专题05一元二次方程的应用及根与系数关系知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题05一元二次方程的应用及根与系数关系知题通关讲义 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）， 前提条件：方程有实数根，即 Δ= b2-4ac 0 设方程两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 2.特殊形式简化 （1）方程 x2+px+q=0（二次项系数为 1） x1+x2=-p,x1x2=q （2）缺常数项 ax2+bx=0：一根为 0，另一根为 - （3）缺一次项 ax2+c=0：两根互为相反数，x1+x2=0 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 知识点06:常见应用题模型及核心公式 知识点07:综合关联：判别式与韦达定理结合 1. 设未知数时前后单位不统一 提醒：设未知数需标注对应单位，保证题干、未知数、计算结果的单位保持一致，单位不一致会直接造成列式错误。 2. 增长率、降低率模型公式混淆错用 提醒：平均增长率模型a(1+x)2=b；平均降低率模型a(1-x)2=b；准确识别基数a、最终结果b，不要混淆式子内加号与减号。 3. 面积道路题型重复处理重叠区域 提醒：道路、边框类面积题目使用平移法时，留意道路重叠部分；避免对重叠长度重复减去或者重复相加，正确计算剩余图形的长与宽。 4. 销售利润问题混淆单件利润与总利润 提醒：总利润＝单件利润×销售数量，单件利润＝售价‑进价；列式不能直接拿售价当作单件利润进行计算。 5. 应用题求解后未检验根的实际意义 提醒：一元二次方程得到两个根之后，必须检验每一个根是否符合题目实际情境；负数、超出题意范围的解需要舍去，不可全部保留。 6. 传播问题审题错误，起始基数判断失误 提醒：传播类题目仔细读题确定初始基数，不能直接套用固定模板；区分传播、握手、互赠礼物三类题型的内在差异。 7. 握手模型与互赠礼物模型互相混淆 提醒：握手不计重复，方程一般为(x-1)=n；互赠礼物计重复，方程一般为x(x-1)=n；两类模型不可互相替换。 8. 几何动点问题忽略动点取值范围 提醒：几何动点类一元二次方程，除检验根的实际意义以外，还需要核对解是否处在动点允许的运动区间内，超出区间的根予以舍去。 9. 列方程主观增设题干不存在的条件 提醒：列式只能使用题干给出条件与几何固有等量关系，不能自行增加题目没有的假设条件。 10. 应用题解答遗漏答句书写 提醒：筛选得到符合题意的解之后，必须书写完整答句，答句与题干提问保持对应；只写方程的解不写答句会造成考试扣分。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★ 题型八 工程问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 1．若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（     ） A． B．4 C． D．1 2．已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是___________． 4．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 5．已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 题型二 传播问题 6．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 7．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．冬季和春季是传染病高发季节，有1人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，共有多少个人患流感? 9．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 题型三 增长率问题 10．某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度的总产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为________． 12．随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包6月份的销量为5万盒，8月份的销量为万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则9月份的销量能不能达到万盒？请通过计算说明． 13．某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片． (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求每季度生产量的平均增长率； (2)1条生产线最大产能是600万个/季度．若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该需要几条生产线？ 题型四 与图形有关的问题 14．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 15．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 16．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长80米．如果外墙长50米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成．小菜园的面积能达到600平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 17．如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． (1)边的长为________；（用含的代数式表示） (2)要使苗圃园的面积为，求的值； (3)对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 题型五 数字问题 18．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 19．如图为年月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的个数中，最小数与最大数的积为，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 20．如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出个位置上相邻的数（如2，3，9，）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为，求这4个数中最小的数． 21．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 题型六 营销问题 22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 23．某商场销售一批衬衫，每件的进价为90元，如果按每件100元出售，可销售500件；若每件的售价每上涨1元，则销售量就减少10件．如果商场销售这批衬衫要获得8000元的利润，又使顾客获得较多的优惠，那么这种衬衫每件应涨价多少元？设每件应涨价元，此时： （1）售价为______元，则利润为______元； （2）销售量减少______件，则销售量为______件； （3）根据“要获得8000元的利润”，列方程得______； （4）解列出的方程，得_______； （5）根据“使顾客获得较多的优惠”推出的值为______； （6）因此，这种衬衫每件应涨价______元，即每件的售价为______元． 24．某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 25．河北赵县素有“中国雪花梨之乡”的美誉，雪花梨的种植面积约25万亩，年产值超40亿元，水果商从赵县购进一批优质雪花梨进行销售，进价为每千克10元．市场调研发现：售价为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日的销售量增加30千克．设每千克雪花梨的售价降低元（）． (1)用含的式子表示：现在每千克雪花梨的售价为（___________）元，每日的销售量为（___________）千克； (2)若该水果商每日销售这种雪花梨获利630元，为了尽快减少库存，求此时雪花梨的售价； (3)结合水果商的营销方案：这种雪花梨每千克的利润不少于1元，且每日销售量超过200千克，直接写出符合条件的整数的个数． 题型七 动态几何问题 26．如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 27．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 28．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度运动，动点Q同时从点C出发沿方向以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是? (2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决． 29．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型八 工程问题 30．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 31．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 32．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 题型九 行程问题 33．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 34．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 35．一列高速列车在启动加速过程中，行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为．在这一过程中，该高速列车行驶需要多长时间？ 36．今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 题型十 图表信息题 37．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 38．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 39．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型十一 握手、循环赛问题 40．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有人，可得方程（     ） A． B． C． D． 41．某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为______． 42．某市每年都举行篮球赛，去年初赛阶段，共15支队伍参赛，每两队之间都比赛一场．今年，参赛的队伍比去年有所增加，组委会决定初赛阶段共安排40场比赛，并将参赛队伍平均分成4个小组，各小组每两队之间都比赛一场．问今年比去年增加了多少支队伍? 43．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 题型十二 其他问题 44．如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 45．为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 46．2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为？ (2)在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 47．如图所示的是2026年1月的月历，1月1日下方标有“元旦”二字．“元旦”意为“初始之日”．中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦．用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程的应用及根与系数关系知题通关讲义 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）， 前提条件：方程有实数根，即 Δ= b2-4ac 0 设方程两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 2.特殊形式简化 （1）方程 x2+px+q=0（二次项系数为 1） x1+x2=-p,x1x2=q （2）缺常数项 ax2+bx=0：一根为 0，另一根为 - （3）缺一次项 ax2+c=0：两根互为相反数，x1+x2=0 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 知识点06:常见应用题模型及核心公式 知识点07:综合关联：判别式与韦达定理结合 1. 设未知数时前后单位不统一 提醒：设未知数需标注对应单位，保证题干、未知数、计算结果的单位保持一致，单位不一致会直接造成列式错误。 2. 增长率、降低率模型公式混淆错用 提醒：平均增长率模型a(1+x)2=b；平均降低率模型a(1-x)2=b；准确识别基数a、最终结果b，不要混淆式子内加号与减号。 3. 面积道路题型重复处理重叠区域 提醒：道路、边框类面积题目使用平移法时，留意道路重叠部分；避免对重叠长度重复减去或者重复相加，正确计算剩余图形的长与宽。 4. 销售利润问题混淆单件利润与总利润 提醒：总利润＝单件利润×销售数量，单件利润＝售价‑进价；列式不能直接拿售价当作单件利润进行计算。 5. 应用题求解后未检验根的实际意义 提醒：一元二次方程得到两个根之后，必须检验每一个根是否符合题目实际情境；负数、超出题意范围的解需要舍去，不可全部保留。 6. 传播问题审题错误，起始基数判断失误 提醒：传播类题目仔细读题确定初始基数，不能直接套用固定模板；区分传播、握手、互赠礼物三类题型的内在差异。 7. 握手模型与互赠礼物模型互相混淆 提醒：握手不计重复，方程一般为(x-1)=n；互赠礼物计重复，方程一般为x(x-1)=n；两类模型不可互相替换。 8. 几何动点问题忽略动点取值范围 提醒：几何动点类一元二次方程，除检验根的实际意义以外，还需要核对解是否处在动点允许的运动区间内，超出区间的根予以舍去。 9. 列方程主观增设题干不存在的条件 提醒：列式只能使用题干给出条件与几何固有等量关系，不能自行增加题目没有的假设条件。 10. 应用题解答遗漏答句书写 提醒：筛选得到符合题意的解之后，必须书写完整答句，答句与题干提问保持对应；只写方程的解不写答句会造成考试扣分。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 题型二 传播问题 ★★ 题型三 增长率问题 ★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 营销问题 ★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★ 题型八 工程问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 图表信息题 ★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★ 题型十二 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 1．若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵ 在方程中，，， ∴ ． 2．已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ∴由根与系数的关系可得， 对所求代数式变形得 将， 代入得原式． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是___________． 【答案】 【分析】设矩形两条邻边长为方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和，矩形周长等于邻边和的倍，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设矩形的两条邻边长分别为，， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得， ∴ 矩形的周长为. 4．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 5．已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一元二次方程有实数根求出的取值范围，再利用根与系数的关系写出两根之和两根之积；把展开变形，代入两根和与两根积，得到关于的方程，解方程后结合的范围取舍． （2）由菱形周长得到边长，利用菱形对角线互相垂直，根据勾股定理得到；结合完全平方公式变形，代入，，列方程求出，再根据取值范围以及线段长度大于0进行取舍． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， ， 由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， （2）解：菱形周长为， 菱形边长， 菱形对角线互相垂直平分， ， ， 、是方程的两根 ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 题型二 传播问题 6．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 7．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 8．冬季和春季是传染病高发季节，有1人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染几个人? (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，共有多少个人患流感? 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人 (2)经过三轮传染后，共有个人患流感 【分析】（1）先设每轮平均一人传染人，第一轮后总患者，第二轮总患者等于原有患者加上第二轮新增患者，列出等式化简为求解即可； （2）用两轮后的总人数加上第三轮新增感染人数即可得到三轮后全部患病人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，则过一轮传染后共有个人患了流感，过两轮传染后共有个人患了流感， 由题意得， 两边同时开平方得， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染个人； （2）解：（个）， 答：经过三轮传染后，共有个人患流感． 9．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 题型三 增长率问题 10．某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度的总产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量，根据总产量列方程． 【详解】解：∵四月份产量为50万吨，五、六月份平均月增长率为， ∴五月份产量为万吨，六月份产量为万吨， ∵第二季度总产量为182万吨， ∴． 11．为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设线上销售量占比的月平均增长率为x．根据6月份和8月份数据列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设线上销售量占比的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍）， 即线上销售量占比的月平均增长率为． 12．随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包6月份的销量为5万盒，8月份的销量为万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则9月份的销量能不能达到万盒？请通过计算说明． 【答案】(1) 该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为 (2) 解：9月份的销量能达到6.6万盒，计算说明如下： 9月份销量为（万盒）， ∵， ∴9月份的销量能达到6.6万盒． 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据6月、8月的销量关系列一元二次方程求解； （2）用8月销量乘（月平均增长率）得到9月的销量，与6.6万盒比较即可判断． 【详解】（1）解：设该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为， 由题意得， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答： 该品牌中药茶饮包销量的月平均增长率为； （2）略 13．某公司通过技术创新开发了一条芯片生产线，开工第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片． (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求每季度生产量的平均增长率； (2)1条生产线最大产能是600万个/季度．若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该需要几条生产线？ 【答案】(1) 每季度生产量的平均增长率为； (2) 应该需要条生产线． 【分析】（1）根据第一季度、第三季度产量与平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总产能与生产线数量、单条产能的等量关系列方程，结合节省投入的要求选取最优解． 【详解】（1）解：设每季度生产量的平均增长率为， ∵ 第一季度生产200万个芯片，第三季度生产288万个芯片，每季度生产量的平均增长率相等， ∴， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每季度生产量的平均增长率为； （2）解：设需要条生产线， ∵1条生产线最大产能是600万个/季度，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能减少20万个/季度， ∴单条生产线的最大产能为万个/季度， ∵要保证每季度生产芯片2600万个， ∴， 整理得 ， 解得，， ∵要节省投入成本，生产线越多投入成本越大， ∴选择生产线数量较少的解，即， 答：应该需要条生产线． 题型四 与图形有关的问题 14．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 【答案】24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 15．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 16．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长80米．如果外墙长50米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成．小菜园的面积能达到600平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】能达到，此时米，米 【分析】设，则,根据小菜园的面积能达到600平方米列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：米， 设，则, 则， 解得：，（舍去）， 当米时，（米）． 17．如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． (1)边的长为________；（用含的代数式表示） (2)要使苗圃园的面积为，求的值； (3)对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 【答案】(1) (2)的值为10 (3)解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合三边篱笆总长为即可求解； （2）根据题意可得，进行求解，再结合墙长为取合适的值即可； （3）假设能围成面积为的苗圃园，可得，运用根的判别式即可验证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵三边篱笆总长为， ∴； （2）解：由题意得， 解得，， ∵墙长， ∴， ∴ 解得， ∴的值为； （3）略 题型五 数字问题 18．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 19．如图为年月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的个数中，最小数与最大数的积为，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察矩形圈中数的关系发现，最小数比最大数小，再根据最小数与最大数的积为求解即可． 【详解】解：根据题意，矩形圈出个位置相邻的数，圈出的个数，观察可知最小数比最大数小，最大数是， ∴最小数是， ∵最小数与最大数的积为， ∴． 20．如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出个位置上相邻的数（如2，3，9，）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为，求这4个数中最小的数． 【答案】这4个数中最小的数是8 【分析】设这4个数中最小的数是，利用这4个数中最小的数与最大的数的关系得到这4个数中最大的数是，结合题目条件列出方程，因式分解即可得到解． 【详解】解：设这4个数中最小的数是，则这4个数中最大的数是， 由题意得， 化简得， 因式分解得， 解得或（舍去）， 答：这4个数中最小的数是8． 21．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 题型六 营销问题 22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．设每件衬衫的价格降低x元，商场销售这批衬衫每天可盈利1200元，符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意，每件衬衫降价x元后，每件盈利为元，每天销售量增加件，即件，每天盈利为每件盈利与销售量的乘积，且等于1200元． 【详解】解：设每件衬衫降价x元， ∵每件盈利，销售量，每天盈利，且每天盈利， ∴， 故选：B． 23．某商场销售一批衬衫，每件的进价为90元，如果按每件100元出售，可销售500件；若每件的售价每上涨1元，则销售量就减少10件．如果商场销售这批衬衫要获得8000元的利润，又使顾客获得较多的优惠，那么这种衬衫每件应涨价多少元？设每件应涨价元，此时： （1）售价为______元，则利润为______元； （2）销售量减少______件，则销售量为______件； （3）根据“要获得8000元的利润”，列方程得______； （4）解列出的方程，得_______； （5）根据“使顾客获得较多的优惠”推出的值为______； （6）因此，这种衬衫每件应涨价______元，即每件的售价为______元． 【答案】 10或30 10 10 110 【详解】解：由题意得，此时售价为元，则利润为元， ∴销售量减少件， ∴销售量为件； ∵根据“要获得8000元的利润”， ∴ 解得或， ∵要使顾客获得较多的优惠， ∴应涨价10元，即的值为10； ∴每件的售价为（元）． 24．某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元． (1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克应涨价元 【分析】（1）设每次下降的百分率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设每千克应涨价元，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 由题意可得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元， 由题意可得， 整理得， 解得，， ∵在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元， ∴， ∴每千克应涨价元． 25．河北赵县素有“中国雪花梨之乡”的美誉，雪花梨的种植面积约25万亩，年产值超40亿元，水果商从赵县购进一批优质雪花梨进行销售，进价为每千克10元．市场调研发现：售价为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日的销售量增加30千克．设每千克雪花梨的售价降低元（）． (1)用含的式子表示：现在每千克雪花梨的售价为（___________）元，每日的销售量为（___________）千克； (2)若该水果商每日销售这种雪花梨获利630元，为了尽快减少库存，求此时雪花梨的售价； (3)结合水果商的营销方案：这种雪花梨每千克的利润不少于1元，且每日销售量超过200千克，直接写出符合条件的整数的个数． 【答案】(1)， (2)雪花梨的售价为13元 (3)符合条件的整数有3个 【分析】（1）根据题意即可得结论； （2）根据题意列出方程为，解方程得，，再根据尽快减少库存，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，再根据是整数，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克雪花梨的售价元，每日的销售量为千克． （2）解：根据题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴每日销售量为千克必须是更多的， ∴， ∴雪花梨的售价为（元）． 答：此时雪花梨的售价为13元． （3）解：由题意得， 解得， ∵是整数， ∴， ∴符合条件的整数有3个． 答：符合条件的整数有3个． 题型七 动态几何问题 26．如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 27．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键． 在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解． 【详解】解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 28．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度运动，动点Q同时从点C出发沿方向以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是? (2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决． 【答案】(1)出发后经过或时，两点之间的距离是 (2)问题：当为何值时，四边形是矩形？ 解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴ 解得， ∴此时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）过作于，得矩形，故．用时间表示、，推得水平距离．在中，由勾股定理列方程，结合验根，得到两个符合条件的解； （2）可设问题为：当为何值时，四边形是矩形？，由矩形性质得，只需满足即可先判定平行四边形，结合即可得矩形．根据、，列方程求解，即可得到对应时间． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． 设运动时间为， 由题意得，，， ∴，， ∴， 在中， 解得或； 由题意得，点到达终点的时间为，点到达终点的时间为， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴的取值范围为． ∵，，均符合题意， 答：出发后经过或时，两点之间的距离是； （2）略 29．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （3）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 题型八 工程问题 30．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 31．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 32．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型九 行程问题 33．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 34．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 35．一列高速列车在启动加速过程中，行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为．在这一过程中，该高速列车行驶需要多长时间？ 【答案】该高速列车行驶需要． 【分析】将代入路程与时间的关系式，解一元二次方程并结合实际意义取舍根即可． 【详解】解：由题意，将代入， 得 解得，， 时间不能为负数， 不符合题意，舍去． 答：该高速列车行驶需要． 36．今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 【答案】 示意图： 相遇时甲走了步，乙走了步． 【分析】先画出图，然后再利用勾股定理列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解： ① 取点为出发点，过作水平向右的射线表示向东方向，作竖直向下的射线表示向南方向，两射线互相垂直，   ② 在向南的射线上截取步，对应甲先向南走的路程，   ③ 在向东的射线上取相遇点，连接，为甲斜向北偏东走的路线，为直角三角形，． 示意图略； 设所行的时间为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴甲走了步，乙走了步． 题型十 图表信息题 37．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 38．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 39．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型十一 握手、循环赛问题 40．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有人，可得方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参加聚会的有人，每人需与其余人握手，总计数为次， ∵ 每两人之间的握手被重复计算1次， ∴ 实际握手总次数为 由题意得， 整理得． 41．某校七年级计划组织一次篮球赛，各班均组织一队参加比赛，赛制为单循环形式（每两班之间都比赛一场），共需安排场比赛，则七年级的班级个数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（单循环比赛场次问题），解题关键是根据单循环比赛场次公式列出方程求解． 设七年级有个班级，根据单循环比赛场次公式（总场数为）列方程解方程得班级个数． 【详解】解：设七年级班级个数为，则比赛总场数为， 根据题意得， 整理得， 解得或（舍去）， 七年级的班级个数为． 42．某市每年都举行篮球赛，去年初赛阶段，共15支队伍参赛，每两队之间都比赛一场．今年，参赛的队伍比去年有所增加，组委会决定初赛阶段共安排40场比赛，并将参赛队伍平均分成4个小组，各小组每两队之间都比赛一场．问今年比去年增加了多少支队伍? 【答案】今年比去年增加了5支队伍 【分析】设每个小组有支参赛队伍，则每一个队伍比赛场，由于每两队之间都比赛一场，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：由题意可得，每个小组比赛场数为（场）， 设每个小组有支参赛队伍， 列方程得， 解得（不合题意，舍去）， ∴今年比去年增加的队伍数为（支）． 答：今年比去年增加了5支队伍． 43．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 题型十二 其他问题 44．如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出方程，即可解答． 【详解】解：当输出结果为时， 解得：或， 故选：B． 45．为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 【答案】 【分析】设小队长人数为人，根据总人数的等量关系列一元二次方程，取符合题意的正整数解即可． 【详解】解：设选出的小队长有名， 小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同， 每个小队长管理名队员，所有队员总人数为名， 啦啦队总人数为人，总人数为小队长人数加队员人数， 列方程得：， 整理得：， 因式分解得 ， 解得 ，， 人数不能为负数， 舍去， 答：选出的小队长有名． 46．2026年国际足联世界杯由美国、加拿大和墨西哥三国联合举办，盛况空前．某足球运动员在比赛过程中，把一个足球沿垂直于地面的方向往上踢，后该足球的高度h（m）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为？ (2)在上升过程中，球的高度能否达到？若能，请求出对应的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)经过或时球的高度为 (2)不能． 理由如下：令． 整理，得． ， ∴一元二次方程没有实数根． ∴球的高度不能达到． 【分析】（1）因为要求高度为时的时间，所以将代入公式，得到关于t的一元二次方程，求解该方程即可得到对应时间． （2）首先如果要判断上升过程中能否达到21m，可将代入公式得到一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数根，若没有实根则说明无法达到该高度． 【详解】（1）解：当时，． 整理，得． 解得． 答：经过1s或3s时球的高度为15m． （2）略． 47．如图所示的是2026年1月的月历，1月1日下方标有“元旦”二字．“元旦”意为“初始之日”．中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦．用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数． 【答案】这个最小数为5 【分析】根据题意设最小数为，则最大数为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 根据题意，得， 整理得，， 解得，， 由题意可知， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴这个最小数为5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $