第二章-专题02 解一元二次方程综合（题型专练）2026-2027学年北师大版九年级数学上册
专题02 解一元二次方程综合
（题型突破·举一反三）
题型01 直接开平方法解方程
题型02 配方法解方程
题型03 公式法解方程
题型04 因式分解法解方程
题型05 选用合适方法解方程
题型06 含参或系数带分数/根式的解方程
▌题型01 直接开平方法解方程
- 基础：方程形如
（
时有实根
），
时无实根；或形如
、
的变式。 - 方法：三步
(1) 把方程整理成上述形式之一；
(2) 常数非负则两边开平方，记得±；
(3) 解两个一元一次方程。时，回答无实根
- 思维提醒：不要漏写±或另一个根。
【典例1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）若
，该方程的解为______．
【变式1-1】（2026·河北保定·三模）若分式
的值为0，则x的值为（ ）
A．
B．2 C．
D．没有符合要求的值
【变式1-2】（25-26八年级下·广西崇左·期中）方程
的根是__________．
【变式1-3】（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程
没有实数根，即不存在一
个实数的平方等于
．若我们定义一个新数“
”，使其满足
（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有
，
，例如：
．则
______．
▌题型02 配方法解方程
- 基础：步骤口诀“移—化—加—配—开”
(1) 移常数项到右边；
(2) 二次项系数化为1（若a≠1，两边同÷a）；
(3) 两边加“一次项系数一半的平方”；
(4) 左边写成
，右边合并；
(5) 开平方求解。
- 方法：二次项系数为1时最简。a≠1两边同÷a是考点（易错）。
- 思维提醒：配方法两个高频扣分点：
(1) a≠1时忘记先÷a，
(2) “一次项系数一半的平方”算错，
(3) 配方法本身是重点，初学阶段每步要写全，不要跳。
【典例2】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：
．
【变式2-1】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）将方程
化为
的形式，n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（2026·江苏盐城·三模）设方程
的正根介于整数m与
之间，则
________．
【变式2-3】（2026·河南周口·二模）先化简，再求值：
，其中
满足
且
．
▌题型03 公式法解方程
- 基础：对于一元二次方程
（
为常数，且
），当
时，它的根为：
- 方法：四步
(1) 化为一般式，读（带符号）；
(2) 算
；
(3) 若，代公式；
(4) 化简得两根。是完全平方时，开方后是整数或简单根式，结果可约。
- 思维提醒：公式法是最“万能”但最易算错的方法，失分几乎都在符号和计算。
【典例3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）解方程：
【变式3-1】（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程
的正根介于正整数
与之间，则________．
【变式3-2】（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式3-3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程：
(1)
(2)
▌题型04 因式分解法解方程
- 基础：方程一边为0，另一边能分解⇒降次为两个一次方程。三种分解路径提公因式；公式法（平方差、完全平方）；十字相乘
- 方法：优先顺序：先看能否提公⇒再看能否用平方差/完全平方⇒最后考虑十字相乘。移项使右边为0是前提，这是本题型头号陷阱。