专题03 一元二次方程的应用［挑战压轴题］导图知识卡片+11个题型讲练+优选题拔尖练共48题2026-2027学年北师大版数学九年级上册典型题培优系列
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专题03 一元二次方程的应用［挑战压轴题］
「思维导图+11个题型讲练+优选题拔尖练 共48题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版）】
【高频压轴题型举一反三变式训练】 2
题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 2
题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 2
题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 4
题型四 数字问题（一元二次方程的应用） 5
题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 6
题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 7
题型七 工程问题（一元二次方程的应用） 9
题型八 行程问题（一元二次方程的应用） 11
题型九 图表信息题（一元二次方程的应用） 12
题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 13
题型十一 其他问题（一元二次方程的应用） 14
【优选题拔尖练】 16
题型一 传播问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·云南文山·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ）
A．第一轮后有个人患了流感
B．第二轮后又增加个人患流感
C．依题意可列方程
D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后将超过500人患流感
【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”．
【变式训练2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）解答题
(1)雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
(2)学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，求n的值．
题型二 增长率问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的辆增加到九月份的辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】（26-27九年级上·河南周口·期中）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
(1)任务1：求该车间4月份到6月份生产零件数量的月平均增长率．
(2)任务2：为使月销售利润达到10000元，则该零件的实际售价应定为多少元？
(3)任务3：该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由．
【变式训练2】“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．
题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·期中）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18—19日在深圳举行．某筹备团队拟在长、宽的矩形区域内设置主题展示区，周围留出通道．（以下尺寸均为模拟数据，要求展示区面积为，每一侧通道宽度均不小于）
(1)甲方案：四周通道宽度都为（图为示意图），求的值；
(2)乙方案：南、北两侧通道各宽，东、西两侧通道各宽．在两种方案中，哪一种能满足上述全部要求？请列方程计算并说明理由
【变式训练1】（26-27九年级上·新疆和田·期中）如图，在中，，，，点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为．
(1)当时，求的面积．
(2)当的面积为时，求的值．
【变式训练2】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】
数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形中，，，是和边长，小文运用勾股定理推可得，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
【模型感知】
(1)请你写出一个“弦系一元二次方程”：________；
【初步探究】
(2)求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图1，若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【模型拓展】
(4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根．
题型四 数字问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【变式训练1】（26-27九年级上·全国·单元测试）发现：存在五个连续整数，最大数与最小数的积等于中间三个数的和．
(1)验证：请验证是否满足“发现”中的结论；
(2)尝试：设“发现”中的五个数中最中间的数为x，请你求出所有符合要求的五个数．
【变式训练2】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…．
（1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；
（2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．
题型五 营销问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·广东云浮·期中）某商场以每盒元的成本购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒．
(1)设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示）
(2)当月饼每盒降价多少元时，每天的销售利润恰好能达到元？
【变式训练1】（26-27九年级上·广西河池·期中）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到．
(1)求每期海水稻亩产量的平均增长率；
(2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克，若售价每提高1元，则日销售量减少20千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？
【变式训练2】（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元．
(1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式；
(2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由．
题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)填空：_____________，_____________（用含t的代数式表示）．
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得三角形面积为？若存在，请写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发以的速度向点移动．设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示线段：，则__________ ， __________，__________．
(2)当时，的面积为__________；
(3)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由；
【变式训练2】（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接．
(1)当t为何值时，四边形的面积为？
(2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由．
题型七 工程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值．
【变式训练1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值．
【变式训练2】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
题型八 行程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）在《九章算术》中有一道题，大意是：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？如果设甲、乙两人相遇时所走的时间为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）【实际背景】
为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试．列车从A点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止．测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如表所示：
刹车时间
0
1
2
3
4
瞬时速度
20
18
16
14
12
【问题解决】
(1)请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)求刹车开始后6秒时列车的速度．
【拓展提升】
在匀减速运动中，列车滑行的距离可以通过以下公式计算：
列车滑行距离列车平均速度时间，
其中，平均速度（初始速度秒时的瞬时速度）
(3)若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？
(4)若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明理由．
【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某海关缉私艇在点处发现其正北方向的处有一艘可疑船只，测得它正以的速度向正东方向航行，随即调整方向，以的速度准备将其拦截．问：需要多长时间缉私艇能在处拦截住可疑船只？
题型九 图表信息题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2】（26-27九年级上·全国·单元复习）某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值．
月份
用电量／
缴电费／元
5
80
25
6
45
10
题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·江西抚州·期中）某电子科技团队研究某种微电粒子连接方式时有如下两种连接方案：如图1，甲方案中各微电粒子两两连接，这样连接方式的好处是更加稳定；如图2，乙方案中在各微电粒子中间添加一个连接单元，这样连接更简便．
(1)若微电粒子个数为，则按甲方案的连接方法，连接线有_________条．（用含的式子表示）
(2)若同等数量微电粒子的情况下用甲方式的连接线比乙方式的连接线多135条，求微电粒子的数量．
【变式训练1】（26-27九年级上·福建厦门·期中）某小组学生在毕业时，每人向小组里的同学赠送本人照片一张留念，全组互相赠送的留念照片总计有张，若设该小组有人，则可得方程（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下：
(1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分；
(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数；
(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由．
题型十一 其他问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图是一架长为的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为．
(1)求梯子底端到墙的距离的长；
(2)如果梯子顶端向上滑动，则梯子底端会往左滑动，如果梯子底端向左滑动的距离恰好等于梯子顶端向上滑动距离的2倍，求梯子底端向左滑动的距离．
【变式训练1】（26-27九年级上·陕西榆林·期中）某社区舞蹈爱好者在广场排练，演员恰好排成一个正方形方阵，后来又有一批演员加入，方阵增加了2行2列（仍为正方形方阵），这时总人数恰好比原来人数的2倍少28人．设原方阵每行有人，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t．
