重难点04 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理的综合应用）（单元复习、期中复习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点04 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理的综合应用） （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、一元二次方程根的判别式 3 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 5 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 5 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 6 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 6 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 7 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 7 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 8 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 11 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 15 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ·韦达定理基础公式识记与直接代入：能根据一元二次方程一般形式，准确写出两根之和、两根之积，注意前提条件a≠0且△≧0，利用两根代数式直接求值，是本专题基础考点。 ・含参数方程中利用韦达定理求参数：已知两根关系（和、积、平方和、倒数和、差的平方等），构造等式求解参数，同步结合判别式对参数取值进行限制，是本专题核心运算考点。 ・代数式恒等变形转化：掌握平方和、两根差、倒数和、等常见代数式配方变形，将目标式子转化为仅含、的形式，避开直接解方程的繁琐计算，是本专题的核心技巧考点。 ・根的符号、正负性判断：结合两根之和、两根之积的符号，判断两根同正、同负、一正一负，搭配判别式确定方程根的分布情况，是方程定性分析的中档考点。 ・跨模块综合应用：韦达定理与一元二次方程判别式、代数式化简、二次函数交点、几何线段长度等内容结合，实现代数推理与综合计算，作为区分度考点。 ・基础命题：以纯代数式求值为主，给出确定的一元二次方程，求两根和、积、简单对称式的值；题干简洁，无复杂参数，多为选择、填空题，侧重韦达定理公式记忆与简单变形，难度偏低。 ・综合命题：以含参数一元二次方程为载体，给定两根满足的等量关系求解参数，强制搭配判别式检验参数的取值范围；常出现两根平方和、倒数和、两根之差等变形设问，多为填空压轴或解答中档小题，考查公式变形、参数约束的完整推理。 ・素养命题：设置隐藏前提条件，弱化直接提示，如仅告知方程有实数根，需要自主挖掘△≧0；结合二次函数图象与 x 轴交点、几何线段数量关系进行情境化命题，重点考查逻辑推理、严谨性思维，侧重检验学生是否忽略韦达定理使用前提。 考情解码： ・模块地位：本专题属于一元二次方程拓展核心内容，建立方程系数与根之间的桥梁，承接一元二次方程求解、根的判别式；同时是后续二次函数交点问题、高中一元二次方程根分布的前置铺垫，在代数推理板块起到承上启下作用。 ・考频与分值：月考、期中期末高频考点，题型以填空、选择压轴和解答小问为主；单独考查分值 4–6 分；中考中常和二次函数结合出题，单独考查或作为大题其中一问，分值 3–6 分。 ・高频考法：已知方程求对称代数式的值；已知两根关系求参数；判断根的正负性；结合判别式综合限定参数范围；、)、是最高频变形公式。 ・失分规律：忽略韦达定理使用前提（a≠0，方程必须有实数根△≧0），求出参数不回代检验；代数式配方变形出错；两根之和符号记错；混淆两根差与两根差的平方；参数多解时没有舍去不符合题意的值，其中忘记判别式检验是最普遍丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 【例1】定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【变式1-1】下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 【例2】若，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．9 【变式2-1】已知、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．5 B．9 C．13 D．11 【变式2-2】已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】方程的两个实数根分别为，则等于（     ） A． B． C．1 D． 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 【例3】已知方程的两个根为α，β，则的值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式3-1】若实数满足，，且，则的值为（     ） A．3 B． C．11 D． 【变式3-2】如果a、b是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（     ） A．2022 B． C．2026 D． 【变式3-3】若一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 【例4】已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】关于的一元二次方程有两个实数根，则最大的整数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（         ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A． B．且 C．且 D． 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 【例5】已知关于x的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】若关于的方程 的两根互为相反数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（     ） A． B．14 C．或14 D．2或 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 【例6】已知关于x的一元二次方程有两根、． (1)若，求m的值及的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于，求的取值范围； (3)若方程的两个根为，，且，求的值． \ 【变式6-2】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______； ①；    ②． (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【变式6-3】已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 【例7】阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 【变式7-1】“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【变式7-2】定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【变式7-3】新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”． (1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（     ） A． B． C． D． 6．已知不相等的两个实数,满足,，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．20 7．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（     ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 8．如图，菱形的边长是5，两条对角线交于O点，且的长分别是关于x的方程的根，则m的值为（     ） A． B．5 C．5或 D．0 9．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 10．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．关于x的方程的两根为2和3，则一次函数不经过第_________象限． 12．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 13．写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为________________．（要求是一元二次方程的一般形式） 14．已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为______． 15．已知实数满足，则的值是___________． 16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求的取值范围． (2)两实数根满足，求的取值． 17．关于的方程为． (1)证明：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根，满足，求出的值． 18．已知关于x的方程的两个根分别为，． (1)若两根之积，求p的值； (2)在（1）的条件下，不求，，求的值． 19．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)已知方程是“邻根方程”，求的值； (3)若方程是“邻根方程”，求的值． 20．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 21．已知抛物线：（是常数且）和直线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求直线与轴、轴围成的三角形的面积； (2)已知抛物线：． 求抛物线与轴交点的纵坐标的最大值； 已知抛物线经过点，若点，点为抛物线上的不同的两点，且，求证：． 22．概念：若函数与函数有且只有一个公共点，则函数与函数互为孤点函数，其公共点称为孤点． (1)请根据孤点函数的概念，判断下列函数是否互为孤点函数，是的填“√”，不是的填“×”； 函数 判断 ①与 ②与 ③与 (2)若函数与函数互为孤点函数，求的值及对应的孤点坐标； (3)函数与函数互为孤点函数． ①求出关于的函数关系式，并直接写出的最小值； ②将函数向上平移个单位长度得到函数，此时函数与函数的图象有两个交点，分别为点．当与为整数，且时，请直接写出所有符合条件的与的值． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 45 页 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点04 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理的综合应用） （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、一元二次方程根的判别式 2 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 4 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 4 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 6 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 7 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 9 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 10 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 12 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 18 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 27 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 43 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ·韦达定理基础公式识记与直接代入：能根据一元二次方程一般形式，准确写出两根之和、两根之积，注意前提条件a≠0且△≧0，利用两根代数式直接求值，是本专题基础考点。 ・含参数方程中利用韦达定理求参数：已知两根关系（和、积、平方和、倒数和、差的平方等），构造等式求解参数，同步结合判别式对参数取值进行限制，是本专题核心运算考点。 ・代数式恒等变形转化：掌握平方和、两根差、倒数和、等常见代数式配方变形，将目标式子转化为仅含、的形式，避开直接解方程的繁琐计算，是本专题的核心技巧考点。 ・根的符号、正负性判断：结合两根之和、两根之积的符号，判断两根同正、同负、一正一负，搭配判别式确定方程根的分布情况，是方程定性分析的中档考点。 ・跨模块综合应用：韦达定理与一元二次方程判别式、代数式化简、二次函数交点、几何线段长度等内容结合，实现代数推理与综合计算，作为区分度考点。 ・基础命题：以纯代数式求值为主，给出确定的一元二次方程，求两根和、积、简单对称式的值；题干简洁，无复杂参数，多为选择、填空题，侧重韦达定理公式记忆与简单变形，难度偏低。 ・综合命题：以含参数一元二次方程为载体，给定两根满足的等量关系求解参数，强制搭配判别式检验参数的取值范围；常出现两根平方和、倒数和、两根之差等变形设问，多为填空压轴或解答中档小题，考查公式变形、参数约束的完整推理。 ・素养命题：设置隐藏前提条件，弱化直接提示，如仅告知方程有实数根，需要自主挖掘△≧0；结合二次函数图象与 x 轴交点、几何线段数量关系进行情境化命题，重点考查逻辑推理、严谨性思维，侧重检验学生是否忽略韦达定理使用前提。 考情解码： ・模块地位：本专题属于一元二次方程拓展核心内容，建立方程系数与根之间的桥梁，承接一元二次方程求解、根的判别式；同时是后续二次函数交点问题、高中一元二次方程根分布的前置铺垫，在代数推理板块起到承上启下作用。 ・考频与分值：月考、期中期末高频考点，题型以填空、选择压轴和解答小问为主；单独考查分值 4–6 分；中考中常和二次函数结合出题，单独考查或作为大题其中一问，分值 3–6 分。 ・高频考法：已知方程求对称代数式的值；已知两根关系求参数；判断根的正负性；结合判别式综合限定参数范围；、)、是最高频变形公式。 ・失分规律：忽略韦达定理使用前提（a≠0，方程必须有实数根△≧0），求出参数不回代检验；代数式配方变形出错；两根之和符号记错；混淆两根差与两根差的平方；参数多解时没有舍去不符合题意的值，其中忘记判别式检验是最普遍丢分点。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 【例1】定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】将新运算方程转化为一元二次方程一般形式，利用判别式判断根的情况． 【详解】解：根据新运算定义，，方程整理为． ， 又， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1-1】下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，，故方程没有实数根； B选项：，，故方程有两个相等的实数根； C选项：，，故方程没有实数根； D选项：，，故方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式1-2】下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各方程的根的判别式，的方程没有实数根． 【详解】解：、，有实数根，不符合题意； 、，有实数根，不符合题意； 、，没有实数根，符合题意； 、，有实数根，不符合题意． 【变式1-3】对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③． 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 【例2】若，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得，. ∴ 原式． 【变式2-1】已知、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．5 B．9 C．13 D．11 【答案】C 【详解】解：由根与系数的关系得，，， ． 【变式2-2】已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求分式通分变形为含两根和与两根积的形式，利用根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系得，，， ∴． 【变式2-3】方程的两个实数根分别为，则等于（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程（），根据根与系数的关系 进行计算． 【详解】解：方程中，，， ∴． 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 【例3】已知方程的两个根为α，β，则的值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义将降次，转化为含两根和与两根积的形式代入求值． 【详解】解：∵，是方程的根， ∴，，， ∴， 将代入， 得原式 ． 【变式3-1】若实数满足，，且，则的值为（     ） A．3 B． C．11 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，是方程 的两个不相等的实数根， 则由韦达定理得． 【变式3-2】如果a、b是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（     ） A．2022 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】由a、b满足的同结构等式，得二者为方程的不等实根，降次后结合根与系数的关系计算． 【详解】解：由题意可知，，是方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴ ． 将，代入，得 ． 【变式3-3】若一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义，结合根与系数的关系计算代数式的值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，即，，， ∵， ∴， ∵， ∴原式． 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 【例4】已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，列不等式求解k的取值范围. 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得. 【变式4-1】关于的一元二次方程有两个实数根，则最大的整数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为及根的判别式求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得. ∴的取值范围为且， ∴满足条件的最大整数为． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（         ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据根的判别式确定m的范围，再利用一次函数图象的分布规律解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程无实数根， ∴ ， 解得， ∵ 一次函数的一次项系数，常数项， ∴ 其图象经过第一、二、三象限， 故不经过第四象限． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴，整理得 ， 解得 ， 综上，的取值范围是且． 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 【例5】已知关于x的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后验证方程有实根． 【详解】解：由根与系数的关系得，，． ， ， 解得． 方程有两个实数根， ． 将代入得，，符合题意． 故选：A． 【变式5-1】若关于的方程 的两根互为相反数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两根互为相反数得两根和为0，结合根与系数的关系列方程求解，再验证方程有实根． 【详解】解：设方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 由根与系数的关系，得， ∴， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 将代入，得， 解得， ∵，， ∴． 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且，则m的值是（     ） A． B．14 C．或14 D．2或 【答案】A 【分析】利用完全平方公式变形已知等式，结合根与系数的关系求解，用判别式取舍m的值． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 整理得，解得； 由根与系数的关系，得，， ∵，且 ， ∴，代入得 ，即， 整理得，解得，， ∵，不符合题意，舍去， ∴． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 【题型6 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 【例6】已知关于x的一元二次方程有两根、． (1)若，求m的值及的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)26 【分析】（1）直接套用根与系数的关系求出和两根之和即可； （2）利用完全平方公式变形：，代入数值计算． 【详解】（1）解：由根与系数的关系，得 ，， ∵， ； （2）解：当时，方程为， 由根与系数的关系得，， ． 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于，求的取值范围； (3)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：在方程中， ，，， ∴， ∵不论取何值，，即， ∴不论为何值，方程总有两个实数根． (2) (3) 的值为或 【分析】（1）利用根的判别式结合平方数的非负性进行证明即可； （2）利用因式分解法解方程可得，，因此，从而求出的取值范围； （3）由根与系数的关系表示出与，结合完全平方公式变形可得，将题干条件通分后代入求解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 因式分解，得， 解得，， 由题意可知，， ∴； （3）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 经检验，或都是关于的分式方程的解， ∴或． 【变式6-2】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______； ①；    ②． (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于1，从而得到关于的方程，解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简可得，整体代入再配方可得，即可确定的最大值． 【详解】（1）解：①， ， ， ． ， ∴不符合邻根方程的定义， 不是邻根方程． ②， ， ， ， ，． ， ∴符合邻根方程的定义， 是邻根方程． （2）解：∵关于的方程（是常数）是邻根方程， ∴解方程可得：，， ， ． （3）∵关于的方程（、是常数，）是邻根方程，设两个根为、， ． ，， ， ， ． 当时，． 【变式6-3】已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 【答案】(1) ； (2) 为不等于的实数； (3) 证明：∵两方程的唯一公共解为，方程①的非公共根为，方程②的非公共根为. ∴方程①中，得， 方程②中，得； ，是方程的两根， ，， 即，. 将代入得： ， 上式 假设，则， 即， 去分母得， ， 该方程无实数根，即不存在实数使得， ， ． 【分析】（1）将代入方程①，解关于的一元一次方程即可； （2）联立两方程消去二次项，结合唯一公共解的条件与两方程有两个不等实根的要求，确定的取值范围； （3）利用根与系数的关系得到非公共根的表达式，结合新方程的根与系数关系化简待证式，通过判别式证明不等式． 【详解】（1）解：是方程①的根， ， 即， 解得； （2）解：设两方程的公共解为，则： ①， ②， ①② 得：， 分两种情况： 当，即时，解得，即两方程有唯一公共解，符合题意； 当，即， 当时，方程①为，解得， 方程②为，解得， 此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 同理，可解得当时，此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 两方程均为一元二次方程且各有两个不相等的实数根， ，，即， ，即， 综上所述，为不等于的实数． （3）略 【题型7 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 【例7】阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 【答案】(1)3， (2)或2 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得，，可得出或，再根据根的判别式可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知：； （2）解：当时， ∵实数m、n满足， ∴m、n可看作方程的两根， ∴， ∴； 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：∵a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得或， 又 当时，，方程无实根，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 【变式7-1】“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 (1)请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 (2)关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 (3)是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； (3)存在，， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． （2）解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． （3）解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 【变式7-2】定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 【变式7-3】新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”． (1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，得到，据此计算即可求解； （2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解； （3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设正比例函数图象上“创新点”的坐标为， 根据题意得， 解得，则， ∴正比例函数图象上“创新点”的坐标为； （2）解：设点A的坐标为， 根据题意得，整理得， ∵点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， 设点是反比例函数图象上的“创新点”， 根据题意得， 消去并整理得， 解得，， ∴，， ∴点B，C的坐标分别为，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 在中，令，则， 将直线向下平移4个单位的直线， 直线与双曲线的交点为， 此时也满足面积与的面积相等， 联立得， 解得或， 将或分别代入， 得或， ∴或， 综上，点M的坐标为或或； （3）解：∵点是抛物线上的“创新点”， 则即， 则即， ∴是方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，且， ∴，，， 由，得； 由，得； ∴， 设函数， ∴当时， 函数的值随自变量的增大而减少， 当，； 当，； ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由根与系数的关系得两根之和为4，结合两根为正整数列举所有可能的根的组合，计算对应m的取值个数． 【详解】解：设方程的两个正整数根为，， 由根与系数的关系得，， ，均为正整数， 满足和为4的正整数对为，， 对应的值分别为，， 整数的值有2个． 2．已知是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求代数式拆分为的形式，结合方程根的定义和根与系数的关系分别求出两部分的值，代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴. 3．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系，整体代入求值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两实数根， ∴，； ∴ . 4．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于m的不等式，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， 解得． ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求代数式拆分为含与的两部分，结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 6．已知不相等的两个实数,满足,，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】根据,满足的等式特征，将其看作一元二次方程的两个不相等实数根，对所求式因式分解后结合根与系数的关系计算． 【详解】解：∵ 不相等的实数,满足，， ∴,是一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ 原式． 7．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（     ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴，． 8．如图，菱形的边长是5，两条对角线交于O点，且的长分别是关于x的方程的根，则m的值为（     ） A． B．5 C．5或 D．0 【答案】A 【分析】由题意可知：菱形的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：，，代入中，得到关于m的方程后，即可求得m的值． 【详解】解：∵，的长分别是关于的方程的两根， 设方程的两根为和，可令，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中：由勾股定理得：， ∴，则， 由根与系数的关系得：，， ∴， 整理得：， 解得， 又∵， ∴， 解得， ∴． 9．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 10．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 11．关于x的方程的两根为2和3，则一次函数不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图象与性质求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为2和3， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 12．