精品解析：江苏苏州第一中学校2026-2027学年第一学期十月自主学习能力检测高二数学试卷

江苏省苏州第一中学校2026—2027学年第一学期 十月自主学习能力检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，若，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. 在等比数列{}中，已知，，则的值为（ ） A. B. － C. 或6 D. －或1 4. 已知数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列各式中也为定值的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 7. 已知数列各项为正数，的前n项和为，已知数列、、都是等差数列，则数列的公差为（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ） A. k一定大于0 B. ，，可能构成等比数列 C. 若，，则为5的倍数 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知数列的首项为1，前项和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 10. 公差为d的等差数列，为其前n项和，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则是数列中绝对值最小的项 B. 若，则 C. 若，，记（，2，…），则数列有最大项，无最小项 D. 若，，则 11. 已知数列各项为正数，的前n项和为，满足，且，在，之间插入n个，连同的项构成数列，则（ ）． A. B. C. 数列的前200项中的项有18项 D. 数列的前200项和为813 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列、的前n项和分别为，，若，则__________． 13. 已知数列满足，，则的值为___________. 14. 定义在R上的函数满足是奇函数，则的对称中心为，，则数列的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前n项的和为． （1）若是等比数列，且，，求． （2）若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值． 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列． （2）求数列的前n项和． 17. 已知数列，满足，，记为的前n项和. （1）若为等比数列，其公比，求； （2）若为等差数列，其公差，证明：. 18. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 19. 若数列对于任意的，满足（为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且. （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项的和，求数列的前项的和； （3）若，是否存在实数，使得数列为“型数列”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州第一中学校2026—2027学年第一学期 十月自主学习能力检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，若，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由等比中项的性质，得，所以． 2. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 3. 在等比数列{}中，已知，，则的值为（ ） A. B. － C. 或6 D. －或1 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式、前n项和有，即可求基本量. 【详解】由，可得或. 故选：C 4. 已知数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由前项和公式推出通项，找到数列正负项的分界点，将绝对值求和转化为正项部分的和减去负项部分的和，代入前项和公式计算． 【详解】时，， 时，，满足上式， 故， 令，解得， 故时，，时，， 故前项为正，， 第到项为负，其绝对值的和等于， 故数列的前项和为． 5. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列各式中也为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得为定值，结合等差数列的前项和公式即可得出结果. 【详解】∵，且是一个定值， ∴为定值， 又，∴为定值． 故选：C． 6. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到. 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 7. 已知数列各项为正数，的前n项和为，已知数列、、都是等差数列，则数列的公差为（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列的通项公式、求和公式可得，，，再根据、是等差数列，结合等差中项列方程求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 所以，，， 因为数列是等差数列，所以， 则，即， 又数列是等差数列，所以， 则，即， 则，即， 则，即，解得或， 当时，，此时各项均为0，不符合题意； 当时， ，则，，则，， 即数列、、都是等差数列，满足题意，故. 8. 若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ） A. k一定大于0 B. ，，可能构成等比数列 C. 若，，则为5的倍数 D. 【答案】C 【解析】 【分析】特殊值法判断A，根据等差数列通项公式计算求解结合已知判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，D. 【详解】A. 取，则，，为等比数列，，故A错误. B. ，与公差，矛盾，故B错误. C. 为5的倍数，故C正确. D. ，故D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知数列的首项为1，前项和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，可以求得通项公式. 【详解】因为，①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，故A错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式， 所以，则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，由B选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 10. 