①用含t的代数式表示；
②当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足．
①求点M的坐标；
②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）在一幅长，宽的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的，那么金色纸边的宽应该是多少？设金色纸边的宽是，根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（26-27九年级上·广西贵港·期中）某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（26-27九年级上·广西防城港·期中）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有（ ）个班．
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（ ）．（精确到，参考数据：）
A．15 B．14 C．11 D．10
6．（26-27九年级上·北京西城·期中）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为_________．
7．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，每条小路的两边是互相平行的，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，则小路宽度是_____________m．
8．（26-27九年级上·重庆南岸·期中）临近春节某干果店迎来了销售旺季，12月的第一周销售额为万元，第三周的销售额为万元，设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为______．
9．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，菱形中，点E是线段上的一点，且，连接．若，且，则菱形的边长为__________________．
10．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为．
11．（26-27九年级上·内蒙古包头·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(3)你认为羊圈的面积最大能达到多少？试说明理由．
12．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）根据以下资料，完成探索任务．
活动主题
探索某品牌冰箱在某商场的销售利润问题
探究背景
某商场在2026年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
资料1
该商场举行了“喜迎国庆，回馈新老用户”抽奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者
资料2
市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．商场要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元
问题解决：
(1)求每次降价的百分率；
(2)求每台冰箱的售价应定为多少元？
13．（26-27九年级上·广西贵港·期中）综合与实践
【问题情境】如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为．
【推理计算】
(1)_________，_________．（用含的代数式表示）
(2)当为多少时，点和点的距离为？
【拓展延伸】
(3)，两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？
14．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？
(3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形．
15．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践：制作长方体盒子
一块长，宽的矩形铁皮．
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为，则可列方程为______．
(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由
(3)为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高．
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专题03 一元二次方程的应用［挑战压轴题］
「思维导图+11个题型讲练+优选题拔尖练 共48题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（解析版）】
【高频压轴题型举一反三变式训练】 2
题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 2
题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 4
题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 6
题型四 数字问题（一元二次方程的应用） 11
题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 12
题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 15
题型七 工程问题（一元二次方程的应用） 20
题型八 行程问题（一元二次方程的应用） 23
题型九 图表信息题（一元二次方程的应用） 26
题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 27
题型十一 其他问题（一元二次方程的应用） 30
【优选题拔尖练】 35
题型一 传播问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·云南文山·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ）
A．第一轮后有个人患了流感
B．第二轮后又增加个人患流感
C．依题意可列方程
D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后将超过500人患流感
【答案】C
【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人．∵初始有1人患流感，∴第一轮后共有人患流感， 故A正确．
∵第二轮传染源为第一轮全部患者，∴第二轮新增人， 故B正确．
∵两轮后总患病人数为第一轮人数加第二轮新增人数，∴可列方程，整理得，与C选项的不符， 故C错误．
解方程，∵，∴， 解得．∵三轮后总患病人数为，且，∴D正确．
【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”．
【答案】125
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可．
【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
根据题意，得，
解得：或(舍去)，
三轮传染后总感染人数为，
故答案为：125．
【变式训练2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）解答题
(1)雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
(2)学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，求n的值．
【答案】(1)每轮传染中平均1个人传染了12个人．
(2)的值为30．
【思路引导】（1）根据两轮传染后总患病人数的等量关系列一元二次方程，舍去负根得到结果．
（2）根据两轮传播后总参与人数的等量关系列一元二次方程，舍去负根得到结果．
【规范解答】（1）解：设每轮传染中平均1个人传染了个人．
∵初始有1人患肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均1个人传染了12个人．
（2）解：依题意，两轮传播后参与传播的总人数为发起人、第一轮邀请的好友、第二轮邀请的好友之和，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：的值为30．
题型二 增长率问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·湖南衡阳·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的辆增加到九月份的辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【规范解答】解：∵七月份销量为辆，月平均增长率为，
∴八月份销量为辆，
∴九月份销量为辆，
又∵九月份销量为辆，
∴所列方程为．
【变式训练1】（26-27九年级上·河南周口·期中）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
(1)任务1：求该车间4月份到6月份生产零件数量的月平均增长率．
(2)任务2：为使月销售利润达到10000元，则该零件的实际售价应定为多少元？
(3)任务3：该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；
(2)该零件的实际售价应定为50元或80元；
(3)月销售利润不能达到20000元，
理由：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元，
由题意得，
整理得，
，
方程没有实数根，
故月销售利润不能达到20000元．
【思路引导】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，即可确定结论；
（3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论．
【规范解答】（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，
由题意得，
解得或（舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；
（2）解：设该零件的实际售价为m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
答：该零件的实际售价应定为50元或80元；
【变式训练2】“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．
【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
(2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元．
【思路引导】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【规范解答】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意，
得200（1+x）2=288，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%，
∴200（1+20%）=240（人），
∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
（2）∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍，
∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人），
设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件，
根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456，
∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，
∴432-a≤3a，
解得：a≥108，
∵-3＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=108时，W最大，最大值为3132，
∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元．
【考点剖析】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·广东深圳·期中）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18—19日在深圳举行．某筹备团队拟在长、宽的矩形区域内设置主题展示区，周围留出通道．（以下尺寸均为模拟数据，要求展示区面积为，每一侧通道宽度均不小于）
