31.4位似（第1课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 以位似概念为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，融合生活情境与中考真题，强化几何直观与推理能力，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|位似图形概念、性质及相似比|结合手电筒影子等生活情境题，考查概念辨析（如第1题）| |技能应用|位似中心确定、网格作图|通过网格图（如第9题）和坐标系作图（如第13题），培养空间观念| |综合拓展|位似与相似综合、中考衔接|融入中考真题（如2022宁夏中考题）及自位似变换探究题，提升推理能力与模型意识|

分层作业 31.4位似（第1课时） 目 录 1 位似图形及其相关概念 1 确定位似中心 2 位似作图 3 4 5 6 位似图形及其相关概念题型01 1．（2022·宁夏·中考）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（   ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 第1题图 第2题图 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024-2025·九年级下·浙江杭州·月考）如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A． B． C． D． 4．（2022·广西梧州·中考）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5．（2021·浙江温州·中考）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．15 6．（2021·辽宁沈阳·中考）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 确定位似中心题型02 8．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 位似作图题型03 11．（2020·河北·中考）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 第11题图 第12题图 12．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 13．（2025-2026·八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 2．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 3．（2025-2026·八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． （2022·江苏南京·中考）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称． (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 1．（2022·广西百色·中考）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ） A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 2．（2025·四川眉山·中考）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 第2题图 第3题图 3．（2023·四川遂宁·中考）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 31.4位似（第1课时) 目录 A组 巩固过关 ..1 位似图形及其相关概念 确定位似仲心… 4 位似作图， 000000000000000000000,6 B组能力进阶 8 C组 思维拔高 10 拓展 链接中考 12 A组 巩固过关 颗型01 位似图形及其相关概念 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 23 1. 题型02 确定位似中心 8.B 9.D 10.4,5 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型03 位似作图 11.A 12.C 13.(1)如图，△A1B1C1即为所求. (2)解：由图可得，C1点坐标为2,6， 由位似的性质可得，线段AB上点Da,b的对应点D1的坐标为2a,2b, (3)解：△AB,C,的面积为6x62×6x4×42-2×6x2=14, 2 B组 能力进阶 1.C 2.D 2026 3 16 C组 思维拔高 解：①△ABC与△ACD成自位似轴对称，对称轴为∠BAC的角平分线所在的直线，如图； D D B ②△BAC与△BCD成自位似轴对称，对称轴为∠ABC平分线所在的直线，如图， 214 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A C D B ③△DAC与△DCB不成自位似轴对称， 故答案为：①②： (2)解：如图，点P即为所求； E D ①分别在AC和AB上截取AE=AE,AD=AD, ②连接DE,在DE上截取DQ=DQ, ③连接AQ并延长交BC于P,则点P即为所求： (3)证明：延长BE交AC于点F, .∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD ∴△ABE一△ACD, AB BE AC CD ,∠BAF=∠CAB, ∴，△ABF-△ACB, ABBF AC BC' BE BF ·CDBC' D是BC中点， ..BD=CD BE_BF ·BDBC' BE BD ·BFBC 又，∠DBE=∠CBF, ∴，△BDE一△BCF, 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BDE=∠C, .DE‖AC 拓展 链接中考 1.C. 2.B. 3.A 4.(1)如图所示，点D即为边AB的中点，点D的坐标为-2，-1. (2②)如图所示，△A1BC1即为所求作的三角形. 4/4 分层作业 31.4位似（第1课时） 目 录 1 位似图形及其相关概念 1 确定位似中心 4 位似作图 6 8 10 12 位似图形及其相关概念题型01 1．（2022·宁夏·中考）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（   ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】D 【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似． 故选：D． 2．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 3．（2024-2025·九年级下·浙江杭州·月考）如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 与是位似图形，， ， ， 与的相似比为， 故选：A． 4．（2022·广西梧州·中考）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似， 由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2， ∴四边形的面积为18， 故选：D． 5．（2021·浙江温州·中考）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：B． 6．（2021·辽宁沈阳·中考）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与△位似， △，， △， ， 与△的周长比为， 故选：． 7．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 确定位似中心题型02 8．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 9．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 10．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 位似作图题型03 11．（2020·河北·中考）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】A 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 12．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 13．（2025-2026·八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【详解】(1)如图，即为所求． （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 2．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， 由题意得， ∴ ， ∴． ，， ． ∴， 又∵，， ，． ． ∴点的坐标为． ． 3．（2025-2026·八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． （2022·江苏南京·中考）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称． (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 【详解】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图； ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，   ， ③与不成自位似轴对称， 故答案为：①②； （2）解：如图，点即为所求； ①分别在和上截取，， ②连接，在上截取， ③连接并延长交于P，则点即为所求； （3）证明：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2022·广西百色·中考）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ） A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 【答案】C 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 2．（2025·四川眉山·中考）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 3．（2023·四川遂宁·中考）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 4．（2025·安徽·中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【详解】(1)如图所示，点D即为边的中点，点D的坐标为． (2)如图所示，即为所求作的三角形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $