31.4 位似（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 31.4 位似 知识点一 位似图形 1. 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 2. 常见的位似图形： 3. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 4. 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 即学即练 1．（26-27九年级上·河南平顶山·期中）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一直线上 C． D． 2．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（     ） A． B． C．2 D． 3．（26-27九年级上·贵州·期中）下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B．C． D． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 知识点二 位似的坐标变换 1. 位似的坐标变换：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 2. 位似图形的画法 一般步骤：1）确定位似中心. 2）分别连接位似中心和原图关键点，并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 即学即练 1．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段，则端点和的坐标分别为（     ）. A．， B．， C．， D．， 3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）的顶点A的坐标是，以原点O为位似中心，按的相似比放大得到，求出点A的对应点的坐标为________ 4．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (2)直接写出点的坐标_______；与的周长比是_______；与的面积比是_______； 题型01 位似图形的识别 识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形. 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级·全国·暑假作业）下列图形中，不是位似图形的是（    ） A．B．C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 2．（26-27九年级·浙江·暑假作业）下列图形中，不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 3．（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 题型02 判断位似中心 寻找位似中心时需要将各顶点进行连线，网格中可以依靠画图并结合几何关系的方法寻找交点. 典｜例｜精｜析 例2（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 3．（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 题型03 求两个位似图形的相似比 典｜例｜精｜析 例3（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·四川·期中）如图，五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 题型04 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典｜例｜精｜析 例4（26-27九年级上·广东茂名·期末）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请利用无刻度的直尺画出． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形，以点O为位似中心画四边形，使它与四边形位似，且相似比为2． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形．按下列要求分别画出它的一个位似四边形，且使新四边形与原四边形的位似比． (1)位似中心在四边形的外部． (2)位似中心在四边形的内部． (3)位似中心在四边形的一个顶点上． 题型05 在网格中画位似图形 画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形. 注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 典｜例｜精｜析 例5（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为 (1)以原点O为位似中心，把四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形（要求四边形与四边形位于点O同侧），并写出点的坐标； (2)求出四边形的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得，且点位于第一象限，在图中画出（点A、B、C的对应点分别是点、、）； (2)直接写出点、的坐标． 2．（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出以原点O为位似中心，将在第二象限内放大2倍的； (2)若内部有一点，则点P在内部的对应点的坐标为________； (3)与的面积比是________． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘． (1)画出以所得四个点为顶点的四边形． (2)四边形与四边形位似中心的坐标为________，其相似比为________； (3)已知四边形与四边形位似，位似中心是原点，且四边形的面积等于四边形面积的，则点的坐标为________． 题型06 在坐标系中画位似中心 典｜例｜精｜析 例6（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（   ） A．点A B．点N C．点O D．点P 2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 题型07 求位似图形的对应坐标 求位似变换后对应点的坐标时，若题目未指明放大或缩小后的图形与原图形在位似中心异侧还是同侧，则应将两种情况的坐标都写出. 典｜例｜精｜析 例7（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 2．（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________． 题型08 利用位似的性质求线段长 典｜例｜精｜析 例8（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 3．（2026·海南·三模）如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型09 利用位似的性质求面积、周长 位似三角形是特殊的相似三角形，所以在确定位似中心和相似比后的解题方法和相似三角形基本一致，要找准对应关系. 典｜例｜精｜析 例9（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积等于8，则的面积为______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为______． 2．（2024·四川凉山·二模）如图，与，点为位似中心，位似比为2：3．若的周长和面积都是4，则的周长是______，面积是______． 3．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________． 题型10 与位似有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 例10（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是__________． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 31.4 位似 知识点一 位似图形 1. 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 2. 常见的位似图形： 3. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 4. 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 即学即练 1．（26-27九年级上·河南平顶山·期中）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一直线上，， ，即， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 2．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：∵与位似，且， ∴与的面积比为. 3．（26-27九年级上·贵州·期中）下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ， ， 的周长为， ∴． 知识点二 位似的坐标变换 1. 位似的坐标变换：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 2. 位似图形的画法 一般步骤：1）确定位似中心. 2）分别连接位似中心和原图关键点，并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 即学即练 1．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且．若点C的坐标为，则点F的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用位似图形的性质确定位似比，根据图形位置关系确定坐标变换规律． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴位似比为； ∵由图可知，点F与点C在位似中心O的两侧， ∴ 点F的横坐标为，纵坐标为， ∴点F的坐标为． 2．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段，则端点和的坐标分别为（     ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据线段与线段是以原点为位似中心的位似图形，位似比为，再根据点、点的坐标计算即可得点和的坐标. 【详解】解：如图， 根据题意得：线段与线段是以原点为位似中心的位似图形，位似比为， ∵，， ∴点和的坐标分别为，. 3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）的顶点A的坐标是，以原点O为位似中心，按的相似比放大得到，求出点A的对应点的坐标为________ 【答案】或 【分析】以原点为位似中心的位似变换中，对应点存在与原图形同侧、异侧两种位置关系，需结合相似比分别计算，避免漏解． 【详解】解：∵ 位似中心为坐标原点，原图形与放大后图形的相似比为，即放大后图形的对应边长为原图形的倍． ∴ 点的对应点的坐标分两种情况． 当与点在原点同侧时，坐标为原坐标乘以． 代入，得的坐标为． 当与点在原点异侧时，坐标为原坐标乘以． 代入，得的坐标为． 4．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (2)直接写出点的坐标_______；与的周长比是_______；与的面积比是_______； 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为． 题型01 位似图形的识别 识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形. 典｜例｜精｜析 例1（26-27九年级·全国·暑假作业）下列图形中，不是位似图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是位似图形，故本选项不符合题意； B、是位似图形，故本选项不符合题意； C、是位似图形，故本选项不符合题意； D、不是位似图形，故本选项符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 【答案】B 【分析】放大镜观察三角形时，相当于进行相似变换，相似变换中三角形的内角大小保持不变，而周长、面积和各边长度都会按比例变化．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】放大镜观察相当于相似变换， 三角形的形状不变，内角大小不变， 但各边长度、周长和面积都会按比例放大或缩小，故选项错误； 一定不发生变化的是三角形的内角大小，故选项B正确； 故选：B． 2．（26-27九年级·浙江·暑假作业）下列图形中，不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 3．（2026·四川成都·一模）从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 题型02 判断位似中心 寻找位似中心时需要将各顶点进行连线，网格中可以依靠画图并结合几何关系的方法寻找交点. 典｜例｜精｜析 例2（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 3．（26-27九年级上·江西·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 题型03 求两个位似图形的相似比 典｜例｜精｜析 例3（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·四川·期中）如图，五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的定义和相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，， 五边形五边形， ， ， ， ． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【答案】D 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且周长比为， ∴由图形位似的性质可得： ，且相似比为， 如图与交于点， ∴点为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： 与的面积比为 故选： ． 【点睛】 3．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 题型04 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 典｜例｜精｜析 例4（26-27九年级上·广东茂名·期末）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请利用无刻度的直尺画出． 【答案】如图，即为所求， 【分析】位似图形对应顶点与位似中心在同一条直线上，到位似中心的距离之比等于位似比．用直尺先连线延长，再按倍长度找到对应格点，最后连线成三角形． 【详解】解：图见答案． 作图思路：用直尺作射线、、； 在射线上取点，使； 在射线上取点，使； 在射线上取点，使； 顺次连接、、，即为所求． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在的网格图中，点O和的顶点均为格点。以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且相似比为． 【答案】 【详解】略 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形，以点O为位似中心画四边形，使它与四边形位似，且相似比为2． 【答案】如图，四边形即为所作： 【分析】根据位似的性质作图即可． 【详解】略 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形．按下列要求分别画出它的一个位似四边形，且使新四边形与原四边形的位似比． (1)位似中心在四边形的外部． (2)位似中心在四边形的内部． (3)位似中心在四边形的一个顶点上． 【答案】(1)解：由题意，作图如下（答案不唯一）： (2)解：由题意，作图如下（答案不唯一）： (3)解：由题意，作图如下（答案不唯一）： 【分析】根据位似图形的性质，按要求画图即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型05 在网格中画位似图形 画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形. 注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 典｜例｜精｜析 例5（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为 (1)以原点O为位似中心，把四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形（要求四边形与四边形位于点O同侧），并写出点的坐标； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)解：如图，四边形即为所求； ； (2)14 【分析】（1）根据位似图形的性质，画出图形，进而写出点的坐标即可； （2）分隔法求出四边形的面积即可. 【详解】（1）略 （2）解：四边形的面积为. 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得，且点位于第一象限，在图中画出（点A、B、C的对应点分别是点、、）； (2)直接写出点、的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求． (2)点、的坐标分别为和 【详解】（1）略 （2）解：点、的坐标分别为和． 2．（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出以原点O为位似中心，将在第二象限内放大2倍的； (2)若内部有一点，则点P在内部的对应点的坐标为________； (3)与的面积比是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）把点A，B，C的横坐标分别乘以可得它们的对应点，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：点P在内部的对应点的坐标为； （3）解：∵放大2倍得到 ∴和的相似比为 ∴与的面积比是． 3．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘． (1)画出以所得四个点为顶点的四边形． (2)四边形与四边形位似中心的坐标为________，其相似比为________； (3)已知四边形与四边形位似，位似中心是原点，且四边形的面积等于四边形面积的，则点的坐标为________． 【答案】(1) (2)； (3)或． 【分析】（1）先写出各点坐标，然后再写出各点坐标，然后连线即可． （2）连接，，，可知连线经过原点，判断位似中心和相似比即可． （3）设相似比为k，则，即，然后根据的坐标分情况求解即可． 【详解】（1）解：根据直角坐标系可知：，，，， 将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘． 则，，，， 画图略； （2）解：连接，，，可知连线经过原点， 故四边形与四边形位似中心的坐标为，其相似比为． （3）解：∵四边形与四边形位似，位似中心是原点，且四边形的面积等于四边形面积的， 设相似比为k， 则， ∴， ∵， 当时，则， 当时，则， 综上：或． 题型06 在坐标系中画位似中心 典｜例｜精｜析 例6（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点G，确定位似中心，然后求出坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（   ） A．点A B．点N C．点O D．点P 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，交于点P，根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接，交于点P， 则点P为位似中心． 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 【答案】 【分析】 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 连接，交于，根据位似中心的概念得到点为位似中心，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到点的坐标． 【详解】 解：如图，连接，交于，则点为位似中心， 由题意可知：，，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴位似中心点的坐标为， 故答案为：． 题型07 求位似图形的对应坐标 求位似变换后对应点的坐标时，若题目未指明放大或缩小后的图形与原图形在位似中心异侧还是同侧，则应将两种情况的坐标都写出. 典｜例｜精｜析 例7（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，与是第一象限内以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与以原点为位似中心，以及，得出位似比为，再结合点A的坐标为，点D在第一象限，进而求出点D的坐标． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与位似比为， ∵点A的坐标为，点D在第一象限， ∴点D的坐标是，即． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小． ∴ 点的对应点的坐标为或． 即或． 2．（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，设，用坐标表示出相关的线段，根据位似，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E， ， ∴， ∴， ∵以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， ∴， 解得， 故． 3．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点．，都与轴平行，点，，均在轴上，点，均在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，都与轴平行，点，均在轴上．点的坐标是，点的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 题型08 利用位似的性质求线段长 典｜例｜精｜析 例8（26-27九年级上·广西贵港·期中）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·山西朔州·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质列方程求解即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形， ， ，， ， ． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入已知线段长即可求出． 【详解】解：与的周长比为， 与的位似比为， ， ， ． 3．（2026·海南·三模）如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比（位似比），根据相似比计算即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，， ∴，， ∴与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型09 利用位似的性质求面积、周长 位似三角形是特殊的相似三角形，所以在确定位似中心和相似比后的解题方法和相似三角形基本一致，要找准对应关系. 典｜例｜精｜析 例9（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积等于8，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于8， ∴的面积为． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若两个三角形是位似图形，且它们的面积比为1：9，它们的周长比为______． 【答案】1:3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的． 相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方． 【详解】已知两个相似三角形的面积比为1: 9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1: 3， 故答案为1: 3． 2．（2024·四川凉山·二模）如图，与，点为位似中心，位似比为2：3．若的周长和面积都是4，则的周长是______，面积是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵和是位似图形，位似比为， ∴和的相似比为， ∴的周长的周长，的面积的面积， 故答案为：，． 3．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似多边形的周长比等于相似比，据此求解即可． 【详解】解：，且点在线段上， ， 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形与四边形的相似比为， 相似多边形的周长比等于相似比， 四边形和四边形的周长之比为． 题型10 与位似有关的规律探究问题 典｜例｜精｜析 例10（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 【详解】解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $