31.3 相似三角形的应用（讲义）数学新教材人教版九年级下册
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精品
内容正文：
第三十一章 相似
31.3 相似三角形的应用
题型01 影长问题
典｜例｜精｜析
例1（25-26九年级上·河南洛阳·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至时日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，杆长6尺，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与平台的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为（ ）
A．4尺 B．12尺 C．24尺 D．36尺
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵尺，尺，
∴尺；
故选：C．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为．已知，点P到的距离是，则到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．
【详解】解：设点P到的距离为，则到的距离为．
∴易得，
，
，
，即到的距离为．
【点睛】此题主要考查相似三角形的对应高的比等于相似比．
2．（2023·陕西宝鸡·一模）为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，长为9米，树影为5米，为21米，求树的高．（平面镜大小忽略不计）
【答案】12米
【分析】先利用相似求出小三角形的边长,再利用相似求出大三角形的边长,最后求和即可
【详解】解：如图所示，过点P做，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F，
由平面镜反射定律可知．
∴，
∴．
设，则，．
解得．
又由太阳光线同时刻平行得
∴，即，
∴，
∵，
∴米，
答：树的高为12米．
【点睛】本题考查了相似的判定与性质,找到相似三角形,并证明它们相似,以及利用相似正确运算是关键
3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）小明和小亮想用一些测量工具和所学的数学知识来测量古塔AB的高度．由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面C处放置一个平面镜，在镜子上做了一个标记，小明站在F处时正好在标记处看到古塔顶尖A．此时，测得小明的眼睛距地面的高度米，米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法又进行了一次测量．小明从F点沿方向走了27米，到达古塔影子的末端H点处．此时，测得小明的影长米，小明的身高米．如图，已知，且B、C、F、H、D、M在一条水平直线上，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度．
【答案】48米
【分析】设米，过点作，先证出，根据相似三角形的性质可得米，从而可得米，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：设米，
如图，过点作，
由反射角等于入射角得：，
，
，
，
，
，即，
解得（米），
米，
米，
由题意得：，
，
，
，即，
解得（米），
答：古塔的高度为48米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
题型02 河宽问题
利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据相似三角形的对应边成比例，求出物体的宽度.
典｜例｜精｜析
例2（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员先观察到在对岸岸边点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条与河岸垂直的直线上，随后确定点和点，使，，点为与的交点．他们测得，，，从而确定河宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
由得，再根据相似三角形中对应边成比例的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，，，
，
．
故选：．
变｜式｜巩｜固
1．（22-23九年级上·吉林白山·期末）为测量河宽，康康采用如下方法：如图，从点A出发沿垂直于的方向前行45米到达点C，继续沿相同方向前行15米到达点D，再沿垂直于的方向前行到达点E，使B，C，E三点共线．已知米，则河宽______m．
【答案】60
【分析】由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵米，
∴；
故答案为60．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2025·安徽·一模）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等．
【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有，两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树与树之间的距离呢？
乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，，．
【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出，两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点，，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度．
（2）丙同学需要利用的______值（填“”“”或“”），先求出长，由和的长度，再利用______三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度．
【答案】（1）35m；（2）；相似
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，
（1）作，根据等腰直角三角形的性质可得，再说明四边形为矩形，可得，，进而得出，然后根据，结合得出答案；
（2）先根据余弦求出，进而求出，再说明，可得答案．
【详解】解：（1）过点作于点．
∵，，
∴．
∴四边形为矩形，
∴，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
答：树A与树B之间的距离约为35m；
（2）cos；相似．
在中，，
∴,
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：，相似．
题型03 杠杆测量问题
典｜例｜精｜析
例3（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小明利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的长为1.2米，测得米，米．则楼高是__________米．
【答案】7.5//
【分析】根据题意可求出米．又易证，即得出，代入数据即可求出CD的长．
【详解】∵米，米，
∴米．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴米．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用．根据题意得出是解题关键．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·河南南阳·三模）如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑高度的方案如下（图中所有点均在同一平面内）：他们在距点B水平距离处立一高度为的标杆，后退在点F处望见E、C、A三点共线，，则高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点E作于点N，交于点M，则四边形和四边形均为矩形，得，，，即得，进而由得，代入计算求出即可求解，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点E作于点N，交于点M，
，
则，，
∴四边形和四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
即的高度约为
故选：B．
2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他在距离教学楼的点A处（即）竖立一根高为的标杆（即），此时地面上的点C、标杆顶点B和条幅顶点G在一条直线上，然后小亮从点A处向教学楼条幅方向移动到达点D处（即），在点D的正上方点E处用测角仪测得，用皮尺测得，．已知，，，，点C、A、D、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据帮助小亮计算条幅的长度．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的判定和性质，30度角直角三角形的性质，勾股定理．
根据平行线分线段成比例求出，证明四边形是矩形，可知，，根据30度角的性质设，，根据勾股定理求出，即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
设，则，
∴，
即，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
3．（24-25九年级上·山西长治·期中）研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据．
数据采集：如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米．
数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离．
【答案】米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据题意可求出米，设，则（米），（米），证明，可得，证明，可得到，再列方程求出，即可求解．
【详解】解：由题意知，米，米，米，米，
米，
设，则（米），（米），
，，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，即，
，
，
解得：，
米．
题型04 利用镜子进行测量
典｜例｜精｜析
例4（22-23九年级上·贵州铜仁·期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得，，如果小明眼睛距地面高度，则楼的高度为（ ）
A．18米 B．24米 C．32米 D．36米
【答案】C
【分析】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出平行，再根据平行线分线段成比例即可解答．
【详解】解：设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，
由题意可知且、，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
答：楼的高度为米．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）【学科融合】如图，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律．
【问题解决】如图，小波和小海很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小波在处放置一平面镜，他从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小波眼睛到地面的距离为米；然后，小波沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得雕像的顶端的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于（光的反射角等于入射角）．
(1)求证：；
(2)求雕像的高度．
【答案】(1)
证明：如图，作出法线，则，，
∴，
∴，
即，
∵、均垂直于，
∴，
∴；
(2)米．
【分析】（）如图，作出法线，可得，即可证明；
（）由题意可得四边形、、都为矩形，即得米，米，，又由可得为等腰直角三角形，可得，进而得，设米，则米，米，由得，求出即可求解；
本题考查了相似三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）解：∵、、均垂直于，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形、、都为矩形，
∴米，米，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
设米，则米，米，
∵，
∴，
即，
解得，
∴米，
答：雕像的高度为米．
2．（24-25九年级上·四川成都·期中）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
(1)甲生的方案：如图①，根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表．如果大视力表中“E”的高是，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理与性质，可以根据平行线得到相似三角形进行解答．
（1）根据平行，可以得到，结合相似三角形对应边成比例，即可得到的长度；
（2）作，垂足为，并延长交于，根据平行，可得，结合相似三角形对应边上的高的比等于相似比，可得，由此便可以得到的长度，解答本题．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
答：小视力表中相应“E”的长是；
（2）解：作，垂足为D，并延长交于E，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴（米），
∴镜长至少为米．
题型05 杠杆问题
典｜例｜精｜析
例5（2024九年级·全国·竞赛）如图，用一根杠杆撬一块石头，当用力向下压杠杆的端点时，杠杆便绕支点转动，另一端点就向上抬起，从而撬动石头．已知动力臂与阻力臂的长度之比为，如果端点向上翘起才能使石头滚动，那么至少要将端点向下压（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先作出图形，证明，从而可得答案．
【详解】解：如图：、都与水平线垂直，即；
则，
∵杠杆的动力臂与阻力臂之比为，
即；
∴当时，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压，
故选：C．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则和的周长之比为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质．
根据题意易得，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长∶的周长，
故答案为：．
2．（26-27九年级上·上海奉贤·期中）如图是杠杆示意图，支点为，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力___N．
【答案】
【分析】先证，可得，即．由，可得．
【详解】解： 动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直
，即
，
3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离．
【答案】支点到地面的高度为为
【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：依题意得：
，，
，
，
，
又，，
，
，
同理可证：
，
，
，
答：支点到地面的高度为为．
题型06 实验问题
典｜例｜精｜析
例6（26-27九年级上·广东深圳·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比，
∴，
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（ ）
A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米
【答案】C
【分析】过点O分别作于点E，延长交于点F，推导出，继而得出，得到，即可解答．
【详解】解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
∴物体的高度为．
2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，即，
∴；
又，，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴．
故选：C．
3．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为__________ ．
如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反
电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：．
题型07 九章算术问题
典｜例｜精｜析
例7（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法：如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观测井水水面D，视线与井口的直径交于点E，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】首先证明，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解．
【详解】解：由题意得：，，
，
∵
，
．
米，
，
解得 米．
变｜式｜巩｜固
1．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键．
设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论．
【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示，
根据题意，，，，，，
，
，
，
，
故选：D．
2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池中，东西城墙长7里，南北城墙长9里，南门点，东门点分别位于，的中点处，，，经过点，里，则的长是（ ）
A．2.15里 B．2.05里 C．1.05里 D．0.95里
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用．证明，运用相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵，
∴，
∴（垂直于同一直线的两直线平行）
∴（两直线平行同位角相等）
∴，
∴，
∴(里)．
故选：C．
3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）《九章算术》中有这样一道题：如图，今有山位于树的西面，山高为未知数，山与树相距72米，树高11.5米，人站在离树3米的地方EF处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地1.5米，求山的高（保留到整数）
【答案】山的高为252米
【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
先求出各线段的长，然后根据，得出，求出的长，从而求出即可．
【详解】解：由题意及图，得
，，
∴，，
∴，
解得，
∴(米)．
答：山的高为252米．
题型08 灯光下的测量问题
典｜例｜精｜析
例8（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质．
如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可．
【详解】解：如图，为路灯的高，设，
∵，
∴，
∴，即①，
∵，
∴，
∴，即②，
由①②得即，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
即：标杆的影长为．
故选C．
变｜式｜巩｜固
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在水平地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在射段上，，三点共线）．若两人的身高均为，他们相距，灯光下的影子长分别为和，则灯泡的高度为__________________m．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，
，，，
，
，，
，，
，，，，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离．
【答案】路灯距水平地面的距离为．
【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
答：路灯距水平地面的距离为．
3．（26-27九年级上·山东青岛·期中）小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
【答案】路灯的高度为
【分析】设，，先证明，进而可得x、y的关系式，再同理证明，又可以得到一个新的关于x、y的关系式，问题随之得解．
【详解】解：设，，根据题意有：，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
同理可证明：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得：，
答：路灯的高度为．
题型09 裁剪问题
典｜例｜精｜析
例9（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．设剪得正方形纸条是第张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
【详解】解：字母标注如图，
由题意可知，，，，
设剪得正方形纸条是第张，
，
，
，
，
解得：，
即剪得正方形纸条是第张，
故选：C．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米．
【答案】8
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答．
【详解】解：如图，在正方形中，（分米），
由此裁剪可得，和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即（分米），
（分米），
正方体礼品盒的棱长为2分米，
礼品盒的体积为（立方分米）．
故答案为：8．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在一块三角形钢板中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当三角形的面积最大时，的长为______．
【答案】3
【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式、二次函数的图象性质是解题的关键．
过点作交于点，交于点，根据相似三角形的判定与性质得，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出的长，设，则，根据三角形面积公式将的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的图象性质，确定当的面积最大时对应的值，进而求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，
∵，
∴∽，∽，
，，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
当时，最大，
故答案为：
3．（22-23九年级上·山东济南·期末）有一块直角三角形的纸片，，如图方式裁剪，可以剪下4个全等的长，宽的矩形，那么，的边的长是___________．
【答案】
【分析】根据矩形和全等的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据相似三角形性质得到答案．
【详解】
解：如图，图中的矩形是全等的长，宽的矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
延长交于，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
题型10 三角形内接矩形问题
典｜例｜精｜析
例10（20-21九年级上·江苏无锡·期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是
A．① B．② C．一样大 D．无法判断
【答案】A
【分析】分别利用平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质求出两个正方形的边长，然后利用正方形的面积公式求出面积，然后进行比较即可．
【详解】解：由长为，的面积为，可得，
如图①，设加工桌面的边长为，
，
，
即，
解得：；
如图②，设加工桌面的边长为，
过点作，分别交、于点、，
，，
，
的面积为，
，
，
，
，
即，
解得：，
，，
，
即，
故选：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·北京昌平·期中）有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________．
【答案】
【分析】 图1中，利用正方形对边平行得出相似三角形，通过对应边成比例列方程求解；图2中，先利用勾股定理和面积法求出斜边及斜边上的高，再利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解．
【详解】解：图1：设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，，
，
解得；
图2：设正方形的边长为，
如图，过点作于点，交于点，
可知四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
解得；
综上，图1、图2中正方形桌面的边长分别为、．
2．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E．
(1)当点P恰好为中点时，___________
(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度．
（1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案；
（2）设正方形的边长为 ，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可；
（3）过点作于，交于，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
∴，，
∴，
，
为中点，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：四边形为正方形，
∴，，
设正方形的边长为，则，
∵，
∴，
，
，
解得，
∴这个零件的边长为；
（3）解：过点作于，交于，如图所示：
同理可证，，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积为．
3．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践．
一块材料的形状是锐角三角形，边，高．
【特例初探】
（1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？
【迁移运用】
（2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？
【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是
【分析】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答；
（2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【详解】解：（1）设正方形的边长为，
则，
∵四边形是正方形，
，即，
，
，即，
解得：，
加工成的正方形零件的边长是；
（2）设，
四边形是矩形，
，即，，
，，
，即，
，
矩形面积，
当时，此时最大，最大值为2400，
∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是．
题型11 实物抽象相似问题
典｜例｜精｜析
例11（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践：
某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题
探究晒衣架的相关问题
活动过程
模型抽象
小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上，现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且．
数据信息
过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)连接，求证：；
(2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)小红的连衣裙不会碰到地面，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵，
∴小红的连衣裙不会碰到地面．
【分析】（1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证；
（2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可．
【详解】（1）略
（2）略
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级下·山东济宁·期末）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度．
【答案】
【分析】延长交于点 H，则四边形是矩形，可得，，，根据四边形是矩形，得到，再根据勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质列方程可得，最后根据即可解答．
【详解】解： 如图：延长交于点 H，则四边形是矩形，
∴ ，，，
四边形是矩形，
，
，即，
在中，
又∵，
∴，
∴，
，即 ，
，
．
2．（22-23九年级下·全国·期中）如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图．求图②中水面的高度．
【答案】米
【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，证明得到比例线段求得结果即可．
【详解】解：如图过点作于，则，
设米，则米，
根据题意得：，
解得：，
米，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
（米），
答：水面的高度为米．
3．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）．
测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为．
问题解决：
(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）；
(2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积；
(3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）；
②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）
【答案】(1)如图所示：
盲区长度为；
(2)如图所示
；
(3)①减小；②增大
【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解；
（2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）结合（1）（2）求解即可．
【详解】（1）解：图略
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴盲区长度为；
（2）解：图略
作于，交于，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴（平方米）；
（3）解：①∵，即，
∴，
当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小；
②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变，
∴视野盲区面积会增大．
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第三十一章 相似
31.3 相似三角形的应用
题型01 影长问题
典｜例｜精｜析
例1（25-26九年级上·河南洛阳·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至时日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，杆长6尺，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与平台的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为（ ）
A．4尺 B．12尺 C．24尺 D．36尺
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为．已知，点P到的距离是，则到的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西宝鸡·一模）为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，长为9米，树影为5米，为21米，求树的高．（平面镜大小忽略不计）
3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）小明和小亮想用一些测量工具和所学的数学知识来测量古塔AB的高度．由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面C处放置一个平面镜，在镜子上做了一个标记，小明站在F处时正好在标记处看到古塔顶尖A．此时，测得小明的眼睛距地面的高度米，米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法又进行了一次测量．小明从F点沿方向走了27米，到达古塔影子的末端H点处．此时，测得小明的影长米，小明的身高米．如图，已知，且B、C、F、H、D、M在一条水平直线上，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度．
题型02 河宽问题
利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据相似三角形的对应边成比例，求出物体的宽度.
典｜例｜精｜析
例2（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员先观察到在对岸岸边点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条与河岸垂直的直线上，随后确定点和点，使，，点为与的交点．他们测得，，，从而确定河宽为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（22-23九年级上·吉林白山·期末）为测量河宽，康康采用如下方法：如图，从点A出发沿垂直于的方向前行45米到达点C，继续沿相同方向前行15米到达点D，再沿垂直于的方向前行到达点E，使B，C，E三点共线．已知米，则河宽______m．
2．（2025·安徽·一模）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等．
【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有，两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树与树之间的距离呢？
乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，，．
【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出，两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点，，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度．
（2）丙同学需要利用的______值（填“”“”或“”），先求出长，由和的长度，再利用______三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度．
题型03 杠杆测量问题
典｜例｜精｜析
例3（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小明利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的长为1.2米，测得米，米．则楼高是__________米．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·河南南阳·三模）如图，某数学兴趣小组测量南阳解放纪念碑高度的方案如下（图中所有点均在同一平面内）：他们在距点B水平距离处立一高度为的标杆，后退在点F处望见E、C、A三点共线，，则高度约为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他在距离教学楼的点A处（即）竖立一根高为的标杆（即），此时地面上的点C、标杆顶点B和条幅顶点G在一条直线上，然后小亮从点A处向教学楼条幅方向移动到达点D处（即），在点D的正上方点E处用测角仪测得，用皮尺测得，．已知，，，，点C、A、D、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据帮助小亮计算条幅的长度．（结果保留根号）
3．（24-25九年级上·山西长治·期中）研学实践：“秋风楼”位于后土祠正殿后（位于古河东郡汾阴县，即今山西省万荣县西南），因楼上藏有汉武帝刘彻《秋风辞》碑而得名．因黄河淹没，曾于清代康熙、同治年间重修，现存建筑于同治九年（公元年）重建．某校组织研学活动，同学们来到秋风楼的所在地，利用测量工具等采集了秋风楼的相关数据．
数据采集：如图，是秋风楼顶部的一点，的长表示点到地面的距离，小康把长为米的标杆垂直立于地面点处，当秋风楼顶部和标杆的端点确定的直线交直线于点时，米；将标杆沿着的方向平移到点处，当秋风楼顶部和标杆的顶端确定的直线交直线于点时，测得米，米．
数据应用：已知图中各点都在同一平面内，根据上述数据，计算秋风楼顶部到地面的距离．
题型04 利用镜子进行测量
典｜例｜精｜析
例4（22-23九年级上·贵州铜仁·期中）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得，，如果小明眼睛距地面高度，则楼的高度为（ ）
A．18米 B．24米 C．32米 D．36米
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）【学科融合】如图，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律．
【问题解决】如图，小波和小海很想知道学校教学楼前雕像的高度（含底座），于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，小波在处放置一平面镜，他从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到雕像顶端的像，此时测得小波眼睛到地面的距离为米；然后，小波沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得雕像的顶端的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于（光的反射角等于入射角）．
(1)求证：；
(2)求雕像的高度．
2．（24-25九年级上·四川成都·期中）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
(1)甲生的方案：如图①，根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表．如果大视力表中“E”的高是，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
题型05 杠杆问题
典｜例｜精｜析
例5（2024九年级·全国·竞赛）如图，用一根杠杆撬一块石头，当用力向下压杠杆的端点时，杠杆便绕支点转动，另一端点就向上抬起，从而撬动石头．已知动力臂与阻力臂的长度之比为，如果端点向上翘起才能使石头滚动，那么至少要将端点向下压（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则和的周长之比为________．
2．（26-27九年级上·上海奉贤·期中）如图是杠杆示意图，支点为，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力___N．
3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离．
题型06 实验问题
典｜例｜精｜析
例6（26-27九年级上·广东深圳·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（ ）
A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米
2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为__________ ．
如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反
电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边
题型07 九章算术问题
典｜例｜精｜析
例7（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法：如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观测井水水面D，视线与井口的直径交于点E，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
变｜式｜巩｜固
1．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）《九章算术》中有一测量问题：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？译文为：如图，在矩形城池中，东西城墙长7里，南北城墙长9里，南门点，东门点分别位于，的中点处，，，经过点，里，则的长是（ ）
A．2.15里 B．2.05里 C．1.05里 D．0.95里
3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）《九章算术》中有这样一道题：如图，今有山位于树的西面，山高为未知数，山与树相距72米，树高11.5米，人站在离树3米的地方EF处，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地1.5米，求山的高（保留到整数）
题型08 灯光下的测量问题
典｜例｜精｜析
例8（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在水平地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在射段上，，三点共线）．若两人的身高均为，他们相距，灯光下的影子长分别为和，则灯泡的高度为__________________m．
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离．
3．（26-27九年级上·山东青岛·期中）小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
题型09 裁剪问题
典｜例｜精｜析
例9（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 _____立方分米．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在一块三角形钢板中裁出一个面积最大的三角形，裁剪方案如图所示，顶点在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当三角形的面积最大时，的长为______．
3．（22-23九年级上·山东济南·期末）有一块直角三角形的纸片，，如图方式裁剪，可以剪下4个全等的长，宽的矩形，那么，的边的长是___________．
题型10 三角形内接矩形问题
典｜例｜精｜析
例10（20-21九年级上·江苏无锡·期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是
A．① B．② C．一样大 D．无法判断
变｜式｜巩｜固
1．（26-27九年级上·北京昌平·期中）有一块直角三角形木板，，，，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图、图所示．则图、图中正方形桌面的边长分别为________、________．
2．（24-25九年级上·山东济南·阶段检测）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E．
(1)当点P恰好为中点时，___________
(2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积．
3．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）综合与实践．
一块材料的形状是锐角三角形，边，高．
【特例初探】
（1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？
【迁移运用】
（2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？
题型11 实物抽象相似问题
典｜例｜精｜析
例11（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践：
某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题
探究晒衣架的相关问题
活动过程
模型抽象
小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上，现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且．
数据信息
过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)连接，求证：；
(2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级下·山东济宁·期末）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度．
2．（22-23九年级下·全国·期中）如图①，将长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图．求图②中水面的高度．
3．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）．
测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为．
问题解决：(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）；
(2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积；
(3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）；
②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）
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