安徽合肥市第一中学2026-2027学年高二上学期数学诊断性训练（四）

高二（上)诊断性训练数学试卷（四） 第I卷选择题 一、单选题：本题共8小题，每题5分共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知a=(-3,2,5),b=1,5,-),则a.(a+3b=() A.(0,34,10)B.(-3,19,7)C.44 D.23 2.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（) A.(2,-3) B.(2,3) C.(-3,2) D.(3,2) 3.直线x+y+1=0被圆x2+y2-2x+2y+1=0截得的弦长为() A.2 B.5 C.1 D.2 4.在长方体ABCD-AB,CD中，AB=2,A4=AD=4,E为CD的中点，则点A到平面B,CE的 距离为() A.√5 B.2W5 C.2 D.22 5.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫的 标记物；从道袍、卜卦、中医，到中华气功、武术.，太极图无不跃居其上， 这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳 鱼太极图”.平面直角坐标系中的“阴阳鱼太极图”图案可用三个方程表示： x2+y2=4,x2+(y-1)2=1(20),x2+(y+1)2=1(≤0).已知直线y=-2x-2与该 图案交于三点(0，-2)，A,B,则线段AB的长为() A.2 B.√5 C.25 5 D.45 5 6.已知a，,b都是正实数，且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+y-5=0互相垂直，则2a+3b的 最小值为() A.12 B.10 C.8 D.25 7.已知点M1,-1),NI,2),且点P在直线1：4x+3y-12=0上，则下列说法错误的是（) A.存在点P,使得PM⊥PW B.存在点P,使得|PM=2PN c.1OPO为坐标原点)的最小值为号 D.|PM+|PN的最小值为3 高二数学试题第1页（共4页) 8.如图，正方体ABCD-AB,CD中，点E是AA的中点，点F为正方形A4B,B 内一动点，且CF/平面DEC,若异面直线CF与AD所成角为0，则tan6的 最小值等于() A.② B.月 c.2 D.1 3 4 3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.截距相等的直线都可以用方程+卫=1表示 aa B.方程x+y-2=0(∈R)能表示平行y轴的直线 C.经过点P1,1),倾斜角为6的直线方程为y-1=tan(x-1) D.经过两点(，)，B(x,)的直线方程(y2-4)x-x)-(x-y-4)=0 10.有下列四个命题，其中不正确的命题有() A.已知A,B,C,D是空间任意四点，则AB+BC+CD+DA=0 B.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB/CD C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D.对于空间的任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+OB+zOCx,y,z∈R), 则P,A,B,C四点共面 11.已知圆o的方程为x2+y2=1,过第一象限内的点P(a,b)作圆o的两条切线PA、PB,切点 分别为A、B,下列结论中正确的有() A.若P在直线3x+4y-10=0上，则四边形OAPB的面积有最小值2 B.四点O、A、P、B共圆 C.直线AB的方程为+by-1=0 D.若PO.PA=8,则a+b的最大值为3√2 第Ⅱ卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线1的方向向量为(2，m,),平面a的法向量为a,22),且1/1a,则m= 13.已知过点(0，-1)的直线1与以点A(4,2),B(-3,1)为端点的线段AB相交，则直线1的斜率的取 值范围为 高二数学试题第2页（共4页) 14.若平面内两定点A,B间的距离为2，动点P满足PA=5,则1PAP+PBP的最小值 I PBI 为 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(10分)已知直线1：(3+1)x+(2-)y-4-5=0恒过定点A. (1)求点A的坐标： (2)若点B与点A关于y轴成轴对称，点P是直线m:y=3x+5上一动点，试求PA+PB的最小 值. 16.(12分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形ACCA中， ∠ACC1=60°，CC1=2,平面ACCA⊥平面ABC,D,E分别是线段AC、CC的中点. (1)求证：AC⊥平面BDE; (2)若点F为棱BC的中点，求点F到平面BDE的距离： (3)若点F为线段B,C,上的动点（不包括端点），求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围. C E B D B 17.(15分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+9=0. (1)若直线1过点P且与圆c相切，求直线1的方程： (2)设过P直线1与圆C交于M、N两点，当MN=2√3时，求以MN为直径的圆的方程； (3)设直线ar-y+1=0与圆C交于A,B两点，是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线1，垂 直平分弦AB?若存在，求出实数a的值. 高二数学试题第3页（共4页) 五、附加题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 18.如图，正方形OABC的边长为4，E0,1),点F是正方形边OC上的一个动点，点O关于直 线EF的对称点为G点，则GA+GB的最小值为一 y个 A ⊙ E C O 分 19.(5分)已知⊙C:(x-2)2+(y-2)2=2(>0),⊙C:(x+1)2+(0y+1)2=2>0),⊙C1与⊙C,相切， 并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则5为 高二数学试题第4页（共4页) 高二（上）诊断性训练数学试卷（四）参考答案 一、单选题：本题共8小题，每题5分共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D D D D C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 题号 9 10 11 答案 BD CD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】． 14．【答案】． 四、解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【分析】（1）直线整理可得：．联立，．解得定点坐标． （2）由点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为，由点是直线上一动点，设，可得，利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）直线整理可得：． 联立，．解得，．可得定点 6分 （2）点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为， 点是直线上一动点，设， ，当时，的最小值为 10分 【点评】本题考查了二次函数的单调性、直线系的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．【分析】（1）连接，结合菱形的性质与中位线的性质可得，再由面面垂直的性质可证平面，从而知，然后由线面垂直的判定定理，即可得证； （2）连接，以为原点建系，利用向量法求点到面的距离即可； （3）设，，利用向量法求二面角，可将所求问题表示成关于的函数，再结合换元法和二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）证明：连接， 因为菱形，所以， 因为，分别是线段、的中点，所以，所以， 因为为等边三角形，且是的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又，、平面，所以平面 4分 （2）解：连接，在菱形中，，所以是等边三角形， 因为是的中点，所以，由（1）知平面， 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 若点为棱的中点，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取， 故点到平面的距离为 8分 （3）解：设，， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设锐二面角的大小为， 则， 令，则， 设，在上单调递减， 所以，所以，故锐二面角的余弦值的取值范围为 12分 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定或性质定理，利用向量法求点到面的距离、二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 17．【分析】（1）设直线l的斜率为k，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设的中点为，由题可得，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由的斜率，，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果． 【解答】解：（1）由得， 设直线的斜率为，则方程为，又圆的圆心为，半径， 由，解得或，所以直线方程为或， 即直线的方程为或 3分 （2）设的中点为，则， 又，所以，，或， 以为直径的圆的方程为或 8分 （3）由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离，设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上， 所以的斜率，而，所以，由于不满足， 故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦 15分 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求解，圆的方程中参数值的求解等知识，属于中等题． 五、附加题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 18．【答案】 5分 19．【答案】 5分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（上）诊断性训练数学试卷（四） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每题5分共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．直线的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 3．直线被圆截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 4．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 5．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫的标记物；从道袍、卜卦、中医，到中华气功、武术…，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．平面直角坐标系中的“阴阳鱼太极图”图案可用三个方程表示：，，．已知直线与该图案交于三点，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 6．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知点，，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为 8．如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程 10．有下列四个命题，其中不正确的命题有（ ） A．已知，，，是空间任意四点，则 B．若两个非零向量与满足，则 C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 11．已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线、，切点分别为、，下列结论中正确的有（ ） A．若在直线上，则四边形的面积有最小值2 B．四点、、、共圆 C．直线的方程为 D．若，则的最大值为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______________． 13．已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______________． 14．若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最小值为______________． 四、解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（10分）已知直线恒过定点． （1）求点的坐标； （2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值． 16．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点． （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 17．（15分）已知点及圆． （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值． 五、附加题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 18．如图，正方形的边长为，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，则的最小值为______________． 19．（5分）已知，，与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为，则为______________． 学科网（北京）股份有限公司 $