(1)甲方案：四周通道宽度都为（图为示意图），求的值；
(2)乙方案：南、北两侧通道各宽，东、西两侧通道各宽．在两种方案中，哪一种能满足上述全部要求？请列方程计算并说明理由
【答案】(1)2
(2)解：甲方案满足，理由如下：
由（1）可知，，故甲方案满足要求；
对于乙方案，由题意，，
解得（舍去）或，
∵，
乙方案不满足要求.
【规范解答】（1）解：由题意，，
解得或（不合题意，舍去）；
【变式训练1】（26-27九年级上·新疆和田·期中）如图，在中，，，，点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为．
(1)当时，求的面积．
(2)当的面积为时，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为2或8秒
【思路引导】（1）根据可得，的长，即可求解；
（2）由题意得，，，则，即可求解．
【规范解答】（1）解：当时，，，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，，，则，
∴，
整理，得，
解得．
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
∴的值为2或8秒．
【变式训练2】（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【综合与实践】
数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形中，，，是和边长，小文运用勾股定理推可得，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
【模型感知】
(1)请你写出一个“弦系一元二次方程”：________；
【初步探究】
(2)求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图1，若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
【模型拓展】
(4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根．
【答案】(1)
(2)证明：由题意可知：，
∴
，
∴关于的“弦系一元二次方程”必有实数根；
(3)1
(4)证明：过B作于D，如图，
，，
，，
，
，
，
，
，
∵，
，
∴关于x的一元二次方程必有实数根．
【思路引导】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积；
（4）过B作于D，由，，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可．
【规范解答】（1）解：，
“弦系一元二次方程”略；
（2）略
（3）解：把代入中得，
，
∵四边形的周长，
，
，
解得，
，
，
，
∴，
，
∴，
；
（4）略
题型四 数字问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上的数的平方比该数的5倍大6”． 盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【答案】D
【思路引导】设卡片上的数为，根据题目中的等量关系列一元二次方程，求解后匹配选项．
【规范解答】解：设卡片上的数为，根据题意得
，
整理得，
因式分解得，
解得，．
【变式训练1】（26-27九年级上·全国·单元测试）发现：存在五个连续整数，最大数与最小数的积等于中间三个数的和．
(1)验证：请验证是否满足“发现”中的结论；
(2)尝试：设“发现”中的五个数中最中间的数为x，请你求出所有符合要求的五个数．
【答案】(1)解：，
，
满足“发现”中的结论
(2)或
【思路引导】（1）计算最大数与最小数的乘积和中间三个数的和即可得到结论；
（2）根据题意这五个连续整数为，则可得到方程，据此求解即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：最中间的数为x，
这五个连续整数为，
．
∴根据题意，得，
移项，得，
即，
解得，
∴符合要求的五个数为或．
【变式训练2】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…．
（1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；
（2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．
【答案】
【思路引导】（1）按照题中规律将写成若干个连续奇数的和即可得到答案；
（2）由题中规律得到将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，结合题中已知条件列一元二次方程求解即可．
【规范解答】解：（1）由题中规律可得 ，
如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是
（2）由题意可得规律为，
将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，
则，
，
为正整数，
和是相邻的两个正整数，则由可知，．
题型五 营销问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·广东云浮·期中）某商场以每盒元的成本购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒．
(1)设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示）
(2)当月饼每盒降价多少元时，每天的销售利润恰好能达到元？
【答案】(1)．
(2)当月饼每盒售价下降元时，每天的销售利润恰好能达到元．
【思路引导】先根据降价和销量的变化关系写出销量代数式；
再找准降价之后单件利润，列出方程，解出方程后检验实际意义，本题两个解都满足售价高于成本，结合“扩大销售”的背景，选择销量更大的方案．
【规范解答】（1）根据题意得，每天能售出盒；
（2）解：设月饼每盒售价下降元，每天能售出盒，
依题意得：，
解得：，，
要扩大销售，降价越多，销量越大，
．
答：当月饼每盒降价元时，每天的销售利润恰好能达到元．
【考点剖析】本题是一元二次方程利润应用题，核心公式：单件利润销量总利润．利润应用题，当方程有两个正数合理解时，一定要回看题干的附加要求（扩大销售/优惠顾客/减少库存等），这类条件就是用来筛选答案的，不是所有正根都要保留．
【变式训练1】（26-27九年级上·广西河池·期中）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到．
(1)求每期海水稻亩产量的平均增长率；
(2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克，若售价每提高1元，则日销售量减少20千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？
【答案】(1)每期海水稻亩产量的平均增长率为
(2)当海水稻的定价为每千克元或元时，每天可获利元
【思路引导】（1）以第一期和第三期的亩产量为条件，利用增长率公式列一元二次方程求解；
（2）以总利润为等量关系，结合售价与日销售量的变化规律列一元二次方程求解．
【规范解答】（1）解：设每期海水稻亩产量的平均增长率为，
∵ 第一期亩产量为，第三期亩产量为，
∴ ，
解得 ，，
∵ 增长率为正数，
∴ 不符合题意，舍去，
∴每期海水稻亩产量的平均增长率为；
（2）解：设海水稻的定价为每千克元，
∵ 海水稻的进价为每千克元，
∴ 每千克利润为元，
∵ 售价为每千克元时，日销售量为千克，售价每提高元，日销售量减少千克，
∴ 日销售量为千克，
∵ 每天获利元，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，，
∵ ，，均符合售价调整的前提，
∴ 两个解均有效；
答：当海水稻的定价为每千克元或元时，每天可获利元．
【变式训练2】（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元．
(1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式；
(2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由．
【答案】(1)且为正整数
(2)公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元
【思路引导】（）分，和三种情形分别解答即可；
（）依据题意，结合（）分三种情况列出方程解答即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【规范解答】（1）解：当时，购买数量不超过件，按原价销售，
；
∵销售单价最低为元，
令，
解得，
∴当购买数量超过件且不超过件时，单价随购买数量增加而降低，
当时，每多买件，单价降低元，
，
即；
当时，单价已降至最低元，不再继续降价，
；
综上，与的函数关系式为且为正整数；
（2）解：当时，销售单价，单件利润，
当时，
解得，不在的范围内，故此情况不成立；
当时，销售单价，单件利润为，
当时，
解得，
，符合题意，
∴此时销售单价元；
当时，销售单价，单件利润，
当时，
解得，
∵购买数量必须为正整数，
∴此情况不成立；
综上，公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元．
题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)填空：_____________，_____________（用含t的代数式表示）．
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得三角形面积为？若存在，请写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，的长度等于
(3)
【思路引导】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为；
（2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可；
（3）连接，分别计算出，，的面积，进而根据题意求解即可．
【规范解答】（1）解：点Q的速度为，运动时间为，
，
点P的速度为，
，
又，
，
点Q运动到点C时两点同时停止，
，
解得，
又，
∴；
（2）解：四边形是矩形，
，
在中，，
将，，代入其中，
得
解得（舍去），，
当时，的长度等于；
（3）解：连接，如图：
∵四边形是矩形，
∴，且．
由题意得，，，，，且．
∴，
，
，
∴
，
令，得
解得（舍去），，
∴存在，使得的面积为．
【变式训练1】（26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发以的速度向点移动．设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示线段：，则__________ ， __________，__________．
(2)当时，的面积为__________；
(3)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由；
【答案】(1)；；
(2)28
(3)解：在运动过程中的面积不能为，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
，
当时，则，
∵，
∴方程没有实数根，
∴在运动过程中的面积不能为．
【思路引导】（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据列式求解即可；
（3）根据表示出，再令，建立关于t的方程，看是否有正实数解即可得到结论．
【规范解答】（1）解：由题意得，，
∴
（2）解：当时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
，
∴当时，的面积为；
【变式训练2】（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在矩形中，，动点分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为，连接．
(1)当t为何值时，四边形的面积为？
(2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在时刻，使得四边形为正方形？若存在求；不存在说明理由．
【答案】(1)3
(2)解：不存在一个时刻，使得，
理由如下：如图，过点作于点，同理可得矩形，矩形，
，
，，
当时，有，
，
化简得，，
，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得．
(3)解：不存在，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∴P点运动的时间为（秒），
Q点运动的时间是（秒），
∵P、Q的时间不一样，
∴不存在该时刻．
【思路引导】（1）先求出，，得到，再根据梯形的面积公式进行求解即可；
（2）当时，有，列出方程，由，说明方程无实数解，进而可得不存在一个时刻，使得．
（3）根据正方形的性质进行判断即可．
【规范解答】（1）解：在矩形中，，，
∵点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，移动时间为，
，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得，
∴当时，四边形的面积为；
题型七 工程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值．
【答案】(1)360个；240个
(2)80
【思路引导】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用：
（1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可．
（2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可．
【规范解答】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个．
根据题意，得．
化为整式方程，得，
解方程，得．
经检验，是原方程的解．
则．
答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个．
（2）解：工人总数为：（人）．
根据题意，得．
整理得．
解得，（舍去）．
答：的值为80．
【变式训练1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值．
【答案】(1)甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件
(2)10
【思路引导】（1）设乙每小时生产个零件，根据甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等列方程求解即可；
（2）根据已知信息列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：设乙每小时生产个零件，
由题意得，
解得，
检验：当时，，符合题意，
∴甲每小时生产的零件为（个），
答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件；
（2）解：由题意得，
解得，（舍去），
答：的值为10．
【变式训练2】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【思路引导】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
【规范解答】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【考点剖析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
题型八 行程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）在《九章算术》中有一道题，大意是：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？如果设甲、乙两人相遇时所走的时间为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路引导】将甲乙的行走路径转化为直角三角形的三边，利用勾股定理列方程．
【规范解答】解：相遇时乙向东行走的路程为步，甲行走的总路程为步，甲先向南走10步，斜向北偏东方向的路程为步，
∵ 出发点、甲向南走10步的终点、相遇点构成直角三角形，两条直角边长分别为10步和步，斜边长为甲斜走的路程，
∴ ，
即．
【变式训练1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）【实际背景】
为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试．列车从A点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止．测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如表所示：
刹车时间
0
1
2
3
4
瞬时速度
20
18
16
14
12
【问题解决】
(1)请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)求刹车开始后6秒时列车的速度．
【拓展提升】
在匀减速运动中，列车滑行的距离可以通过以下公式计算：
列车滑行距离列车平均速度时间，
其中，平均速度（初始速度秒时的瞬时速度）
(3)若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？
(4)若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为，自变量的取值范围是
(2)
(3)2秒
(4)列车不会撞上障碍物．理由如下：
∵当时，此时，
∴，
∵，
∴列车不会撞上障碍物．
【思路引导】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，当列车停止时，，即，解得，即可得出自变量的取值范围．
（2）把代入求解即可．
（3）根据题意可知初始速度为，秒时的瞬时速度为，，代入给定的公式得出关于t的一元二次方程求解并舍去不合适的值即可．
（4）求出列车行驶的，然后和110米比较即可得出答案．
【规范解答】（1）解：设列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式为，
由表格数据可知，该函数过点，，
则，
解得，
∴列车刹车后的瞬时速度关于刹车时间的一次函数表达式为．
当列车停止时，，即，解得，
∴自变量的取值范围为：．
（2）解：当时，则．
（3）解：根据题意可知，初始速度为，秒时的瞬时速度为，，
则，
整理得：，
解得，（大于10不合题意舍去），
故列车刹车后经过2秒会到达该位置．
【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某海关缉私艇在点处发现其正北方向的处有一艘可疑船只，测得它正以的速度向正东方向航行，随即调整方向，以的速度准备将其拦截．问：需要多长时间缉私艇能在处拦截住可疑船只？
【答案】
【思路引导】设需要缉私艇能在处拦截住可疑船只，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果．
【规范解答】解：设需要缉私艇能在处拦截住可疑船只，则，，
在中，，由勾股定理得，
即，
解得，．
因为，
所以．
故需要缉私艇能在处拦截住可疑船只．
题型九 图表信息题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【规范解答】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节，
依题意得：．
【变式训练1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从月份到月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【规范解答】解：由图可知，3月销量为368，5月销量为450，且从3月份到5月份该厂家电车销售的平均月增长率为x，
∴可列方程：．
【变式训练2】（26-27九年级上·全国·单元复习）某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值．
月份
用电量／
缴电费／元
5
80
25
6
45
10
【答案】
【思路引导】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍．
【规范解答】解：依题意，得，
整理，得，
解得，．
月份用电，且缴电费10元，
，
．
题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·江西抚州·期中）某电子科技团队研究某种微电粒子连接方式时有如下两种连接方案：如图1，甲方案中各微电粒子两两连接，这样连接方式的好处是更加稳定；如图2，乙方案中在各微电粒子中间添加一个连接单元，这样连接更简便．
(1)若微电粒子个数为，则按甲方案的连接方法，连接线有_________条．（用含的式子表示）
(2)若同等数量微电粒子的情况下用甲方式的连接线比乙方式的连接线多135条，求微电粒子的数量．
【答案】(1)，其中为正整数
(2)
【思路引导】（1）分别求出、、时，连接线的条数，据此解答即可；
（2）结合（1）的结论，建立一元二次方程，解方程即可．
【规范解答】（1）解：按甲方案的连接方法，当时，连接线有0条，
当时，连接线有1条，
当时，每个粒子都要和其余个粒子连1条线，但每一条连接线都被2个粒子各重复计算了1次，则总共有条，
∵当时，；当时，，
∴综上，若微电粒子个数为，则按甲方案的连接方法，连接线有条，其中为正整数．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：微电粒子的数量的值为18．
【变式训练1】（26-27九年级上·福建厦门·期中）某小组学生在毕业时，每人向小组里的同学赠送本人照片一张留念，全组互相赠送的留念照片总计有张，若设该小组有人，则可得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】设该小组有人，可得每人需赠送张照片，再根据照片总数列出方程即可．
【规范解答】解：设该小组有人，
∵每人向小组里的同学赠送本人照片一张留念，
∴每人需赠送张照片，
∴全组共赠送张照片，
又∵全组互相赠送的照片总计张，
∴可得方程为．
【变式训练2】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下：
(1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分；
(2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数；
(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)40
(2)本次比赛参赛队伍个数为16队
(3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分
【思路引导】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论；
（2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可；
（3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可；
【规范解答】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛，
∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级，
∴每个小组内场次为场，
∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分；
（2）解：因为参赛队伍总数为偶数个，
所以A组，B组队伍数一样多．
所以设A组、B组队伍数均为x队．则，
解得，（不符合题意，舍去），
则队，
答：本次比赛参赛队伍个数为16队；
（3）解：能，理由如下：
因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队．
所以，
解得，（不符合题意，舍去），
所以，
则队，
答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分．
题型十一 其他问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·贵州贵阳·期中）如图是一架长为的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为．
(1)求梯子底端到墙的距离的长；
(2)如果梯子顶端向上滑动，则梯子底端会往左滑动，如果梯子底端向左滑动的距离恰好等于梯子顶端向上滑动距离的2倍，求梯子底端向左滑动的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【思路引导】（1）利用勾股定理解答；
（2）梯子滑动后在新直角三角形中利用勾股定理解答．
【规范解答】（1）解：根据题意得，，，
根据勾股定理得，
，
即梯子底端到墙的距离的长为；
（2）解：设梯子顶端向上滑动到点的位置，梯子底端向左滑动到点的位置，则，
，，
在中，根据勾股定理得，
，
解得或（舍去），
，
即梯子底端向左滑动的距离为．
【变式训练1】（26-27九年级上·陕西榆林·期中）某社区舞蹈爱好者在广场排练，演员恰好排成一个正方形方阵，后来又有一批演员加入，方阵增加了2行2列（仍为正方形方阵），这时总人数恰好比原来人数的2倍少28人．设原方阵每行有人，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引导】分别表示原、新方阵的总人数，根据“新总人数比原人数的2倍少28”的等量关系列方程，再变形对应选项．
【规范解答】解：原方阵总人数为．
增加2行2列后新方阵每行有人，总人数为．
由题意得，
移项得．
【变式训练2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7．
(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t．
①用含t的代数式表示；
②当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足．
①求点M的坐标；
②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)①；②存在，点D的坐标为或或
【思路引导】（1）首先确定点，坐标，设，则，利用面积公式解得的值，即可确定点坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式；
（2）①根据题意，可知，由轴可知，然后由求解即可；②首先确定，结合轴可得，将其代入直线并求解，可得点坐标，进一步可得，结合计算的值，即可获得答案；
（3）①设，设直线的表达式为，将点，代入并计算，即可确定直线的表达式，进一步确定点坐标，结合求得的值，即可获得答案；②结合①确定直线的表达式，设，，设该平行四边形的对角线交点为，然后分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、以为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
【规范解答】（1）解：对于直线，
当时，可得，即，
当时，可得，解得，即，
∴，
设，则，
∵面积为7，
∴，解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①∵点E的横坐标为t，且点E在线段上，
∴，
∵轴，
∴，
由（1）可知直线的解析式为，
∴，即，
∴；
②∵，，
∴，
∵轴，，
∴，
将其代入直线，可得，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
（3）解：①设，设直线的表达式为，
将点，点代入，
得，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，即，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，整理可得，
解得，（不合题意，舍去），
∴；
②由①可知，直线的表达式为，
设，，
设该平行四边形的对角线交点为，
分情况讨论：
情况1，当以为平行四边形的对角线时，如下图，
∵，，
∴，解得，
∴；
情况2，当以为平行四边形的对角线时，如下图，
∴，解得，
∴；
情况3，当以为平行四边形的对角线时，如下图，
∴，解得，
∴．
综上所述，点坐标为或或．
1．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）在一幅长，宽的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的，那么金色纸边的宽应该是多少？设金色纸边的宽是，根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【思路引导】确定镶边后挂图的长与宽，结合面积占比的等量关系列方程．
【规范解答】解：设金色纸边的宽为．
∵纸边镶在风景画四周，宽度相同，
∴挂图的长为，宽为．
∵风景画面积占整个挂图面积的，
∴．
2．（26-27九年级上·广西贵港·期中）某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路引导】根据题意，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，则有的空白区域，又已知花带宽度为，列出方程即可得到正确答案．
【规范解答】解：矩形空地的长为，宽为，
矩形空地的面积为．
计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，
剩余空白区域的面积占总面积的比例为，
即空白区域面积为．
由图可知，空白区域的长为，宽为，
则空白区域的面积可列出方程．
故选D．
3．（26-27九年级上·广西防城港·期中）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有（ ）个班．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【思路引导】设班级数量为未知数，根据单循环比赛场次公式：总场次班级数班级数，列出一元二次方程求解，舍去负根得到答案．
【规范解答】解：设九年级共有个班，根据题意，得
整理，得
因式分解：
解得 ，．
班级个数不能为负数，故舍去．
所以九年级共有个班．
4．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引导】仿照题中所给一元二次方程的几何解法构造图形，通过方程变形确定大正方形的面积表达式，进而求解方程的正根，以此判断正确的构图．
【规范解答】解：∵，
∴，
∴，
∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小长方形的面积为，中间的小正方形的面积为，
∴大正方形的面积又可以表示为，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴正确的构图是B选项中的图形．
5．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（ ）．（精确到，参考数据：）
A．15 B．14 C．11 D．10
【答案】A
【思路引导】正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可．
【规范解答】解：如图，正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长，
，
设，
解得，
正方形边长为，
要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，
正方形画框的内边长至少为．
6．（26-27九年级上·北京西城·期中）某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为_________．
【答案】
【思路引导】结合总利润单件利润日销售量的关系，分别推导降价后的单件利润与日销售量，代入目标利润值即可列出对应方程．
【规范解答】解：设每个文创产品降价元，则降价后的实际销售价为元，单件产品的利润为元，日销售量为个，
∵日销售总利润为单件利润与日销售量的乘积，目标日销售利润为220元，
∴可列方程为．
7．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，每条小路的两边是互相平行的，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，则小路宽度是_____________m．
【答案】
【思路引导】设小路的宽度为，把三条小路分别平移到矩形空地的边缘，则剩余的花坛部分可拼成一个新的长方形，其长为，宽为，根据花坛总面积为列出方程求解即可．
【规范解答】解：设小路的宽度是．
根据题意得，平移后新长方形的长为，宽为．
由题意得，
解得，
矩形的宽为，小路宽度不能超过矩形的宽，
不合题意，舍去．
，
答：小路宽度是．
8．（26-27九年级上·重庆南岸·期中）临近春节某干果店迎来了销售旺季，12月的第一周销售额为万元，第三周的销售额为万元，设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为______．
【答案】
【规范解答】解：设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为．
9．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，菱形中，点E是线段上的一点，且，连接．若，且，则菱形的边长为__________________．
【答案】
【思路引导】过点作于点，过点作，交延长线于点，设，，先在和中，利用勾股定理可得的值，再证出，则，进而可得的长，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得．
【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
设，，
∵，
∴，，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴（两条平行线间的距离相等），
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，且，
∴，
解得或（舍去），
∴菱形的边长为．
10．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为．
【答案】或
【思路引导】过点作于点，求出的高，面积；分两种情况讨论：未完全进入矩形时，重叠面积为总面积减去左侧未进入的小三角形面积；穿出矩形时，重叠面积为总面积减去右侧穿出的小三角形面积；分别列方程求解即可．
【规范解答】解：设运动时间为，
如图，过点作于点，设交于点，
在中，
∵，，，
∴点到的距离，即的高为，
∴，
∵，
∴，即点在矩形的上边所在直线上，
当与矩形重叠部分的面积为时，分两种情况讨论：
①当未完全进入矩形时，
即此时点在点的左侧，，重叠部分面积，
∵
∴左侧未进入部分为等腰直角三角形，
依题意，，
∴，
解得，，
∵，
∴；
②当穿出矩形时，即，此时点在点的右侧，超出部分长度为，重叠部分面积，
∵，
∴右侧穿出部分为等腰直角三角形，
∴同①得，
解得，，
∵，
∴，
综上所述，运动时间为或时，与矩形重叠部分的面积为．
11．（26-27九年级上·内蒙古包头·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
(3)你认为羊圈的面积最大能达到多少？试说明理由．
【答案】(1)羊圈的长为，宽为；或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈
(2)不能，
理由：设，
由题意，得，
化简，得，
，
一元二次方程没有实数根．
羊圈的面积不能达到
(3)最大面积为．
理由：设最大面积为．
由题意，得，
，
最大面积为
【思路引导】（1）设，根据面积列方程求解即可得到答案；
（2）根据面积列方程求解即可得到答案；
（3）设面积为表示出与的解析式，结合二次函数性质直接求解即可得到答案；
【规范解答】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得，
化简，得，
解得，，
当时，，
当时，．
答：羊圈的长为40 m，宽为16 m；或长为32 m，宽为20 m时，
能围成一个面积为的羊圈．
（2）略
（3）略
12．（26-27九年级上·辽宁铁岭·期中）根据以下资料，完成探索任务．
活动主题
探索某品牌冰箱在某商场的销售利润问题
探究背景
某商场在2026年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元．
资料1
该商场举行了“喜迎国庆，回馈新老用户”抽奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者
资料2
市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．商场要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元
问题解决：
(1)求每次降价的百分率；
(2)求每台冰箱的售价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)每台冰箱的售价应定为元
【思路引导】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程，结合实际取舍方程的解，即可求解；
（2）设每台冰箱应降价元，根据题意列出方程，解方程，进而求得每台冰箱的售价．
【规范解答】（1）解：设每次降价的百分率为
根据题意，得：
解这个方程，得，(舍去)
答：每次降价的百分率为
（2）解：设每台冰箱应降价元
根据题意，得：
解这个方程，得：
元
答：每台冰箱的售价应定为元
13．（26-27九年级上·广西贵港·期中）综合与实践
【问题情境】如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为．
【推理计算】
(1)_________，_________．（用含的代数式表示）
(2)当为多少时，点和点的距离为？
【拓展延伸】
(3)，两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？
【答案】(1)，
(2)为或
(3)2或或
【思路引导】（1）根据速度公式分别表示出的线段长度；
（2）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的一元二次方程求解；
（3）根据以为腰，分和两种情况讨论，分别列方程求解．
【规范解答】（1）解：由题意可得，，，
；
（2）解：过点作于，
点P到达点B的时间为，
∴，
四边形为矩形，
，
∵，
四边形为矩形，四边形为矩形，
，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得或，
当或时，点和点的距离为；
（3）解：由（2）得，，，，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴当时，即，
∴，
解得或（舍去）；
当时，即，
，
整理得，
解得，
∴，符合题意，
，符合题意．
综上，满足条件的的值为2或或．
14．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？
(3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
(2)P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是；
(3)经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形
【思路引导】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，得出，确定运动时间为，然后结合梯形的面积公式即可求解；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作垂足为E，则，根据题意得出，然后利用勾股定理求解即可；
（3）过点P作于M，于N，根据题意分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图形分别利用勾股定理及等腰三角形的性质求解即可．
【规范解答】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，
∴，
∵点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动，
∴运动总时间为，
根据梯形的面积公式得，
解得，
∴P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，
作，垂足为E，则，
，
，
由勾股定理，得，
解得，
∴P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是；
（3）解：过点P作于M，于N，连接，
∴，
∵点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形，
∴分三种情况：
①当时，则，
∵，
∴；
②当时，在直角中，
由勾股定理得：，
整理，得，
解得；符合题意；
③当时，在直角中，由勾股定理得：，
解得(舍去)
综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．
15．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践：制作长方体盒子
一块长，宽的矩形铁皮．
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为，则可列方程为______．
(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由
(3)为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高．
【答案】(1)
(2)能折出底面积为的有盖盒子，盒子的体积为
(3)设计图如下：
方案一：
该铁盒侧面的高为，
方案二：
该铁盒侧面的高为；
【思路引导】（1）四角剪去边长为正方形后，底面长为，宽为，，根据底面积为直接列出方程；
（2）设正方形边长为，结合有盖盒子裁剪方案，底面长为、宽为，利用底面积列方程，利用判别式判断方程是否有解，，有解，故能折出底面积为的有盖盒子，然后舍去超出范围的根，算出高后求出体积；
（3）方案一：把原铁皮分成1块正方形底面、4块相同长方形侧面，底面取边长，算出侧面高为；方案二：取长、宽的长方形作为底面，再把剩余部分分出两组侧面：2块长、宽，2块长、宽即可．
【规范解答】（1）解：由题意得底面长为，宽为，
底面积为，
可列方程为；
（2）解：设切去的正方形的边长为，
则底面长为，宽为，
底面积为，
，
化简得，即，
，
，（舍去），
能折出底面积为的有盖盒子，盒子的体积为；
（3）解：要求不浪费原材料，
方案一：取边长为的正方形作为底面，再把剩余部分分成长为的四个全等长方形，
设计图略，
，
该铁盒侧面的高为．
方案二：取长、宽的长方形作为底面，再把剩余部分分出两组侧面：2块长、宽，2块长、宽，
设计图略，
侧面竖边长度等于，
该铁盒侧面的高为．
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$null2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
专题03一元二次方程的应用[挑战压轴题]
「思维导图+11个题型讲练+优选题拔尖练共48题」
【2026-2027学年北师大版数学新教材•九年级上册（原卷版)】
山且录导航」
【高频压轴题型举一反三变式训练】
.2
题型一传播问题（一元二次方程的应用)
2
题型二增长率问题（一元二次方程的应用）
2
题型三与图形有关的问题（一元二次方程的应用)
题型四数字问题（一元二次方程的应用）
….5
题型五营销问题（一元二次方程的应用）.6
题型六动态几何问题（一元二次方程的应用）
7
题型七工程问题（一元二次方程的应用）
题型八行程问题（一元二次方程的应用)
……11
题型九图表信息题（一元二次方程的应用）
.12
题型十握手、循环赛问题（一元二次方程的应用)
13
题型十一其他问题（一元二次方程的应用）
14
【优选题拔尖练】
.....16
■山思维导图技巧点拨
一、一元二次方程的应用类型
二、应用一元二次方程解题的一般步骤
三、常用公式与数量关系
1.几何问题
①审题：弄清题意，找出等量关系。
◆-元二次方程的一般形式：ar2+br+c=0(a≠0)
②设来知数：设出合适的未知数
2.行程问题
涉及速度、时间、路程
③列方程：根据等量关系，列出一元二次方程。
◆判别式：△=b-4c
等数量关系的问题
④解方程：解一元二次方程
(△>0方程有两个不相等的实数根
△=0，方程有两个相等的实数根：
3.工程问题
沙及工作效率，工作量
⑤检脸：检验所求解是否符合题意（舍去不合题意的解）
△<0，方程没有实数根。
时间等数量关系的阿题
⑥答题：写出符合题意的答案
4.经济问题
◆根的公式：x=-b士6-ac（(△≥0】
2a
5.其他问题
◆两根之和：+万一名，两根之积：-日
挑战压轴题专题03
◆相关几何关系：勾殷定理石+b=2:相似三角形的性质
四、常见几何问题模型
矩形的面积S=长×宽等
一元二次方程的应用
1.直角三角形滑动问题
,六、压轴题解题技巧
①审题要细：抓住关健词，理清数量关系和几何关系
②设未知数要巧：设择合适的未知数，便于列方程。
③构造方程要准：找出等量关系，列出正确的一元二次方程
2.相似三角形问题
五、典型应用题型及方程建立
检验要严谨：把解代入题意检验，舍去不合题意的解
1.距商问题
⑤善于画图：通过准确的图形帮助理解题意，发现等量关系
⑥注意单位：统一单位，避免因单位不一导致错误。
3.矩形或面积问题
2,行程问器
七、易错点拨
利用矩形的重积公式或分
制、拼接形成的面积关系
涉及路程=速度X时间
与P←
①1.忽略检哈：方程的解不一定都符合题意，必须检险
列方程。
相遇问题、追及问题等。
2.等量关系错误：没有找准等量关系，导致方程错误
（教材第14题围)
3.工程问影
☆
▲3。单位不统一：不同单位直接远算，导致结果错误，
4.船航问题（形区城】
涉及工作效率×时间=工作总量：
合作或轮流工作等何题。
△4.漏解或多解：解方程时漏掉一个极，或未舍去不合避意的根
如图，船以速度航行，伪
△5.图形理解错误：图形画错或理解错误，导致关系错误。
察范围为图形区域，涉及
4.经济问题
直角三角形和勾股定理
涉及利润一售价一成本
增长率同题：
自√
新量=原量×(1+增长率)
学好一元二次方稻
2.设来知敲
3.列方程
4.解方碍
八、解题
,理解题意
5.检验
6.答题
的应用，关健在于
和折米，分折数关系。
择合通的来如数
关
用字母表示
列出
→求出方程的根
思维流程图
多审题、多画图、
X1,X2
多总结、多练习
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教杜」
售山高频压轴题型举一反三变式训练
题型一传播问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·云南文山·期中)有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了
流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是(
A.第一轮后有(x+1)个人患了流感
B.第二轮后又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可列方程1+x(1+x)=64
D.按照这样的传染速度，经过三轮传染后将超过500人患流感
【变式训练1】(25-26九年级上·广东东莞·期末)甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感
染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到
有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有
人感染了“甲
流病毒”.
【变式训练2】(26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测)解答题
(1)雅礼中学有1个学生患了肺炎，经过两轮传染后共有169人患病，求每轮传染中平均1个人传染了多少
个人？
(②)学生写了一份预防肺炎倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个
好友转发倡议书，每个好友又邀请n个互不相同的好友转发，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931
人参与了传播活动，求n的值.
题型二增长率问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·湖南衡阳·期中)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车
已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由七月份的8000辆增加到九月份的
12000辆，设该汽车七月至九月销售量平均每月增长率为x,则可列方程为(
)
A.8000(1+2x)=12000
B.8000(1+x)2=12000
C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜]
D.8000×2(1+x)=12000
【变式训练1】(26-27九年级上·河南周口·期中)根据表中的素材，探索完成任务.
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智
素
能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产
材1
144个.
素
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个.若
材2
在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
(1)任务1：求该车间4月份到6月份生产零件数量的月平均增长率.
(2)任务2：为使月销售利润达到10000元，则该零件的实际售价应定为多少元？
(3)任务3：该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由.
【变式训练2】“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周
接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同.
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品.该景
点只销售A,B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念
品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W
与a的函数关系式，并求出获得的最大利润！
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
题型三与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·广东深圳·期中)第三十三次APEC领导人非正式会议将于2026年11月
18一19日在深圳举行.某筹备团队拟在长12m、宽8m的矩形区域内设置主题展示区，周围留出通道.（以
下尺寸均为模拟数据，要求展示区面积为32m2,每一侧通道宽度均不小于1.8m,√33≈5.74)
展示区
8m
通道
12m
(1)甲方案：四周通道宽度都为xm(图为示意图)，求x的值：
(2)乙方案：南、北两侧通道各宽ym,东、西两侧通道各宽y+1)m.在两种方案中，哪一种能满足上述全
部要求？请列方程计算并说明理由
【变式训练1】(26-27九年级上新疆和田期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40cm,BC=30cm,
点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运动，同时，点Q在边CB上，以2cm/s的速度由点C向点B运动，
当一个点到达终点时，两个点同时停止运动.设运动时间为ts,
B
(1)当t=5时，求△PQC的面积，
(2)当△PQC的面积为64cm2时，求t的值.
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【变式训练2】(26-27九年级上·广东东莞·阶段检测)【综合与实践】
数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系
均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：
如图1，在四边形ACDE中，Q,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长，小文运用勾股定理推可得AE=V2c,这
时小文就把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”.请解决下列问题：
V2c
a
D
Bb
图1
图2
【模型感知】
(1)请你写出一个“弦系一元二次方程”：
【初步探究】
(2)求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根：
(3)如图1，若x=-1是“弦系一元二次方程”ax2+V2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6V2,
求△ABC面积.
【模型拓展】
(4)如图2，△ABC的三边分别为a,b,c,∠BCA=60°，且2b>a.求证：关于x的一元二次方程V3ax2+
2W2cx+b-a=0必有实数根.
题型四数字问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·河北沧州·阶段检测)妮妮和盼盼玩猜数游戏，妮妮说：“我手中卡片上
的数的平方比该数的5倍大6”，盼盼思考后正确地说出了卡片上的数，则盼盼给出的答案是(
)
A.2或3
B.-2或-3
C.1或-6
D.-1或6
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【变式训练1】(26-27九年级上·全国·单元测试)发现：存在五个连续整数，最大数与最小数的积等于
中间三个数的和.
(1)验证：请验证2、3、4、5、6是否满足“发现”中的结论：
(2)尝试：设“发现”中的五个数中最中间的数为x,请你求出所有符合要求的五个数.
【变式训练2】(25-26八年级下·安徽毫州·期末)数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干
个连续奇数的和，例如：23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，….他们进一步研究其中
连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：23=1×2+1+5,33=2×3+1+9+11,43=3×4+1+
15+17+19,…
(1)如果将53写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是
(2)如果将n3写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是73，则n的值为一一一，
题型五营销问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】（26-27九年级上·广东云浮·期中)某商场以每盒120元的成本购进一批月饼，当每盒月
饼售价为160元时，每天可售出60盒.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，
如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒.
(1)设售价每盒下降x元，则每天能售出
盒：（用含x的代数式表示）
(2)当月饼每盒降价多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元？
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜」
【变式训练1】(26-27九年级上·广西河池·期中)某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产
量为500kg,在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到720kg.
(1)求每期海水稻亩产量的平均增长率；
(2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元.经市场调研发现：若售价定为每
千克8元，则日销售量为200千克，若售价每提高1元，则日销售量减少20千克.当海水稻的定价为每千
克多少元时，每天可获利960元？
【变式训练2】(25-26九年级上·四川成都·期末)某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，
销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200
元销售：若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不
低于1050元.
(1)设一次购买该产品的数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式：
(2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价：若不能，
说明理由.
题型六动态几何问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·宁夏银川·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P
从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如
果点P,Q分别从点A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为ts(t>0),
B→O
第7页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材」
(1)填空：BQ=」
cm,PB=
cm（用含t的代数式表示).
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?
(3)是否存在t的值，使得三角形DPQ面积为15cm2？若存在，请写出此时t的值；若不存在，请说明理由
【变式训练1】(26-27九年级上·湖南湘西·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,
点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度向点C移动.设运动
时间为t秒，
D
B
备用图
(1)用含t的式子表示线段：AP=t,则BP=
-，BQ=—---,QC=
(2)当t=2时，△DPQ的面积为
cm2:
(3)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由：
第8页共21页
2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新数材」
【变式训练2】(26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,AD=5cm,
动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度
向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动），设移动时间为t(S),连接PQ,QB
D
Q-C
》P
(1)当t为何值时，四边形PBCQ的面积为30cm2?
(2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB=90°？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由.
(3)是否存在时刻，使得四边形PBCQ为正方形？若存在求t:不存在说明理由，
题型七工程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(25-26九年级上·重庆渝北·期末)列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，己知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉
礼盒数量的1.5倍.某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加
工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个.
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增.该厂一方面对所有工人重新分配：m名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种
腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲
种腊肉礼盒比以前增加2m个.已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求m的值.
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
【变式训练1】(26-27九年级上·重庆·阶段检测)甲、乙两人加工生产同种零件.甲每小时生产零件的
个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等.
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(②)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备.更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了
。乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作(m+5)小时共生产1350个零件，求m
的值.
【变式训练2】某工程队采用A,B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造.原计划A型设备每
小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务.
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度：
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米.在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，
而使用时间增加了m小时，求m的值.
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题型八行程问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·贵州贵阳·期中)在《九章算术》中有一道题，大意是：已知甲、乙两人
同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后
又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.相遇时，甲、乙各走了多远？如果设甲、乙两人相遇时所走的时
间为x,下列方程正确的是(
A.3x+10=7x
B.(3x)2+102=(7x)2
C.(3x)2-102=(7x)2
D.(3x)2+102=(7x-10)2
【变式训练1】(26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测)【实际背景】
为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试.列车从A
点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止.测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如
表所示：
刹车时间t(s)
0
1
3
4
瞬时速度v(m/s)
20
18
16
14
12
【问题解决】
(1)请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度v(m/s)关于刹车时间t(s)的一次函数表达式，并写出
自变量t的取值范围。
(2)求刹车开始后6秒时列车的速度.
【拓展提升】
在匀减速运动中，列车滑行的距离S(m)可以通过以下公式计算：
列车滑行距离=列车平均速度×时间，
其中，平均速度=×（初始速度+t秒时的瞬时速度）
(3)若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？
(4)若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明
理由.
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【变式训练2】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，某海关缉私艇在点0处发现其正北方向30 nmile
的A处有一艘可疑船只，测得它正以60 nmile/h的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75 amile/h的速
度准备将其拦截.问：需要多长时间缉私艇能在B处拦截住可疑船只？
B
题型九图表信息题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)某电池厂2026年1~5月份的电池产量如图所示.设从
2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程为(
)
产量（万节）
500H
461
400
368
442
300
200上
137
100
180
1月2月3月4月5月月份
A.180(1-x)2=461
B.180(1+x)2=461
C.
368(1-x)2=137
D.368(1+x)2=442
【变式训练1】(26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测)某厂家2026年1-5月份销售的电车数量如图
所示.若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x,根据题意可得方程(
2026年1-5月份销售电车统计图
销量（辆）
500
410450
400
368
300
200
140
100
180
1月
2月3月
4月5月月份
A.368(1+x)=450
B.450(1+x)2=368
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教材杜]
C.450(1+x)=368
D.368(1+x)2=450
【变式训练2】(26-27九年级上·全国·单元复习)某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量
不超过xkW.h,那么这个月这户居民只缴10元电费：如果超过xkW.h,那么这个月这户居民除了要缴10
元电费外，超过部分按0元/(kw·h)缴费.下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表
中的数据，求x的值。
用电量/
月份
缴电费/元
(kW.h)
5
80
25
6
45
10
题型十握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·江西抚州·期中)某电子科技团队研究某种微电粒子连接方式时有如下两
种连接方案：如图1，甲方案中各微电粒子两两连接，这样连接方式的好处是更加稳定：如图2，乙方案中
在各微电粒子中间添加一个连接单元0，这样连接更简便.
图1
图2
(1)若微电粒子个数为x,则按甲方案的连接方法，连接线有_
条.（用含x的式子表示）
(2)若同等数量微电粒子的情况下用甲方式的连接线比乙方式的连接线多135条，求微电粒子的数量x.
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练[北师大版新教杜」
【变式训练1】(26-27九年级上·福建厦门·期中)某小组学生在毕业时，每人向小组里的同学赠送本人
照片一张留念，全组互相赠送的留念照片总计有72张，若设该小组有x人，则可得方程(
)
A.x(x+1)=72B.xx+1)=72
C.3x(x-1)=72
D.x(x-1)=72
【变式训练2】(25-26八年级下·广西百色·期中)为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，
为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛.当
参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多：当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1
个.小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半
决赛，最后进行决赛.积分规则：胜一场得2分，负一场得0分.小组赛结束后，某数学学习小组针对全
部队伍累计总得分开展数学讨论.具体如下：
(1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛.小组赛结束后，全部队伍累计总得分共_分：
(②)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分.求本次比赛参赛队伍个
数：
(3)当参赛队伍总数为奇数个时.小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参
赛的队伍数；若不能，请说明理由.
题型十一其他问题（一元二次方程的应用）
【典例精讲】(26-27九年级上·贵州贵阳·期中)如图是一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子顶端
A到地面BC的垂直距离AC为8m.
(1)求梯子底端B到墙AC的距离BC的长；
(2)如果梯子顶端A向上滑动，则梯子底端B会往左滑动，如果梯子底端B向左滑动的距离恰好等于梯子顶端
A向上滑动距离的2倍，求梯子底端B向左滑动的距离.
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【变式训练1】(26-27九年级上·陕西榆林·期中)某社区舞蹈爱好者在广场排练，演员恰好排成一个正
方形方阵，后来又有一批演员加入，方阵增加了2行2列（仍为正方形方阵），这时总人数恰好比原来人
数的2倍少28人.设原方阵每行有x人，根据题意可列方程为(
A.(x+2)2-x2=2x2-28
B.2x2-(x+2)2=28
C.2x2+28=(x+2)2
D.(x+2)2-x2=28
【变式训练2】(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=一x+2与x轴
交于点A,与y轴交于点B,过点B的直线交x轴负半轴于点C,且△ABC面积为7.
B
图1
图2
(1)求直线BC的解析式：
(2)点E为线段AB上一点，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F,作EG∥x轴交直线BC于点G,设点E的横坐
标为t.
①用含t的代数式表示EF:
②当EF+EG=AC时，求点E的坐标：
(3)如图2，若M为线段CB上一点，直线AM交y轴于W点，且满足S△BMN=S△4ON·
①求点M的坐标；
②点Q为直线AM上一动点，在y轴上是否存在点D,使得以点Q、DRC为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
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☐山优迭题拔尖练
1.(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)在一幅长90cm,宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同
的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多
少？设金色纸边的宽是xcm,根据题意，可列方程为(
A.(90-2x)(40-2x)×72%=90×40
B.(90+2x)(40+2x)×72%=90×40
C.(90+x)(40+x)×72%=90×40
D.(90-x)(40-x)×72%=90×40
2.(26-27九年级上·广西贵港·期中)某中学有一块长30m,宽20m的矩形空地，计划在这块空地上
划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm,则可列方程
是(
)
30m斗
xm
20m
A.(30-0(20-x)=×20×30
B.(30-2x(20-x)=4×20×30
C.30x-2×20x=×20×30
D.(30-2x)(20-)=×20×30
3.(26-27九年级上·广西防城港·期中)九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行
一场比赛)，据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有(
)个班
A.6
B.7
C.8
D.9
4.（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测)我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆
方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x-8=0即x(x+2)=8为例说明，记
载的方法是：构造如图.大正方形的面积是(x+x+2)2.同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方
形的面积，即4×8+22，因此(x+x+2)2=4×8+22,所以x=2.则在下面四个构图中，能正确说明
方程：x2-5x-6=0的解法的构图是(
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2026-2027学年数学九年级上册挑战压轴题尖子生培优讲练「北师大版新教材」
x+2
x+
x+2
x+2
A
C.
D
5.(26-27九年级上·山西运城·阶段检测)正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边
长为6cm的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，
忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少(
)cm.(精确到1cm,参考数据：√2≈1.414)
6cm
A.15
B.14
C.11
D.10
6.（26-27九年级上·北京西城·期中)某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元.调查发现，当销
售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.超市要想
使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为
7.(26-27九年级上·宁夏银川·期中)在一块宽30m,长40m的长方形空地上，修建3条宽度相等的小
路（阴影部分）如图所示，每条小路的两边是互相平行的，剩余空白区域为花坛部分，已知花坛部分总面
积为1008m2,则小路宽度是
m.
30n
40m
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8.（26-27九年级上·重庆南岸·期中)临近春节某千果店迎来了销售旺季，12月的第一周销售额为2万
元，第三周的销售额为2.88万元，设这两周销售额的周平均增长率为x,则根据题意，可列方程为一一一·
9.(26-27九年级上·广东佛山·阶段检测)如图，菱形ABCD中，点E是线段BC上的一点，且CE=2BE,
连接AE,DE.若AE=√7，且DE2=AB·BE,则菱形ABCD的边长为
10.(26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB,AB=20cm,在
矩形DEFG中，EF=30cm,DE=10cm;△ABC在矩形DEFG的左侧，AB与EF在一条直线上，且点B与点
E重合，现△ABC以1cm/s的速度沿直线AF从左向右运动（矩形DEFG保持不动），当运动时间为
秒时，△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为68cm2.
D
A
B(E)
11.(26-27九年级上·内蒙古包头·期中)如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙
足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）·
(1)当羊圈的长和宽分别为多少m时，能围成一个面积为640m的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
(3)你认为羊圈的面积最大能达到多少m2？试说明理由.
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12.(26-27九年级上·辽宁铁岭·期中)根据以下资料，完成探索任务.
活动主题
探索某品牌冰箱在某商场的销售利润问题
某商场在2026年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500
探究背景
元，标价为3100元.
该商场举行了“喜迎国庆，回馈新老用户”抽奖活动，将冰箱价
资料1
格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台2511元
的价格卖给中奖者
市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售
资料2
出8台，当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台.商场
要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元
问题解决：
(1)求每次降价的百分率：
(2)求每台冰箱的售价应定为多少元？
13.(26-27九年级上·广西贵港·期中)综合与实践
【问题情境】如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P,Q分别从点A,C
同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，当点P到
达点B时，点Q随之停止运动，设运动时间为ts.
【推理计算】
(1)AP=
cm,DQ=
cm.(用含t的代数式表示)
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(2)当t为多少时，点P和点Q的距离为10cm？
【拓展延伸】
(3)P,Q两点同时出发，直接写出当t为何值时，△PQD是以PQ为腰的等腰三角形？
14.(26-27九年级上·河北唐山·阶段检测)如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,
动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s
的速度向点D移动.当点P到达点B时，点Q也停止运动.
(1)P,Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?
(2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm?
(3)直接写出PQ两点从出发开始到几秒时，点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形.
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15.（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测)综合与实践：制作长方体盒子
一块长30cm,宽12cm的矩形铁皮.
(1)如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为
144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm,则可列方程为_-一一。
图1
(2)由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，
空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子
(盒盖与盒底的大小形状完全相同)？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由
底
项
图2
(3)为了不浪费原材料，小明把这个矩形铁皮分割成5个矩形铁皮，用其中一个作为底面，其余4个作为侧
面，恰好能焊接成一个无盖长方体铁盒，请画出设计图，并直接写出该铁盒侧面的高.
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资源预览图