公差为d的等差数列，为其前n项和，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则是数列中绝对值最小的项 B. 若，则 C. 若，，记（，2，…），则数列有最大项，无最小项 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由等差数列前n项和性质推出、，结合数列单调递增，可知是数列中绝对值最小的项；B.利用等差数列片段和仍成等差数列的性质，设值推导可验证成立；C.先求通项公式分析各项符号，乘积的正项中最大，n增大时负项绝对值持续递增，不存在最小项；D.由推出，结合求和公式得，因故，结论不成立. 【详解】选项A，由是等差数列，可得， 得； ， 得 ， 因此 且 ，故是数列中绝对值最小的项，正确； 选项B，根据等差数列得成等差数列， 设，由，得， 所以成等差数列，所以，得 ， 因此，正确； 选项C，由、 ，得公差 ，通项 ， 当时 ， 时 ； 所以乘积的正项中取值最大； 当，时，， 故数列有最大项，无最小项，正确； 选项D，由 且，得与异号，即， 由等差中项得，即， ， 因为，故，因此，选项结论不成立，错误. 11. 已知数列各项为正数，的前n项和为，满足，且，在，之间插入n个，连同的项构成数列，则（ ）． A. B. C. 数列的前200项中的项有18项 D. 数列的前200项和为813 【答案】AD 【解析】 【分析】将递推关系因式分解，利用各项为正数确定公差；按插入项数确定原数列各项在新数列中的位置，再将原数列的项与插入的项分别求和． 【详解】对于A，由得，因为各项为正数，所以， 从而，故是首项为2、公差为4的等差数列，，故A正确； 对于B，由等差数列的求和公式得，故B错误； 对于C，当时，从到共有原数列的项及插入的项， 因此是数列的第项，由知，前200项中含原数列的前19项，故C错误； 对于D，在为奇数时等于1，在为偶数时等于0，故至之间所插入各项的和为，又， 且与之间插入19个1，所以第191项至第200项均为1，从而，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列、的前n项和分别为，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】． 13. 已知数列满足，，则的值为___________. 【答案】29 【解析】 【分析】由已知可得，可得是等差数列，可求得. 【详解】由，可得，两式相减， 是首项为1，公差为4的等差数列， . 故答案为：. 14. 定义在R上的函数满足是奇函数，则的对称中心为，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用对称中心性质用倒序相加法求和计算即可. 【详解】由， 则， 因为，所以， 所以，即， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设数列的前n项的和为． （1）若是等比数列，且，，求． （2）若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列"后一段和等于前一段和的倍"把用与公比表示，先由与的比值解出公比，再把按首项与公比展开求出. （2）用公差把、都写成与的和式，代入等比中项条件化简出与的关系，再把、以及都统一用公差表示，代入所求比值约去公差. 【小问1详解】 设等比数列公比为q．因为，， 所以，即，得． 由，得． 【小问2详解】 设公差为．由，得，化简得，故． 于是，，，所以． 16. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）将两边同除以，得． 所以数列相邻两项的差为1，且首项为， 故数列是首项为2、公差为1的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，故． ， ． 两式相减，得 ，故． 17. 已知数列，满足，，记为的前n项和. （1）若为等比数列，其公比，求； （2）若为等差数列，其公差，证明：. 【答案】（1） （2） 解法一： 因为为等差数列，，， 所以，所以. 因为，即， 所以， 所以当时， . 又符合上式， 所以. 所以 . 解法二： 因为为等差数列，，， 所以，所以. 因为，即， 所以， 所以数列为常数列. 因此， 所以. 所以 . 【解析】 【分析】（1）由为等比数列，其公比，可得是以为首项，为公比的等比数列，利用公式求前n项和. （2）求出的通项，可得，通过累乘法或构造常数列，求出的通项，利用公式求前n项和，可证得结论. 【小问1详解】 因为为等比数列，，， 所以，所以. 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）408 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可根据通项公式求解， （2）根据题意可得则，，即可利用分组求和，结合等差和等比数列的求和公式求解. 【小问1详解】 设的公差为， 令，得，故即， 令，得，故，即， 由于，则解得， 故， 【小问2详解】 （i）当，故， 时，， 所以， （ii）由题意可知：， 当时，，则， 当，，则，， 当，，则，， 所以 , 因此 19. 若数列对于任意的，满足（为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且. （1）求数列的通项公式； （2）设是数列的前项的和，求数列的前项的和； （3）若，是否存在实数，使得数列为“型数列”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2） （3） 不存在，理由为：由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以， 则， 假设存在实数，使得数列为“型数列”，则， 即， 整理得， 所以解得，不满足为非零常数， 因此不存在实数，使得数列为“型数列” 【解析】 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，，当时和当时，分别求解，可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【小问1详解】 因为为“型数列”，所以， 即，所以数列是等差数列， 又，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 则，两式相减，得， 当时，，所以， 由得，， 当时，，所以， 综上可得， 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，因此. 【小问2详解】 由（1）可得，， 设， 当为正奇数时，， 故数列的前项的和为 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $