安徽合肥市第一中学2026-2027学年高二上学期数学素养训练（五）

合肥一中2025级高二数学素养训练（五）

（时间：75分钟     满分：100分）    

一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 等差数列中，已知，则的前项和等于

A.  B.  C.  D.

2. 植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官．已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度单位：与氮元素吸收量单位：天的相关数据，如下表所示：

根据表中数据可得，及线性回归方程为，则

A.
B. 变量与的相关系数
C. 在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加
D. 若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变

3. 已知点在椭圆：上，点在圆：上．若的最大值等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

4. 已知是定义在上周期为的偶函数，且当时，设，，，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

5. 窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生．年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案如图，其外轮廓为方程：所表示的曲线．设图案的中心为，为曲线上的最高点，则
 

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

6. 若函数对任意的，都有，则

A.  B. 在上单调递减
C. 为奇函数 D. 的最小正周期为

7. 若数列满足，，，数列的前项积等于数列的前项和，则

A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 是递减数列 D. 当时，

8. 如图，三棱锥中，平面，，，为其表面上一点，与四个顶点，，，的距离分别为，，，，则下列命题正确的
 

A. 若，则点不存在                   B. 若，，则点存在且唯一
C. 若，则的最小值为              D. 的最小值为

三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

9. 展开式中第项的系数是          ．

10. 已知函数恰好有个零点，则实数的取值范围是          ．

四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11. （13分）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是．

请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；

现将投篮水平较低的两人组成一组记为组，与投篮水平较高的人记为组进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率．

 

12. （17分）已知函数．

当时，求曲线在点处的切线方程；

是否存在常数，，使的图象关于直线对称？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由；

若，函数在上单调递增，求的取值集合．

参考数据：，，，

 

13. （17分）在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角规定逆时针方向为正如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上．

求曲线的方程并确定点的位置；

点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点．记的坐标为．

(ⅰ)求数列的前项和；

(ⅱ)记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上．