第二章-专题03 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）（题型专练）2026-2027学年北师大版数学九年级上册
专题03 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）
（题型突破·举一反三）
题型01 韦达定理的直接应用
题型02 已知一根，求另一根及参数
题型03 对称式求值
题型04 含参方程的韦达定理应用
▌题型01 韦达定理的直接应用
- 基础：对于一元二次方程
（
为常数，且
），当
（即方程有实数根）时，设它的两根为
，则
，
- 方法：先化为一般式⇒读（带符号）⇒代公式。注意的负号易漏。
- 思维提醒：最高频扣分点两个
(1) 符号读错（尤其c，移项后才定）；
(2) 忘记前有个负号，只有b为负时这个负号才“消掉”。
【典例1】（2026·河北邯郸·二模）已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．无实数根
【变式1-1】（2026·河北石家庄·二模）已知
、
是一元二次方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．-3 B．1 C．
D．
【变式1-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知、是关于x的一元二次方程
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的两个实数根，则
的值为__________．
【变式1-3】（2026·河北唐山·二模）设，是方程
的两个根，则
的值为______．
▌题型02 已知一根，求另一根及参数
- 基础：两根均未知⇒用韦达联立；一根已知⇒两种路径：
(1) 代入法（把已知根代回方程求参，再解求另一根）；
(2) 韦达法（由，直接求另一根，参也可同步求）。
- 方法：首选韦达的“积”：
（当
已知非零）；若给的是和的形式更直接
。含参时两种方法等价，但韦达更快。
【典例2】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程
，其中
为实数．
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为
，求另一个根；
(3)若该方程的一个根大于
，另一个根小于，求的取值范围．
【变式2-1】（2026·江西萍乡·二模）已知一元二次方程
的一个根为
，则它的另一个根是___．
【变式2-2】（2026·山东济宁·二模）关于的一元二次方程
的其中一个根是
，则另一个根
______．
【变式2-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
①方程
是倍根方程；
②若
是倍根方程，则
；
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③若
满足
，则关于的方程
是倍根方程；
④若关于的方程
是倍根方程，则
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
▌题型03 对称式求值
- 基础：常见对称式（关于轮换对称）都可以用
表示：
- 三步走
(1) 由方程读，算S、P；
(2) 把目标式用S、P表示（先变形再代入，别先求根）；
(3) 代S、P计算。
【典例3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）设，是一元二次方程
的两个根，则
（ ）
A．4 B．8 C．24 D．26
【变式3-1】（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程
的两个实数根，若
，则的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．不存在
【变式3-2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知一元二次方程
的两个实根为，，若
，则的取值范围为______．
【变式3-3】（2026·四川眉山·中考真题）若方程
的两个根是，，则
的值为________．
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