关于的一元二次方程的两个根，，
(1)求和的长；
(2)求证：是菱形．
【答案】(1)，
(2)证明：∵在中，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴是菱形．
【思路引导】（1）先解方程得到，，再根据得到，；
（2）根据，得到是直角三角形，，即可证明是菱形．
【规范解答】（1）解：，
，
或，
∴.，，
∵和的长是关于的一元二次方程的两个根，，
∴，；
（2）略
13．（26-27九年级上·广西防城港·期中）解方程：，
解：二次项系数化为1，得，…第一步
移项，得，……第二步
配方，得，即，……第三步
由此，可得，……第四步
所以，．……第五步
(1)任务一：小华同学的解答过程是从第____________步开始出错的，这种解一元二次方程的方法叫____________；
(2)任务二：请写出该方程的正确解答过程．
【答案】(1)三，配方法
(2)，
，
，
，即，
∴，
故，．
【规范解答】（1）解：第三步的配方的时候需要左右两边同时加1，小华同学左右两边同时加4，
小华同学的解答过程是从第三步开始出错的，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）略
14．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，D为等边的延长线上一点，连接，在的右侧作等边，
(1)如图，连接，先拿尺测量的度数，并证明你的结论；
(2)如图，点A关于直线的对称点为F，连接，点G是的中点，连接，
①试用等式表示，，之间的数量关系，并证明；
②连接，的面积为，的面积为，若，直接写出的值．
【答案】(1)证明：，理由如下：
、是等边三角形，
，
，
即，
在和中
；
(2)①证明：，理由如下：
设，，
以点为原点，所在直线为轴，过点向上作轴，建立平面直角坐标系，
点在轴负半轴，，
，，，
过点作轴，垂足为，连接，
是等边三角形，
，是等边三角形的高，
由勾股定理，得
，
（负值已舍去），
∵点在轴上方、轴左侧，横坐标为负，
，
由（1）可得，，，，
∴，
，
，
过点作轴，垂足为，
∵
，
，
由勾股定理，得
，
（负值已舍去），
∵点在轴上方、轴右侧，
，
点是点关于直线的对称点
直线垂直平分线段，
设与交于点，则点P既是的中点，也是的中点，
根据中点坐标公式，得
，
设，则
，，
代入，，得
，，
解得，
，
是的中点，由中点坐标公式，得
，，
，
由勾股定理，得
，
，，
；
②
【思路引导】（1）利用等边三角形三边相等、内角都是的性质，寻找相等的边和角，证明，借助全等三角形对应角相等实现角度转移，结合，相加求出的度数．
（2）① 采用坐标法解题，先建立平面直角坐标系；利用等边三角形三线合一、勾股定理求出点坐标；再借助前面证得的全等三角形，结合含直角三角形性质求出点坐标；根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点连线，得到中点，利用中点公式求出，再由中点公式得到；最后用勾股定理（两点距离）分别表示、，对比得到三者平方数量关系．
② 使用初中常用的矩形割补法求面积，把三角形放在矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形面积；再直接以为底、的纵坐标为高写出面积；根据题目给出的面积3倍关系列等式，化简得到齐次方程，设比值换元，解一元二次方程并舍去负根，算出与的比值．
【规范解答】（1）略
（2）①略；
②解：如图
∵的底，点到直线的距离等于点的纵坐标，
∴，
以点A，G，E分别作水平、竖直直线，围成包含这三点的矩形，则的面积矩形面积减去周围三个直角三角形面积，
∵矩形的面积为 ，
三个直角三角形面积分别为
，
，
，
∴，
由，得
两边同时去掉，得
，
整理，得
，
方程两边同时除以
，
设，则
，
解得
．
．
15．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根，不都为整数：方程的两根，都为整数．此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”．其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是___________；
②若该全整根方程的“关爱码”是，求的值；
(2)若关于的全整根方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】(1)①关爱码为；
②的值为或．
(2)．
【思路引导】（1）①代入写出方程，直接套用关爱码公式计算；
②用表示关爱码并令其等于，解出后结合“全整根方程”定义（两根均为整数）验根；
（2）分别写出两方程的关爱码，利用列等式，化为，结合，为正整数求解．
【规范解答】（1）解：①当时，方程为，其中，，．
代入，得．
该全整根方程的关爱码为．
②在方程中，，，，
则．
由题意得，
即，
，
或．
方程可化为，两根为和，均为整数，
和均符合题意．
（2）解：方程中，，，，
．
方程中，，，，
．
由“全整根伴侣方程”的定义，得，其中，
即．
，
．
．
若，则；
若，则，与，均为正整数矛盾，舍去．
又当时两方程均为全整根方程（例如，时两根均为整数），
．
【考点剖析】本题的新定义“全整根方程”要求两根均为整数，“关爱码”为；解题关键是先写出判别相关的代数式，再用定义列等式；解含参数的方程后要结合“两根均为整数”这一隐含条件验根，舍去不合要求的解．
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$null2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
专题02一元二次方程的解法[挑战压轴题]
「思维导图+10个题型讲练+优选题拔尖练共45题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版)】
山且录导航」
【高频压轴题型举一反三变式训练】
2
题型一解一元二次方程-直接开平方法。
2
题型二解一元二次方程-配方法.…
题型三配方法的应用.....
…5
题型四公式法解一元二次方程.
6
题型五根据判别式判断一元二次方程根的情况..7
题型六根据一元二次方程根的情况求参数。
8
题型七因式分解法解一元二次方程..
10
题型八换元法解一元二次方程..·
11
题型九解分式方程（化为一元二次）
12
题型十一元二次方程的根与系数的关系………
13
【优选题拔尖练】
山思维导图技巧点拨
MISINImIm ImImImImINImim ImImImImImImIm In
一、一元二次方程的解法
4.配方法的几何解释
二、一元二次方程的根与系数的关系
一般式：ar2+bx+c=0(a≠0)
将一元二次方程配方的过程。
若ar2+br+c=0(a≠0)的两个实数根为x,x2,则
可以用几何图形的面积来解
1.配方法（配成完全平方式）
+x:=-a
将方程左边配成(x+m)=(n≥0)的形式。
根与系数
再用直接开平方法求解。
的关系
常用结论与应用
步骤：移项一配方一开平方→求解
。已知两根，求系数：a(x-x,(r-x2)=0
[=-ax+)
lc=axx:
配方公式：x2+2r+2=(x+p)
大正方形面积：(x+m=2+2m+网
。求两根的和与积：直接利用公式。
小正方形面积的和：x2+m
·列断两根的关系：若+x2=0,则两根互为相反数：
2.公式法
因此，配方法就是通过“补形
☆
若=，则两根相等
当-4ac≥0时，直接使用求根公式
将X2+2mx转化为(x+m)2-m.
求根公式：r=一b士VB一ac
1.与几何图形结合
35
Za
判别式：△=-4ac
利用方程解决面积、周长。
宽度等问野
4>0
方程有两个不相等的实数料
无二次方程
挑战压轴题专题02
4=0
方程有两个相等的实数根
的解法
一元二次方程
2.与实际问题结合
4<0
方程没有实数根
的解法
如远动问题、利润问题、行程问题、人口增长问题等。
3.因式分解法
当方程左边可以因式分解为(x-x)(x-x)=0(a≠0)时
方法选择小结
3.多知识融合
直接令因式为0求解
方程特征
优先选择方法
与函数，几何、方程组、缺计等知识
步囊：因式分解一每个因式=0→求解
能程成42=力
配方法
综合考查，
P-4e之≥0且运镇复杂公式法
左边能因式分解
因式分法
与几何，实际问题结合
灵活上述方法☆
六、经典应用示例
四、解压轴题的技巧
五、易错点拨
例：小球竖直上抛问题
例：矩形花园问题
一个小球从地面以15ms的初速度竖直上薄出
在一块长16m,宽12m的矩形地上，要建
1.审题要细：弄清未知数的含义。数量关系和隐含条件
1。漏乘、乘：因式分帮或配方时符号出错
高度h(m)与时间1(s)满足h=1Sr-5
速一个花阅《如图)，使花用面积为整块址
2.建模要准：根据数意建立正确的方程或方程组
么2.判别式误判：b-4c的符号判断错误.
(1)小球何时能别10m高7
面积的一半，求花园的设计方案
3.方法要活：多种方法尝试，选择最简便的方法
▲3根与系数公式混清：不注行号，是与+=一中
(2)小球何时落回地面？
4.检验要全：求出解后要代入原方程或结合实际检验
的“一”。
h/m
思维要广：善于联系知识。挖掘条件，转化问题
▲4.忽略检验：解完方程后不检验，可能把增根当作原方程的根
一5.单位不一数：实际问题中单位换辣错误。
(1)
数学的魅力在于思考，压轴题的突破在于方法与坚持！
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售山高频压轴题型举一反三变式训练
题型一解一元二次方程直接开平方法
【典例精讲】(26-27九年级上·天津河东·阶段检测)用合适的方法解下列方程：
(1)2(x-3)2=8;
(2)x2+4x=-3;
(3)4x2-6x-3=0:
(4)(2x-1)2=9(1-2x)
【变式训练1】(26-27九年级上·广东深圳·期中)阅读材料并完成任务
【阅读材料】对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，c≠0)，交换二次项系数与常数项，得到cx2+bx+
Q=0,我们称后一个方程为前一个方程的“倒根伴随方程”.例如：2x2一5x+3=0的“倒根伴随方程”
为3x2-5x+2=0.
【理解应用】
(1)写出x2一4x+3=0的“倒根伴随方程”：
(2)若x2-(m+2)x+2m=0(m≠0)的“倒根伴随方程”有一个根为三，求m以及这个倒根伴随方程的另一
个根：
【探究扩展】
(3)若x2一kx+4=0与它的“倒根伴随方程”有一个公共实根，且k>0,求k的值，并写出推理过程.
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【变式训练2】(26-27九年级上·山西太原·阶段检测)己知矩形纸片ABCD,点E是边AD的中点，将△BAE
沿BE折叠得到△BFE.
D
F
H
M
图1
图2
图3
(1)如图1，延长BF交CD于点G,连接EG,求证：DG=FG:
(2)如图2，连接DF并延长，交BC于点H.猜想H与CH的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，延长BF交CD于点G,再将纸片沿过点G的直线折叠，使点C恰好落在点F处，折痕交BC于点M,若
AD=4,直接写出△BGM的面积.
题型二解一元二次方程配方法
【典例精讲】(26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中)解决问题：
(1)解方程：x2-2x-1=0
(2)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2-2cx+(a-b)=0,其中a、五c分别为△ABC三边的长.如果
方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.
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【变式训练1】(26-27九年级上·重庆·开学考试)如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2,点D
为线段BC上动点，点E为线段AB上动点，且满足AE=2V2CD,则DE的最小值为一：当CD+DE取得
最小值时，DE的长为一一·
B
D
【变式训练2】(25-26八年级下·重庆·期末)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种
方式监测森林情况.如图，瞭望台A与三个观察点B,C,D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米
处，点D在点A的南偏东60°方向16千米处，点D与点C相距10千米，点C在点B的正东方向.（参考数
据：V3≈1.73)
北
西
→东
南
D
B
(1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）：
(②)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿BA和C→D→A方向返回瞭望
台.己知乙无人机的速度是甲的2倍.当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人
机离B处多少千米.（结果保留小数点后一位）？
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题型三配方法的应用
【典例精讲】(26-27九年级上·甘肃天水·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方
法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5的最小值.
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,
(x+2)2≥0，(x+2)2+1≥1，
“x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1.
试利用“配方法”解决下列问题：
B
Q
◇
A→P
(1)已知代数式x2+6x+13,求它的最小值：
(2)已知代数式-2x2+4x-5,求它的最大值：
(3)知识迁移：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,点P在AC边上以2cm/s的速度
从点A向点C移动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动.若点P,Q同时出发，且当一点移动到
终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm?,运动时间为t秒，求S的最小值.
【变式训练1】(26-27九年级上·湖南常德·期中)下面是某同学在“一元二次方程”单元检测中解答的
部分填空题：①方程x(2x-1)=2x-1的解是x=1:②把二次三项式x2-6x-7配成(x+)+k的
形式，则x2-6x-7=(x-3)2-16:③若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值
可以是1；④若x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为-1或2.你认为该同
学答对的题有
(只填序号)
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【变式训练2】(26-27九年级上·重庆·阶段检测)已知整式M:a+a1x+a2x2+…+anx”,，其中ao
为自然数，n,a1,a2,…,an-1,an为正整数，且a0+a1十…+an=4.下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式：
②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+2:
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个.
其中正确的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
题型四公式法解一元二次方程
【典例精讲】(26-27九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中)解下列一元二次方程：
(1)x2+2x-15=0(用配方法)
(2)2x2-3x-1=0(用公式法).
【变式训练1】(26-27九年级上·宁夏银川·期中)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200mile
处有一重要目标B,在B的正东方向200mile处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点处，岛上有一补给码
头；小岛F位于BC的中点处.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航：一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方
向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰
北
个，东
BE F
(1)小岛D与小岛F相距多少海里？
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，则相遇时补给船航行了多
少海里？（结果精确到0.1mile;参考数据：√6≈2.45）
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【变式训练2】(26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=10,
点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点
PQ的速度都是2个单位/s,连接PQ、AQ、CP,设点PQ的运动时间为t/s.
P D
P D
B产Q
BQ
备用图
(1)当t=
s时，四边形AQCP为菱形；
(2)是否存在某一时刻t使得PQ1PC.如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由：
(3)在运动过程中，沿PC将△PDC翻折，翻折后点D的对应点D'恰好落在线段PQ上（端点除外），请求出
此时的t值.
题型五根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】(26-27九年级上·河北廊坊·期中)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要
求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二
次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a,b,c为常数（且a,c≠0）·根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方程是_一一；
(2)求证：一元二次方程(m+1)x2+(m+3)x+1=0的倒方程总有两个不相等的实数根.
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【变式训练1】(26-27九年级上广东佛山·阶段检测)己知关于x的一元二次方程：x2-(m+1)x+2m-
2=0(m为常数).
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根：
(2)若△ABC为等腰三角形，AB=3,另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长.
【变式训练2(25-26八年级下山东济南期末)定义：关于x的方程cx2+bx+a=0是方程ax2+bx+c=
0(a≠c≠0)的“倒方程”.有下列五个结论：①-4x2+3x+1=0的“倒方程”是x2-3x-4=0:②如
果x=-2是x2+2x+c=0的“倒方程”的解，则c=:③若一元二次方程ax2-3x+c=0没有实数根，
则它的“倒方程”也没有实数根；④如果x=t是一元二次方程a2+bx+c=0的根，则x=是其“倒方
程”cx2+bx+a=0的根；⑤若m是一元二次方程-3x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m3+
m2-3m+2026的值为2026.其中，正确的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
题型六根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲(26-27九年级上福建龙岩阶段检测)我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=
0(a≠0，a,b,c均为整数)称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式4ac-的值为该“幸运
4a
方程”的“幸运数”，用F(ab,c)表示，即F(a,b,c)=ac-
4a
(1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“幸运方程”.
①当m=2时，求该幸运方程的“幸运数”；
②若该幸运方程的“幸运数”是-1，求m的值：
(2)若关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0(m为整数，且4<m<15)是“幸运方程”，
求m的值及该方程的“幸运数”.
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【变式训练1】(26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测)已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有
实数根，则的取值范围是(
A.k≥-2
B.k≤2
C.k≥-2且k≠0D.k≤2且k≠0
【变式训练2】(26-27九年级上·河北保定·阶段检测)一元二次方程的判别式△=b2-4ac,当△的值
是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，△的值
一定是一个完全平方数.例如：方程2x2-x-1=0,△=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9=32,△
的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x1=1,x2=-,不都为整数：方程x2-6x+8=0的两根x1=
2,x2=4都为整数，此时△=b2-4ac=(-6)2-4×1×8=4=22,△的值是一个完全平方数.
我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式如c-b的值
为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q(a,6c)表示，即Q(ab,0)=如。，若另一关于x的一元二次方程2+
qx+r=0(≠0)也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q(p,q,r),当满足Q(a,b,c)-Q(p,q,)=c时，
则称一元二次方程ax2+bx+c=0(Q≠0)是一元二次方程px2+qx+T=0(p≠0)的“全整根伴侣方程”.
(1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“全整根方程”.若该全整根方程的“关爱码”是-4，
求m的值，
(2)关于x的一元二次方程x2-(2m-5)x+m2-6m-7=0(m为整数，且3<m<10)是“全整根方程”，
求该方程的“关爱码”.
(3)已知一元二次方程x2+(n-1)x-n=0是“全整根方程”.若方程x2+(1-k)x+k+4=0是它的“全
整根伴侣方程”，且k,n均为正整数，请直接写出k-n的值.
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题型七因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】(26-27九年级上·重庆·期中)用适当的方法解下列方程：
(1)x2-6x+8=0:
(2)2(2x-1)2=6x-3.
【变式训练1】(26-27九年级上·山东青岛·期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：
方程x2-6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2-4x+3=0的两
个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”·
(1)根据上述定义，4x2-5x+1=0是“倍根方程”；
(2)若关于x的方程(x+1)x-m)=0是“三倍根方程”，求m2+2m+2的值：
(3)直线l1:y=-x+5与x轴交于点A,直线1过点B(-1,0),且与l1相交于点C(1,4).若一个五倍根方程
的两个根为x1和x2(0<x1<X2),且点P(x1,x2)在△ABC的内部（不包含边界），则x1的取值范围是
【变式训练2】(26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测)如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在
线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE,连接CE.
图1
图2
图3
(1)AP与CE的数量关系是
,AP与CE的位置关系是_
(2)当点P在线段AC的延长线上运动时，
①如图2，探究CD,CE,CP三条线段之间的数量关系，并说明理由：
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②如图3，连接AE,PE,若AE=20,CP=4,求四边形CDEP的面积.
题型八换元法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中)请阅读下列材料：
己知关于x的一元二次方程x2+x一3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=之
把x=代入已知方程，得)+名3=0.
化简，得y2+2y-12=0,故所求方程为y2+2y-12=0,
这种利用方程根的代换求新方程的方法，称为“换根法”.请利用材料中的“换根法”，解决下列问题。
(1)已知方程3x2-7x+2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(2)已知方程x2+x一6=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的平方.
【变式训练1】(26-27九年级上·广东汕尾·阶段检测)【问题背景】配方法、公式法和因式分解法是解
一元二次方程的基本方法，降次是解一元二次方程的基本思路，此外还可以用换元法来研究某些特殊方程，
(1)【实例解析】己知实数m,n满足(m+n+2)(m+n-5)=0,将“m+n”看作一个整体，令m+n=y,
则原方程可化为(y+2)(y-5)=0.可得y1=一-·y2=-·即m+n的值为_一·
(2)【举一反三】若实数m,n满足(m2+n2+3)(m2+n2-3)=0.则m2+n2的值为
(3)【解决问题】解方程：(x2+2x)2-4(x2+2x)+4=0.
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【变式训练2】(26-27九年级上·河南郑州·阶段检测)阅读感悟：
已知方程x2+2x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为，则y=2x,从而x=兰
把x=代入已知方程，得)+2多1=0，
化简，得y2+4y-4=0,
因此所求方程为y2+4y-4=0.
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换根法”，请你用上述思路解决下列问题：
(1)已知方程x2+3x一2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数：
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，
使它的根分别是已知方程根的倒数：
(3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为1和-子则关于y的一元二次
方程c(y-1024)2+b(y-4)=1020b-a(c≠0)的两个实数根是
题型九解分式方程（化为一元二次）
【典例精讲】(26-27九年级上·云南昆明·期中)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割
比例.后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感、即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）
的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比.如果雕像的高为2m,那么腰部以下应设计为多少（结果保
留根号)(
A.1m
B.V5m
C.m
D.(5-1)m
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
【变式训练1】(26-27八年级上·北京通州·阶段检测)观察下列方程及其解的特征
第1个方程：x+=2的解为x1=x2=1,
第2个方程：x+=的解为x1=2,2=
第3个方程：x+9的解为x1=3,x2=青
解答下列问题：
(①)猜想第5个方程x+=的解为
(2)关于x的第n个方程为，它的解为一一一：
3利用上述规律解关于x的分式方程：3x±2=a2a+
a
【变式训练2】(2026·四川成都·一模)若品：=品=克则的值为一
题型十一元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】(26-27九年级上·河北邯郸·期中)己知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2-1=0
的两个实数根为x1,x2·若(x1+2)(x2+2)=14,则下列说法正确的是（
A.不存在m使得(x1+2)(x2+2)=14成立
B.m的值为v13-2或-√13-2
C.m的值为-V13-2
D.m的值为v13-2
【变式训练1】(26-27九年级上辽宁铁岭期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
满足：a一b+c=0,那么我们称这个方程为“紫金方程”·
(1)判断一元二次方程2x2+3x+1=0是否为“紫金方程”，并说明理由：
(2)已知x2+mx+6=0是关于x的“紫金方程”，若x1,x2是此方程的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.
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【变式训练2】(26-27九年级上广东东莞·期中)如图，矩形ABCD的两条邻边AB=a,AD=b(a>b>0).
B
(1)若a,b是关于x的方程x2一kx+k+4=0的两个根，且a2+b2=40,求k的值：
(2)若a,b,k的值满足第(1)问的条件，且边AB上存在点E,使得∠DEC=90°，求此时AE的长；
(3)点E是AB边上一点，满足∠DEC=90°的点E有且只有一个时，求证：a=2b.
■山优迭题拔尖练
1,(26-27九年级上·安徽阜阳·期中)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x-k2=0的一个根为2，
则的值为(
A.1
B.3
C.1或3
D.0
2.(26-27九年级上·山西大同·期中)一元二次方程4x2+x=7的根的情况是(
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
3.(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB和A0的长是关于
x的方程(x-5)(x-4)=0的两个根，则BD的长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
4.(26-27九年级上·山东青岛·期中)定义：cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的“倒方程”·则下列四个结论：
①如果x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，则c=-
②如果ac<0,那么这两个方程都有两个不相等的实数根：
③如果一元二次方程ax2一4x+c=0无解，则它的倒方程也无解：
④如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.其
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中正确的有(
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
5.(26-27九年级上·北京海淀·阶段检测)已知关于x的方程(4-)(8-k)x2-(80-12k)x+32=0
的解都是整数，则符合条件的整数k的个数为(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.(26-27九年级上·内蒙古包头·期中)等腰三角形的两边长分别是方程x(x-3)=(x-3)的两个根，
则这个等腰三角形的周长为_一一·
7.(26-27九年级上安徽阜阳期中)若方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(n-m)2026=
8.(26-27九年级上·天津和平·期中)关于x的一元二次方程ax2-bx+b-a=0(a≠0)有两个相等的
实数根，则=一一一·
9.(26-27九年级上·上海淞江·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6.点P是AB
边上一个动点，点D是AC边的中点，连接DP,将△APD沿DP翻折，使点A落在点A'处，当PA'∥BC时，PA
的长为
B
D
10.(26-27九年级上江苏南京·阶段检测)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，
下列条件：①ac<0:②abc>0:③a-b+c=0:④2a-b+c=0:若只添加一个条件就可以判定方程
有实数根，则所有正确条件的序号是
11.(26-27九年级上·四川达州·期中)用适当的方法解方程：
(1)2x2+3x=1
(2)(x-2)(x+5)=18
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12.(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)已知：如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，AB=V5,
且0A和0B的长是关于x的一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，0A>0B,
D
(1)求0A和0B的长：
(2)求证：□ABCD是菱形.
13.(26-27九年级上·广西防城港·期中)解方程：2x2+4x-8=0,
解：二次项系数化为1，得x2+2x-4=0,…第一步
移项，得x2+2x=4,…第二步
配方，得x2+2x+4=4+4,即(x+2)2=8,…第三步
由此，可得x+2=士2V2,…第四步
所以x1=-2+2V2,x2=-2-2V2.…第五步
(1)任务一：小华同学的解答过程是从第
步开始出错的，这种解一元二次方程的方法叫
(2)任务二：请写出该方程的正确解答过程.
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14.(26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测)如图，D为等边△ABC的BC延长线上一点，连接AD,在AD
的右侧作等边△ADE,
(1)如图，连接CE,先拿尺测量∠BCE的度数，并证明你的结论；
E
A
B
C
D
(②)如图，点A关于直线DE的对称点为F,连接BF,点G是BF的中点，连接DG,AG
E
A
G
D
①试用等式表示AC,AG,DG之间的数量关系，并证明；
②连接GB,△AGB的面积为S1,△BDG的面积为S2,若S:=3S2,直接写出的值.
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15.（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测)阅读材料：我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，
用△表示.如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程
的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数.例如：方程2x2-x-1=0,△=b2-4ac=(-1)2×4×2×
(-1)=9=32,△的值是一个完全平方数，但是该方程的根x1=1,x2=-不都为整数：方程x2-6x+8=0
的两根x1=2,x2=4都为整数.此时A=b2-4ac=(-6)2-4×1×8=4=22,△的值是一个完全平
方数.我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式4ac-o
的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q(a6,c)表示，即Qab,0)=如，若另一关于x的一元二次方
程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”.其“关爱码”记为Q(p,4,r),当满足Q(a,b,c)-Q(p,q,)=c
时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程px2+qx+T=0(p≠0)的“全整根伴侣方
程”.
(1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“全整根方程”.
①当m=2时，该全整根方程的“关爱码”是
②若该全整根方程的“关爱码”是-1，求m的值；
(2)若关于x的全整根方程x2+(1-m)x+m+4=0是x2+(n-1)x-n=0(m,n均为正整数)的“全整
根伴侣方程”，求m-n的值.
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专题02 一元二次方程的解法［挑战压轴题］
「思维导图+10个题型讲练+优选题拔尖练 共45题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版）】
【高频压轴题型举一反三变式训练】 2
题型一 解一元二次方程-直接开平方法 2
题型二 解一元二次方程-配方法 3
题型三 配方法的应用 5
题型四 公式法解一元二次方程 6
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 7
题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 8
题型七 因式分解法解一元二次方程 10
题型八 换元法解一元二次方程 11
题型九 解分式方程（化为一元二次) 12
题型十 一元二次方程的根与系数的关系 13
【优选题拔尖练】 14
题型一 解一元二次方程-直接开平方法
【典例精讲】（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)
【变式训练1】（26-27九年级上·广东深圳·期中）阅读材料并完成任务
【阅读材料】对一元二次方程，交换二次项系数与常数项，得到，我们称后一个方程为前一个方程的“倒根伴随方程”．例如：的“倒根伴随方程”为．
【理解应用】
(1)写出的“倒根伴随方程”；
(2)若的“倒根伴随方程”有一个根为，求以及这个倒根伴随方程的另一个根；
【探究扩展】
(3)若与它的“倒根伴随方程”有一个公共实根，且，求的值，并写出推理过程．
【变式训练2】（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到．
(1)如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：；
(2)如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积．
题型二 解一元二次方程-配方法
【典例精讲】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）解决问题：
(1)解方程：．
(2)已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【变式训练1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，点D为线段上动点，点E为线段上动点，且满足，则的最小值为______；当取得最小值时，的长为______．
【变式训练2】（25-26八年级下·重庆·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：）
(1)求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？
题型三 配方法的应用
【典例精讲】（26-27九年级上·甘肃天水·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式的最小值．
解：，
，，
，即的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式，求它的最小值；
(2)已知代数式，求它的最大值；
(3)知识迁移：如图，在中，， ，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．
【变式训练1】（26-27九年级上·湖南常德·期中）下面是某同学在“一元二次方程”单元检测中解答的部分填空题：①方程的解是；②把二次三项式配成的形式，则；③若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是；④若是一元二次方程的一个根，则的值为或．你认为该同学答对的题有 ___________．（只填序号）
【变式训练2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型四 公式法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）解下列一元二次方程：
(1) （用配方法） (2)（用公式法）．
【变式训练1】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，某海军基地位于处，在其正南方向处有一重要目标，在的正东方向处有一重要目标，小岛位于的中点处，岛上有一补给码头；小岛位于的中点处．一艘军舰从出发，经到匀速巡航：一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
(1)小岛D与小岛F相距多少海里？
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，则相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到；参考数据：）
【变式训练2】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为．
(1)当 时，四边形为菱形；
(2)是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由；
(3)在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值．
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【典例精讲】（26-27九年级上·河北廊坊·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是_____；
(2)求证：一元二次方程的倒方程总有两个不相等的实数根．
【变式训练1】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程：（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长．
【变式训练2】（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型六 根据一元二次方程根的情况求参数
【典例精讲】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．
(1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”．
当时，求该幸运方程的“幸运数”；
若该幸运方程的“幸运数”是，求的值；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”．
【变式训练1】（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式训练2】（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值．