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义和根与系数的关系得到，则可求出，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 13．写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为________________．（要求是一元二次方程的一般形式） 【答案】 【分析】根据题意设一元二次方程的两根为，，再根据根与系数的关系计算一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ， ， ， 所求一元二次方程的一般形式为． 14．已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵，分别是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得：，， ∵， ∴代入得：． 15．已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】将第二个方程整理得到和满足同一个一元二次方程，结合得到和是该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系代入化简即可得结果． 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子：． 16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求的取值范围． (2)两实数根满足，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用，求解参数时需要考虑根的存在条件进行解答． 【详解】（1）解：由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，可得： ， 解得． （2）解：由题意得，，， 代入得， 整理得，， 解得或， ， 舍去． 综上，． 17．关于的方程为． (1)证明：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根，满足，求出的值． 【答案】(1)证明：一元二次方程为， ，，， ， ， ，即， 方程有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】（1）根据根的判别式的值的符号即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根的和与两根的积，再根据，代入即可得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根，， ，， ， ， ， 解得． 18．已知关于x的方程的两个根分别为，． (1)若两根之积，求p的值； (2)在（1）的条件下，不求，，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查一元二次方程根与系数之间的关系，熟练掌握两个关系式是解题的关键； （1）利用根与系数关系直接解答即可； （2）由根与系数的关系可得，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由根与系数的关系，， 又 ， ∴， 解得 ． （2）解：由根与系数的关系，，， ∴． 19．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)已知方程是“邻根方程”，求的值； (3)若方程是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 (3)2 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义逐个判断即可； （2）先求出方程的两根，再根据“邻根方程”的定义建立方程，解方程即可； （3）利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得的值，再根据“邻根方程”的定义可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①的根为，，此时，则不是“邻根方程”； ②即，方程的根为，此时，则不是“邻根方程”； ③即，方程的根为，，此时，则是“邻根方程”． （2）解：方程的两根为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴或， 解得或． （3）解：设的两根为，， 则，，方程根的判别式， ∴，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴的值为2． 20．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 21．已知抛物线：（是常数且）和直线． (1)若抛物线的对称轴为直线，求直线与轴、轴围成的三角形的面积； (2)已知抛物线：． 求抛物线与轴交点的纵坐标的最大值； 已知抛物线经过点，若点，点为抛物线上的不同的两点，且，求证：． 【答案】(1)直线与轴、轴围成的三角形的面积为； (2)该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为；见解析． 【分析】（）根据题意得，解得，所以，当时，；当时，，解得，然后通过面积公式即可求解； （）先求得交点的纵坐标，再用顶点式确定二次函数的最值即可； 根据抛物线的对称性质，一元二次方程根与系数关系，方程根的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， ∴， 当时，；当时，，解得， ∴直线与轴、轴围成的三角形的面积为； （2）解：， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为； 证明：把（）代入抛物线，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 把点代入抛物线，得， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 22．概念：若函数与函数有且只有一个公共点，则函数与函数互为孤点函数，其公共点称为孤点． (1)请根据孤点函数的概念，判断下列函数是否互为孤点函数，是的填“√”，不是的填“×”； 函数 判断 ①与 ②与 ③与 (2)若函数与函数互为孤点函数，求的值及对应的孤点坐标； (3)函数与函数互为孤点函数． ①求出关于的函数关系式，并直接写出的最小值； ②将函数向上平移个单位长度得到函数，此时函数与函数的图象有两个交点，分别为点．当与为整数，且时，请直接写出所有符合条件的与的值． 【答案】(1)①√；②×；③× (2)当时，孤点坐标为，当时，孤点坐标为 (3)①，当时，取得最小值，最小值为；②当时，；当时，；当时， 【分析】（1）联立两个函数构成方程组求解，由孤点函数概念判断即可； （2）由孤点函数定义得到方程只有个实数根或有个相等的实数根，分类讨论求解即可； （3）①由孤点函数定义得到方程有个相等的实数根，由一元二次方程根与判别式的关系及二次函数图象与性质求解即可；②由孤点函数定义得到方程有个不等的实数根，求出，设，，则，，，， 由题意得到，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：①联立，解得，有且只有一个公共点，符合孤点函数概念； ②联立，解得或，有两个公共点，不符合孤点函数概念； ③联立，消去得，由，方程组无解，没有公共点，不符合孤点函数概念； 则①√；②×；③×； （2）解：函数与函数互为孤点函数， ∴联立，消去得方程， 则方程只有个实数根或有个相等的实数根， ①当，即时，，解得，此时， ∴当时，孤点坐标为； ②当，即时，，解得， 此时，解得， 此时， ∴当时，孤点坐标为； （3）解：①函数与函数互为孤点函数， 联立，消去得方程， 则方程有个相等的实数根， ，解得， 由二次函数图象与性质可知，当时，取到最小值，最小值为； ②根据题意，函数图象平移得到为，且， 函数与函数的图象有两个交点，分别为点， ∴方程有个不等的实数根， 整理得， 则， 即， ∴， 设，，则，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 又为整数且， ∴当时，；当时，；当时，． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 45 页 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $