31.4 位似（第1课时） 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学下册

31.4　位似（第1课时）

一、教学内容解析

本节课选自人民教育出版社《数学》九年级下册第三十一章“相似”的31.4位似（第1课时），是在学生学习了图形的相似、相似三角形的判定与性质以及相似三角形的应用之后，进一步研究的又一种重要的图形变换。位似是特殊的相似，它把图形的放大与缩小问题转化为对应点连线的问题，是相似知识在生产生活中的直接应用，也为后续学习投影与视图等内容奠定基础。

教材通过观察生活中图形的放大与缩小实例，抽象出位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比。位似沟通了相似与图形变换之间的联系，利用位似可以把一个图形放大或缩小，其中蕴含的类比、归纳等思想方法都是数学学习中重要的思想方法。

基于以上分析，确定本课时的教学重点为：位似图形的概念、位似图形的性质及其简单应用。

二、教学目标设置

1.能结合实例理解位似图形的概念，会判断两个图形是否位似，并能指出位似中心与位似比。

2.经历“观察—猜想—验证—归纳”探究位似图形性质的过程，会利用位似进行简单的计算，会按要求画出一个图形的位似图形，发展几何直观和推理能力。

3.在用位似解决实际问题的过程中，体会数学与生活的联系，感受图形变换之美，发展抽象能力和应用意识。

三、学生学情分析

1.学生已经系统学习了相似三角形的判定与性质，会运用相似解决简单的实际问题，并且经历过平移、轴对称、旋转等图形变换的学习，具备了研究图形与变换的基本活动经验，这为本节课学习位似提供了知识与方法上的支撑。

2.九年级学生具备一定的观察、归纳和动手操作能力，但容易把“相似”与“位似”混为一谈，对“每组对应点所在的直线都经过同一个点”这一本质特征的理解存在困难；画位似图形时，对位似中心与对应点位置的确定也容易出错。

3.基于上述分析，确定本课时的教学难点为：位似与相似的区别与联系；画已知图形的位似图形时对应点的准确确定。为了突破难点，教学中借助真实情境与动手操作，让学生在画图、测量、比较中自己发现规律，把抽象的概念具体化。

四、教学策略分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，图形与几何的教学要引导学生经历图形的变化过程，发展空间观念和几何直观。据此，本课时采用“情境—探究—应用”的问题驱动式教学策略，以问题串引领课堂，实施“教—学—评”一体化，突出学生的主体地位。

在“教”的方面，通过真实情境引出位似问题，用问题2、问题3搭建探究台阶，引导学生经历从具体实例中抽象概念、从操作测量中归纳性质的全过程；借助几何画板动态演示，帮助学生直观理解对应点连线经过同一位似中心的结构特征。

在“学”的方面，安排判断、计算、画图等多种形式的数学活动，让学生在独立思考与小组合作中主动获取知识；通过追问“把对应点画在位似中心的另一侧会怎样”，暴露学生思维过程，培养辩证思维。

在“评”的方面，坚持边学边评：概念辨析环节即时问答评价，例题与练习环节采用学生展示、生生互评与教师点评相结合，课后作业分层布置并及时反馈，实现以评促学、以评促教。

五、教学过程

环节一　情境导入

2026年春，某市在城市更新项目中启用测绘无人机对老街区进行航拍，建立实景三维数字模型，模型与真实街区的形状完全相同、大小可以按需缩放。再如同学们用手机把照片放大查看细节，放大前后的两张图片形状相同、大小不同。

问题1：观察放大后的图片与原图，它们之间是什么关系？放大后图片上的任意一点，与原图上的对应点之间，连线有什么位置规律？

【设计意图】以2026年城市更新中无人机航拍建模的真实情境引入，贴近时代与学生生活，唤起相似的学习经验，同时制造新的认知冲突——形状相同只是相似的特征，对应点连线的位置规律才是新问题，为位似概念的提出做好铺垫。

环节二　探究新知

问题2：在两个相似的三角形中，如果直线AA′、BB′、CC′相交于同一个点O，这样的两个三角形与一般的相似三角形相比，特殊在哪里？由此你能给这样的两个图形下个定义吗？

预设：相似三角形只要求对应边成比例、对应角相等，对应点连线没有位置要求；而这里的每两组对应点的连线都经过同一个点。师生共同概括：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

即时判断：（1）位似图形一定是相似图形；（2）相似图形一定是位似图形。这两句话正确吗？

参考答案：（1）正确，因为位似图形首先必须是相似图形；（2）错误，相似图形的对应点连线不一定经过同一个点，例如两个全等的三角形平移后，对应点连线互相平行，没有公共交点。

【设计意图】通过与一般相似的对比辨析，帮助学生抓住“对应点连线共点”这一位似的本质特征，即时判断暴露易错点，突破“位似与相似的区别与联系”这一教学难点。

问题3：位似图形的对应点之间，除了连线经过位似中心，点到中心的距离之间还有什么数量关系？请动手测量验证你的猜想。

活动：学生在纸上画出位似中心为O的两个位似三角形，测量各对应点到O的距离并计算比值，小组交流后汇报。归纳性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比。

【设计意图】通过“猜想—测量—验证—归纳”的完整探究过程，让学生自己发现位似的性质，积累数学活动经验，发展几何直观与推理能力，突出本课时的教学重点。

环节三　例题精讲

例1　已知△ABC与△A′B′C′相似，直线AA′、BB′、CC′都经过点O，且OA′=8 cm，OA=4 cm，OB′=6 cm，OB=3 cm，OC′=10 cm，OC=5 cm。求证：△ABC与△A′B′C′位似，并求相似比。

解答：证明：因为直线AA′、BB′、CC′都经过点O，即每组对应点所在的直线都经过同一个点，又△ABC与△A′B′C′相似，所以△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心。由OA′=8 cm，OA=4 cm，得OA′∶OA=8∶4=2∶1，验证OB′∶OB=6∶3=2∶1，OC′∶OC=10∶5=2∶1，所以相似比为2∶1。

例2　已知点O是位似中心，△ABC与△A′B′C′位似，OA=4 cm，OA′=10 cm，AB=5 cm，求A′B′的长。

解答：解：因为位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比，所以相似比为OA′∶OA=10∶4=5∶2。所以A′B′∶AB=5∶2，A′B′=5×5÷2=12.5（cm），即A′B′的长为12.5 cm。