(2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”．
(3)已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值．
题型七 因式分解法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·重庆·期中）用适当的方法解下列方程：
(1) ； (2)．
【变式训练1】（26-27九年级上·山东青岛·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)直线：与x轴交于点A，直线l过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和（），且点在的内部（不包含边界），则的取值范围是_________．
【变式训练2】（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图 1，正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接．
(1)与的数量关系是________，与的位置关系是________．
(2)当点在线段的延长线上运动时，
①如图 2，探究三条线段之间的数量关系，并说明理由；
②如图 3，连接，若，求四边形的面积．
题型八 换元法解一元二次方程
【典例精讲】（26-27九年级上·山东青岛·期中）请阅读下列材料：
已知关于的一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，称为“换根法”．请利用材料中的“换根法”，解决下列问题．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
【变式训练1】（26-27九年级上·广东汕尾·阶段检测）【问题背景】配方法、公式法和因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次是解一元二次方程的基本思路，此外还可以用换元法来研究某些特殊方程．
(1)【实例解析】已知实数m，n满足，将“”看作一个整体，令，则原方程可化为．可得＝______．＝______．即的值为______．
(2)【举一反三】若实数m，n满足．则的值为______．
(3)【解决问题】解方程：．
【变式训练2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则，从而
把代入已知方程，得，
化简，得，
因此所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换根法”，请你用上述思路解决下列问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于y的一元二次方程的两个实数根是_________．
题型九 解分式方程（化为一元二次)
【典例精讲】（26-27九年级上·云南昆明·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割比例．后来在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加美感、即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比．如果雕像的高为，那么腰部以下应设计为多少（结果保留根号）（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（26-27八年级上·北京通州·阶段检测）观察下列方程及其解的特征
第个方程：的解为，
第个方程：的解为，，
第个方程：的解为，．
解答下列问题：
(1)猜想第个方程的解为________；
(2)关于的第个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于的分式方程：．
【变式训练2】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____．
题型十 一元二次方程的根与系数的关系
【典例精讲】（26-27九年级上·河北邯郸·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在使得成立
B．的值为或
C．的值为
D．的值为
【变式训练1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“紫金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“紫金方程”，并说明理由：
(2)已知是关于的“紫金方程”，若，是此方程的两个根，求的值．
【变式训练2】（26-27九年级上·广东东莞·期中）如图，矩形的两条邻边，（）．
(1)若，是关于的方程的两个根，且，求的值；
(2)若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长；
(3)点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：．
1．（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为2，则k的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
2．（26-27九年级上·山西大同·期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）在菱形中，对角线、相交于点，和的长是关于的方程的两个根，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（26-27九年级上·山东青岛·期中）定义：是一元二次方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（26-27九年级上·内蒙古包头·期中）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_____．
7．（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）若方程可以配方成，则____．
8．（26-27九年级上·天津和平·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
9．（26-27九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，，．点是边上一个动点，点是边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点处，当时，的长为________．
10．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）对于一元二次方程（a，b，c为常数，且），下列条件：①；②；③；④；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是________．
11．（26-27九年级上·四川达州·期中）用适当的方法解方程：
(1) (2)
12．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）已知：如图，在中，对角线与相交于点，，且和的长是关于的一元二次方程的两个根，，
(1)求和的长；
(2)求证：是菱形．
13．（26-27九年级上·广西防城港·期中）解方程：，
解：二次项系数化为1，得，…第一步
移项，得，……第二步
配方，得，即，……第三步
由此，可得，……第四步
所以，．……第五步
(1)任务一：小华同学的解答过程是从第____________步开始出错的，这种解一元二次方程的方法叫____________；
(2)任务二：请写出该方程的正确解答过程．
14．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，D为等边的延长线上一点，连接，在的右侧作等边，
(1)如图，连接，先拿尺测量的度数，并证明你的结论；
(2)如图，点A关于直线的对称点为F，连接，点G是的中点，连接，
①试用等式表示，，之间的数量关系，并证明；
②连接，的面积为，的面积为，若，直接写出的值．
15．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根，不都为整数：方程的两根，都为整数．此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”．其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是___________；
②若该全整根方程的“关爱码”是，求的值；
(2)若关于的全整根方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
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